0 Введение

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

ИНСТИТУТ ФИЛОСОФИИ

В. Н. Катасонов

БОРОВШИЙСЯ С БЕСКОНЕЧНЫМ.

Философско-религиозные аспекты генезиса теории множеств Г.Кантора

Москва

«Мартис»

1999

Моим родителям посвящаю.

Автор

Введение

Бесконечное является одной из фундаментальных категорий человеческого мышления. Вопрос о бесконечности возникает на всем протяжении истории культуры в самых разнообразных формах. Одна из самых непосредственных —проблема бесконечности (или конечности) мирового пространства, времени, истории, количества вещей в мире. Сюда же относится и вопрос о возможности бесконечного деления континуума, выделении в нем точек. Бесконечное становится одной из центральных богословско-фи­ло­соф­ских проблем христианской культуры, так как бесконечность есть один из основных атрибутов Бога и все тварное, соотносясь с Творцом, соотносится и с бесконечностью. Подобные же проблемы возникают и в других религиозных системах: иудаизме, исламе, буддизме. Вопрос о логической и онтологической природе бесконечности, о ее статусе в Боге и в тварном мире в философии, науке и теологии различных культур получал различные решения и обоснования.

В чисто морфологическом смысле русское слово «бес­ко­неч­ное» имеет смысл отрицания: бес-конечное есть не конечное (ана­логично и латинское infinitum). Но это отрицание можно брать двояко: или как частичное отрицание—то, чтоможет превзойти любое конечное, или как полное отрицание—то, чтоактуально превосходитлюбое конечное. Уже в схоластике XIII–XIV вв. (Виль­ям Шервуд, Вильям Хейтесбери) это различие осознается и специально обозначается каксинкатегорематическаяикатегорематическаябесконечности соответственно. Из схоластики же (Гри­горий из Римини) идет и другое наименование этих двух разных подходов к бесконечному:потенциальнаяиактуальная бесконечности. Это различение было исходным пунктом и у создателя теории множеств Г. Кан­то­ра. Бесконечное, по Кантору, можно брать или какпроцесс —как увеличение, например, натуральных чисел, удвоение длины отрезка или, наоборот, как уменьшение, деление данного отрезка на все более мелкие части,—или как актуально данное законченное множество (или величину). Бесконечность как процесс не является, по Кантору, бесконечностью в собственном смысле: на каждом шаге, в каждой фазе этого процесса, хотя и безграничного, мы имеем дело лишь с конечной величиной, а в целом—с переменной конечной величиной. Эта «несоб­ст­вен­ная бесконечность» и называетсяпотенциальной бесконечностью. Если же мы берем бесконечное множество как нечто целое, актуально данное, не связанное ни с каким процессом, как, например, в случае, если мы рассматриваем множествовсехнатуральных чисел или когда мы рассматриваемзавершенный результатбесконечного деления отрезка на более мелкие части—как бы ни парадоксально было предположение подобного рассмотрения!—в этом случае мы говорим, что имеем дело с собственно бесконечным, или сактуальной бесконечностью. Эти различения по своему происхождению были связаны еще с античной философией.

Античная мысль в основном рассматривает бесконечное как неоформленное, как неставшее и, следовательно, несовершенное. В пифагорейском списке противоположностей бесконечное стоит на стороне дурного (злого). Бытие в античной мысли тесно связано с категорией меры и предела. Бесконечное в этом смысле выступает как бес-предельное, без-гра­нич­ное, почти не существующее—mh @on. Бесконечное есть нечто близкое к хаосу, а иногда и отождествляется с ним. Бесконечное сближается у Платона и Аристотеля с категорией материи как бесформенным и, в силу этого как бы несуществующим, постигаемым лишь «незаконнорожденным умоза­ключением» под-лежащим субстратом вещей. Бесконечное, как беспредельное, само по себе немыслимо, утверждает Платон в «Фи­ле­бе»: «Беспредельное множество отдельных вещей и [свойств], содержащихся в них, неизбежно делает также беспредельной и бессмысленной твою мысль, вследствие чего ты никогда ни в чем не обращаешь внимания ни на какое число»¹. Бытие вещи доставляется идеей (или формой), которая о-граничивает бесконечное, осуществляя «вписывание» вещи в упорядоченное единство космоса.

В то же время в античной философии имеются мыслители, которые более позитивно используют категорию бесконечного. Прежде всего к ним относится Анаксимандр, у которого главным началом космологии служит апейрон(греч.@apeiron—букв. без-граничное), из которого возникают и в который возвращаются все вещи (однако по известным фрагментам не совсем ясно, является ли апейрон высшим бытийственным началом или только хаотической смесью основных элементов). Кроме того, здесь нужно назвать атомистов Левкиппа и Демокрита, у которых бесконечное пустое пространство содержит бесконечное количество атомов, образующих бесконечное количество миров.

Однако господствующее отношение к бесконечности в античности все же иное. В окончательном виде оно было выражено Аристотелем. Для Аристотеля бесконечность существует только потенциально, как возможность безграничного изменения: «Бес­ко­нечное есть материя для завершенности величин и целое только в возможности, а не в действительности; оно делимо и при уменьшении и обратном прибавлении, а целым и ограниченным [бес­ко­неч­ное] оказывается не само по себе, а по отношению к другому; и поскольку оно бесконечно, оно не охватывает, а охватывается. Поэтому оно и непознаваемо, как бесконечное, ибо материя [как таковая] не имеет формы»². Не существует актуально бесконечного тела, конечен и сам космос, не существует бесконечной последовательности причин (т. к. в противном случае, по Аристотелю, отсутствовала бы первоначальная истинная причина движения). Актуально бесконечное не дано ни чувствам, ни уму. Потенциальная бесконечность реализуется у Аристотеля для чисел в направлении возрастания—натуральный ряд, а для величин—в направлении убывания: потенциально бесконечное деление данного отрезка. Не­посредственно зависящая от этого круга идей античная математика всегда мыслит свои «прямые» и «плоскости» как конечные, хотя и произвольно большие отрезки или куски плоскостей (в отличие от новоевропейской математики, в которой уже с XVII в. начинают рассматривать бесконечные прямые, например в проективной геометрии).

В неоплатонизме постепенно, не без существенного влияния восточной мистики, пробивает себе дорогу новое положительное понимание бесконечного. Переходной ступенью служили здесь философские взгляды Филона Александрийского, давшего эллинистическую транскрипцию библейского понимания Божества. Единое у Плотина, стоящее выше Ума и, следовательно, выше всякой определенности и формы, в частности числа, не может быть названо бесконечным. Но Ум Плотин уже называет бесконечным в следующих смыслах: в смысле его бесконечного могущества, его единства и его самодостаточности. Все сущее оказывается тем самым между двумя бесконечностями: актуальной бесконечностью божественного Ума и потенциальной бесконечностью мэональной материи, лишенной границ и формы и получающей свои определения только через «отражения» совершенств высшего бытия.

Существенный перелом в отношении бесконечного происходит с утверждением в европейской культуре христианства. Не только христианский Бог в себе оказывается актуально бесконечным, но и творение, и в особенности человек,как «образ Божий»,несет на себе (в различной мере) отпечаток совершенств Творца. Однако это понимание утверждается не сразу. У Оригена еще налицо сильнейшая зависимость от основных постулатов греческой мысли: даже Бог не сможет быть бесконечным, так как бесконечное не имеет формы и не мыслимо. Если бы Бог был бесконечным, то Он не мог бы мыслить Самого Себя. Высшее совершенство Бога и его конечность необходимо связаны, по Оригену. Но уже Августин задает вопрос: неужели Бог не может мыслить всех чисел (натуральный ряд) разом? Конечность Бога несовместима, по Августину, с божественным достоинством. В отношении же тварного мира сдвиг происходит еще позднее. У Альберта Великого и Фомы Аквината еще полностью господствуют аристотелевские запреты: в мире не может существовать актуальная бесконечность. Даже точки континуума существуют в нем только потенциально.

«Легализация» актуальной бесконечности в тварном мире исторически была тесно связана с обсуждением природы человеческой души. Последняя сотворена, согласно христианской теологии, «по образу Божьему». В какой степени божественные совершенства отразились в человеческой душе? Уже Дунс Скот настаивал, что человеческая душа по своей природе превосходит ту конечность, которая характерна для всего тварного: ведь человеческая душа способна воспринимать божественную благодать, то есть самого бесконечного Бога. Значит, ей дарована некоторая, адекватная предмету восприятия, бесконечная воспринимающая способность. Еще дальше идут мистики. Экхарт прямо учит о том, что в глубине человеческой души имеется нетварная божественная «ис­кор­ка». Как соприродная Богу, эта «искорка», естественно, актуально бесконечна. Подобное понимание образа Божьего прокладывало дорогу пантеизму и не раз осуждалось католической церковью. Однако в XV в. кардинал Николай Кузанский развивает свое учение о совпадении абсолютного максимума и абсолютного минимума. В рамках этого учения бесконечное, абсолютный максимум становится «адекватной мерой» всех конечных вещей. Понимание соотношения бесконечного и конечного принципиально меняется по отношению к античному: если для последнего все конечное было актуальным, а бесконечное выступало лишь как потенциальное, то для Кузанца—наоборот—любая конечная вещь выступает как потенциальное ограничение актуально бесконечной божественной возможности-бытия (possest)! Аналогично и в рамках пантеизма Спинозы оказывается, что omnis determinatio est negatio (каждое определение есть отрицание): не через предел, не через ограничение бесформенной материи получают вещи свое бытие, а именно от подлежащей бесконечной божественной субстанции, внутри которой самоопределение выступает как частичная негация. Божественная субстанция-природа имеет бесконечные атрибуты, в том числе—протяженность и длительность. Время же, число и мера являются только конечными, или потенциально бесконечными,средствами воображения. В анализе проблемы бесконечного Спиноза как бы предвосхищает подходы к бесконечному у создателя теории множеств Г. Кантора.

Спекулятивная теология Николая Кузанского служит также основанием представлений и о бесконечности вселенной. Бог является «основанием» мира: то, что содержится в Боге «в свернутом виде», мир «разворачивает» в пространстве и времени. Пространственная протяженность мира и время его существования не могут быть конечными, потому что они «выражают» бесконечность Бога. Хотя мир не является бесконечным в том же смысле, как и Бог, —мир не есть все, что может быть,—тем не менее егопривативная бесконечность(не Infinitum, а Indeterminatum) включает в себя бесконечность пространства и времени. Пересмотр Н. Ко­пер­ником геоцентрической системы и полемический талант Дж. Бруно помогают этому тезису Кузанца стать в высшей степени популярным к XVIII столетию.

Декарт также поддерживал идею беспредельности мира: хотя и «недопустимо рассуждать о бесконечном, но следует просто считать беспредельными вещи, у которых мы не усматриваем никаких границ, —такова протяженность мира, делимость частей материи, число звезд и т.д.»¹. Кроме того, по Декарту, бесконечна человеческая воля, являющаяся существенным признаком «образа Божьего» в человеческом существе. Именно несоответствие конечности человеческого разума и бесконечности воли служит, по Декарту, причиной ложных суждений.

На фоне других философов XVII столетия Лейбниц выступает как наиболее убежденный защитник существования актуальной бесконечности. Тема бесконечности обсуждалась Лейбницем в разных аспектах. Актуально бесконечно прежде всего количество субстанций-монад —в Универсуме. Каждая часть материи представляет собой также актуально бесконечную совокупность монад. Устойчивость агрегатов этих монад связана с особыми принципами их подчинения и сзаконом предустановленной гармонии.«Вся­кую часть материи можно представить наподобие сада, полного растений, и пруда, полного рыб. Но каждая ветвь растения, каждый член животного, каждая капля его соков есть опять такой же сад или такой же пруд» («Монадология», 67). И эта иерархия вложенных друг в друга миров продолжается у Лейбница до бесконечности. Каждая монада, в свою очередь, представляет в своих восприятиях весь бесконечный Универсум, бесконечный как в пространстве, так и во времени. Это понимание ведет Лейбница в психологии к формулировке концепции бесконечно малых («под­соз­на­тель­ных») восприятий. В математике же это приводит к особому пониманию структуры пространственного континуума и, наконец, к созданию дифференциального и интегрального исчислений. Лейбницевские идеи в отношении актуальной бесконечности остаются в высшей степени действенными и, по существу, непревзойденными все последующие три столетия¹.

Несмотря на то что молодой Кант еще всецело разделял лейбницевскую точку зрения в отношении актуальной бесконечности, позже его взгляды резко меняются. В «Критике чистого разума» в силу самой кантовской философии математики оказываются невозможны ни бесконечное число, ни бесконечная величина. Мир же в отношении своих пространственных и временных характеристик выступает ни как конечный, ни как бесконечный, а как indefinitum —неопределенный.

У Фихте, по-своему разрабатывавшего идею Экхарта о причастности человеческого духа к божественной сущности, вся природа выступает уже как бледное отражение истинной бесконечности, заключенной во внутреннем человеческом мире. Фихте учил о становлении нового мира, точнее, целой последовательности миров, но не через катастрофический онтологический разрыв христианской теологии («второе пришествие»), а в результате органически развивающегося процесса деятельности абсолютного «Я». В этой от века сущей потенциально бесконечной деятельности божественная природа абсолютного «Я» все яснее приходит к осознанию своей актуальной бесконечности. У Гегеля конечное и бесконечное являются лишь двумя терминами в его диалектической триаде. Простое отрицание конечного дает лишь «дурную бесконечность»: никогда не завершающийся переход от одного конечного к другому и представляет собой лишь «долженствование бесконечного». Истинная бесконечность должна диалектически снять оба соотнесенных момента. Истинная бесконечность необходимо должна быть некоторым становлением, которое одновременно есть и самораскрытие. Истинно бесконечен у Гегеля, собственно, Абсолютный дух, который одновременно и актуально бесконечен и осуществляет свое развитие через мир конечных духов.

Немецкий классический идеализм по-своему повлиял на обострение внимания к проблеме бесконечного. Но еще с большей необходимостью утверждалась эта тема в новоевропейской математике. Уже с XVII в., с изобретения аналитической геометрии и дифференциального исчисления, настойчиво заявляет о себе в математике стремление к арифметизациигеометрии и анализа, что гипотетически открыло бы путь к реализации грандиозных, идущих еще от Р. Луллия проектов построения так называемой ma­the­sis universalis. Этой арифметизации мешал открытый еще античной наукой факт существования несоизмеримых отрезков. Говоря конкретнее, нужна была логически состоятельная арифметическая теория действительных чисел, которая давала бы четкое и строгое определение и иррациональным числам. Причем самое сложное заключалось в том, что требовалось не просто построить эту теорию, а оправдать и саминормы строгости, на которые при этом опираются. Другими словами, дело шло не только о решении узкоматематической проблемы, но и о самоопределении науки в смысле выбора конкретной философии математики. Это было непосредственно связано с тем, что при построении теории действительных чисел использовались актуально бесконечные множества (К. Вей­ер­штрасс, Р. Дедекинд, Г. Кантор). Тенденции же, господствовавшие в философии математики середины XIX в., отнюдь не способствовали научной легализации актуальной бесконечности. Характерными примерами являются здесь и проаристотелевская позиция блестящего и авторитетного французского математика О. Коши, и позитивистско-эмпирические взгляды на природу числа и математики вообще влиятельных немецких ученых Г. Гельм­гольца и Л. Кронекера (см. ниже, гл. II).

В 1851 г. выходит книга Б. Больцано «Парадоксы бесконечного», в которой делается попытка опровергнуть традиционные возражения против актуально бесконечного. В ней были подчеркнуты те важные различия, которые потом стали центральными темами философских размышлений и Кантора: актуально и потенциально бесконечное, различие трансфинитного и абсолютного и ряд других. Однако работа Больцано скорее заново поставила все вопросы, связанные с бесконечностью, чем предложила какие-то удовлетворительные решения. Новый подход к бесконечному, построение арифметики бесконечных чисел и обнаружение фундаментальных апорий в рамках этого «исчисления бесконечностей» были уже связаны с именем Георга Кантора.

Эта книга не является ни историко-математической работой, ни биографией Г. Кантора. Интересующиеся собственно математическими предпосылками работ Кантора по теории множеств должны обратиться к соответствующей литературе ¹. Существуют в настоящее время и достаточно подробные биографии Кантора². Нашей же главной целью в этой книге было исследование тех философских и богословских идей, в соотнесении с которыми развивал свою математическую теорию Кантор. Теория множеств, встретившая сразу довольно дружный отпор математического сообщества по причинам как раз, скорее, метаматематического характера, как затрагивавшая серьезные вопросы философских оснований математики, требовала от Кантора ифилософскихже обоснований своих трансфинитных конструкций. Со свойственной ему прямотой и напористостью Кантор ответил на этот вызов и открыл новую «эру» дискуссий по основаниям математики, которые продолжались потом весь XX в. Как глубоко верующий человек, Кантор не мог также пройти мимо того факта, что проблема бесконечности была одной из основных тем христианского богословия. Он имел богатую переписку с католическими (в основном) теологами, из которой еще лучше уясняется его собственная позиция. Богословские апелляции Кантора не исчерпывают, однако, всей глубины проблемы религиозных аспектов генезиса теории множеств. Вот как пишет об этом, например, один из авторитетнейших кантороведов Дж. Даубен: «Письма (и свидетельства коллег, которые знали его) показывают нам, что Кантор верил в то, что был избран Богом возвестить истины теории множеств широкой аудитории. Он также рассматривал повторяющиеся волны маниакально-де­прес­сивных состояний, которые начали мучить его в 80-х гг.,—пики интенсивной активности с последующими все увеличивающимися интервалами самопогружения—как божественные наития. Долгие периоды изоляции в больнице предоставляли возможность для непрерываемых размышлений, во время которых он удостаивался посещений некой музы, чей голос уверял его в абсолютной истинности теории множеств, не обращая внимания на то, что говорили по этому поводу другие»¹. Как видим, сфера так называемых «социокультурных де­терминаций» науки может захватывать гораздо более глубокие и таинственные области духовного бытия, чем это обычно представляется историкам науки...

Обсуждению философских аспектов теории множеств было посвящено в нашей литературе немало работ. Однако те конкретные философско-богословские положения и традиции, с которыми связывал свою теорию сам Кантор, ссылками на которые полны его сочинения, —не говоря уже о переписке!—специально еще не рассматривались в отечественной литературе по философии науки, насколько мне известно. Или же, еще хуже, лишь упоминались как что-то маргинальное и не имеющее прямого отношения к делу². Но сама объективная ситуация в науке XX столетия заставляет по-новому посмотреть на работы Кантора. Теория множеств, с одной стороны, стала основанием всего здания современной математики. Дискуссии по основаниям теории множеств привели к созданию мощного аппарата математической логики, превратившейся сегодня в самостоятельную и разветвленную область науки. С другой стороны, парадоксы и апории, обнаруженные в самих основаниях теоретико-множественных конструкций, фундаментальные философские трудности, связанные с обоснованием аксиом теории множеств, вынуждают многих говорить о перманентном кризисе, в который была вовлечена математика XX в. Все это, вместе взятое, заставляет нас сегодня внимательнее отнестись ко всем особенностям становления теории множеств в работах самого ее создателя Г. Кантора, тщательно проанализировать и оценить сложную амальгаму научных, философских, богословских идей и влияний, сопутствовавших рождению этой теории. В решение этой задачи данная книга и стремится внести свой скромный вклад.

Автор выражает искреннюю благодарность всем сотрудникам Института философии РАН за доброжелательную и полезную критику, способствовавшую улучшению окончательного варианта книги. Сердечное спасибо проф. С.А. Бешенкову, осуществившему логико-математическую коррекцию книги, и зав. Сектором истории математики ИИЕТ РАН доктору физико-математических наук С. С. Демидову за помощь с литературой.

Горячая благодарность Международному Институту христианских исследований (Christian Studies International) за финансирование издания этой книги. Особенно я благодарен Роберту Ван-дер-Веннену, добрая воля и настойчивость которого помогли найти средства для издания. Особой благодарности заслуживает моя жена Светлана, без самоотверженной помощи которой завершения книги пришлось бы ждать много дольше.