Добавил:
proza.ru http://www.proza.ru/avtor/lanaserova Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
53
Добавлен:
24.07.2017
Размер:
906.75 Кб
Скачать

§ 2. Элементарные понятия «наивной» теории множеств

Теория множеств в той форме, в какой ее строил сам Кантор, еще до появления парадоксов, до четкого выделения ее аксиоматического базиса и использования современных средств математической логики, называется традиционно «наивной» теорией множеств. Она предполагает постоянную апелляцию к некоей общепринятой интуициимножества. И здесь должно заметить, что парадоксы и вся дальнейшая история развития теории множеств и представляли собой как разкритикуэтой основной интуиции.

Исходное понятие множества тем самым предполагается наличным. Множества можно рассматривать в двух аспектах: а) как неупорядоченные и б) как наделенные некоторым порядком их элементов. Ясно, что первое рассмотрение есть более общий подход. Для любых (т.е., вообще говоря, неупорядоченных) множеств определяется понятиемощностимножества. Сам Кантор определяет мощность следующим образом: «„Мощ­но­стью” или „кар­ди­наль­ным числом” множества М мы называем то общее понятие, которое получается при помощи нашей активной мыслительной способности из М, когда мы абстрагируемся от качества его различных элементовmи от порядка их задания»1. Кантор обозначает кардинальное число для множестваM1(две черты означают двойное абстрагирование из определения). Для мощностей определяются понятия равенства, больше, меньше. Мощности множеств А и В равны (или множества эквивалентны), если существует взаимно однозначное отображение множества А навсе множество В. В этом случае пишутA = B.1Если же существует взаимно однозначное отображение А на часть множества В, но не существует взаимно однозначного отображения В на часть А, тогда говорят, чтоA1< B. Для кардинальных чисел (мощностей) строится своя арифметика.Суммоймножеств А и В (без общих элементов) называется множество, состоящее из элементов как А, так и В: оно обозначается АÈВ. Тогда сложение кардиналов по определению есть:

A + B= A È B.

Можно показать, что определение это корректно и получающаяся операция коммутативна и ассоциативна. Произведением двух множеств А={a} и В={b} называется множество C=A·B, состоящее из пар {(a;b)}, где aÎA, а bÎB. Соответственно определяется умножение кардиналов:

A · B = A · B.

Так, определенное умножение коммутативно, ассоциативно и дистрибутивно относительно сложения. Можно аналогично определить и возведение множеств в степень, которое также будет обладать традиционными (для чисел) свойствами. Мы тем самым построили некоторую арифметику кардинальных чисел. Для конечных множеств эта арифметика совпадает с обычной арифметикой натуральных чисел. Но, поскольку с самого начала предполагалось, что множества могут быть и бесконечными, тем же самым получена и арифметика бесконечных кардинальных чисел. Свойства бесконечных кардиналов уже отличаются от свойств конечных чисел. Так, пустьa0—первый бесконечный кардинал1, т.е. мощность множества натуральных чиселa0= {n}. Тогда нетрудно показать, что

a0>n;a0+1=a0+n=a0;a0´2=a0´n=a0´a0=a0;

a02=a03= ...a0n=a0.

Восходя от a0, можно построить целый ряд возрастающих кардиналов. «Изa0по некоторому определенному закону получается ближайшее большее кардинальное числоa1, из него по тому же закону ближайшее большееa2и так далее. Но и неограниченная последовательность кардинальных чисел

a0,a1,a2, ...an, ...

не исчерпывает понятия трансфинитного кардинального числа»2. Кантор доказывает существование кардинального числаaw,ближайшего большего, чем всеan, далееaw+1 и так далее без конца.

Однако, чтобы доказывать более тонкие теоремы для бесконечных множеств, одного «голого» понятия множества, лишенного всякой структуры, мало. Поэтому Кантор использует вместе с тем и упорядоченные множества, из которых, соответственно, и получается обобщение порядковых чисел —трансфинитныеординальные числа. Множество М называется, по Кантору,просто упорядоченным, если:

а) для любых двух его элементов m1 и m2можно сказать, какой из них занимает «более высокое» положение (пишутm1<m2, еслиm2«выше»m1);

б) для любых трех элементов m1, m2, m3

m1<m2 вместе с m2<m3 влечет: m1<m3.

Всякому упорядоченному множеству М соответствует определенныйпорядковый тип, обозначаемый M. Под порядковым типом Кантор понимает «то общее понятие, которое получается из М, когда мы отвлекаемся от качества элементовm, но сохраняем их порядковое расположение»1. Два упорядоченных множестваM иN называются подобными, если их элементы можно поставить во взаимно однозначное соответствие с сохранением порядка. То есть еслиm1<m2 (в М),n1соответствуетm1, аn2соответствуетm2, тоn1<n2 (в N). Тем самым порядковый тип характеризует весь класс подобных множеств. Для продуктивного развития теории нужны, однако, не просто упорядоченные множества, а упорядочения с б)ольшими ограничениями. Вполне упорядоченныммножеством называется просто упорядоченное множество, всякое подмножество которого содержит наименьший («самый низкий») элемент. Порядковый тип вполне упорядоченного множества называется соответствующим емупорядковым числом (или ординалом). Для вполне упорядоченных множеств и их порядковых типов (порядковых чисел) можно определить сравнениеM < Nи доказать теорему:

Если aиb—два произвольных порядковых числа, то илиa=b, илиa<b, илиa>b.

Для порядковых чисел (и даже для порядковых типов) можно определить сложение и умножение. А именно, если даны два упорядоченных множества

A = {...a1, ...an, ...} и B = {...b1, ...bm, ...},

òо мы составляем новое упорядоченное множество(A,B), в котором «всеBидет заA», а внутри каждого из множеств сохраняется исходный порядок:

(A,B) = {...a1, ... an, ... b1, ... bm, ...}.

Если a=,b=, то мы определяем порядковый типa+bкак порядковый тип множества (A,B):

a+b=.

Легко видеть, что это сложение уже некоммутативно. Пусть, например, wесть порядковый тип множестваE = {e1, e2, ...en,...},en<en+1, а 1—порядковый тип конечного множества из одного элементаf. Тогда 1+w ¹ w+1, т. к. 1+wесть порядковый тип мно­жества

(f,E) = {f, e1, e2, ...en, ...},

а w+1 является порядковым типом множества

(E,f) = {e1,e2,...en,..., f}.

Эти множества очевидно неподобны: у (E,f) есть последний элемент, а у(f,E) — нет. Однако нетрудно видеть, что 1+w=w. И более общим образом,n + w= w, гдеn—любой конечный порядковый тип. Сложение порядковых типов некоммутативно, но оказывается ассоциативным1:a+(b+g) = (a+b)+g. Кантор определяет также иумножениепорядковых типов, которое тоже не будет коммутативным (но будет ассоциативным).

Итак, исходя из интуиции множества, Кантор строит систему кардинальных чисел и систему ординалов, или порядковых чисел. Каждому ординалу соответствует вполне определенный кардинал, а именно мощность любого вполне упорядоченного множества, которое представляет данный ординал. Обратное соответствие уже сложнее. Каждое множество определенной мощности aможно вполне упорядочить многими способами (бесконечным количеством способов, если оно бесконечно). Поэтому каждому бесконечному кардиналу соответствует бесконечное множество ординалов, которое Кантор называетчисловым классомZ(a).

Соседние файлы в папке Катасонов