§ 4. Бесконечное у Лейбница. Кантор против постулата о конечности человеческого рассудка

Канторовская критика новоевропейских представлений об актуальной бесконечности позволяет лучше уяснить специфику его собственной позиции. Так, говоря об отношении к этому предмету Лейбница и Спинозы, Кантор выделяет здесь два основных момента:

а) «к понятию числа принадлежит его конечность»,

б) «истинное бесконечное, или абсолютное, заключающееся в Боге, не допускает никакого определения»¹.

Кантор соглашается со вторым тезисом, имеющим скорее богословскую природу, однако оспаривает первый. То, что между абсолютной бесконечностью в Боге и конечным не существует никаких промежуточных «модификаций», как выражается Кантор, и есть главный пункт его критики. Он справедливо подчеркивает, что и сами философы нередко склонялись здесь в другую сторону. Особенной двойственностью отличалась здесь позиция Лейбница. Мы уже упоминали о его неоднозначной интерпретации дифференциала, который понимался им как актуально бесконечно малая. Лейбницевская концепция монады как, с одной стороны, чисто духовного, непротяженного существа, а с другой —как непременно обладающего некоторымтелом, состоящим из подчиненных, еще почти бессознательных, так сказать, «спящих» монад, приводила его к теории бесконечной делимости материи. Кантор ссылается на это знаменитое место из письма Лейбница к Фуше: «Я настолько убежден в существованииактуальнойбесконечности, что не только не допускаю мысли о том, что природа не терпит бесконечного (как обычно выражаются), а, напротив, считаю, что она повсюду высказывает любовь к нему, дабы тем нагляднее продемонстрировать совершенство Творца. Итак, я полагаю, что нет ни одной части материи, которая была бы не скажу только неделимой, но даже неразделенной актуально, и, следовательно, любая мельчайшая частица материи должна рассматриваться как мир, наполненный бесконечным количеством разнообразных созданий»¹. Кантор как бы и устанавливает своей теориейградацииэтих актуальных бесконечных миров: «...что я утверждаю и что, как мне кажется, я доказал этой работой, как и прежними своими опытами, это что после конечного существуетTransfinitum(которое можно было бы назватьSuprafinitum), т.е. безграничная иерархия определенных модусов, которые по своей природе не конечны, но бесконечны и которые, однако, подобно конечному, могут быть охарактеризованы с помощью предназначенных для этой цели, строго определенных и отличных друг от друга чисел. Поэтому, по моему убеждению, область определимых величин неисчерпывается конечными величинами и границы нашего познания можно соответственно расширить, нисколько не насилуя нашей природы»².

Кантор выступает против традиционной ссылки на конечность нашего рассудка. Опровержением этого мнения служит, по Кантору, как раз его теория множеств. Ведь согласно конструкциям этой теории человеческий рассудок каким-то образом все-таки ориентируется в бесконечном и различает его степени. Значит, эту «конечность» нужно понимать в каком-то условном смысле. «Как ни ограничена в действительности человеческая природа, к ней все-таки прилипло очень многоеот бесконечного, и я думаю даже, что если бы она не была сама во многих отношениях бесконечной, то нельзя было бы объяснить твердой убежденности и уверенности в бытии абсолютного, в чем все мы чувствуем себя единодушными. В частности, я защищаю то воззрение, что человеческий рассудок обладает безграничными способностями к постоянному образованию целых числовых классов, которые находятся в определенном отношении к бесконечным модусам имощностикоторых все больше и больше»¹.

Паралогизм, на котором основана традиционная критика возможности бесконечного числа, постоянно подчеркивается Кантором с целью освободить сознание научного сообщества от устоявшихся предрассудков. Так, существует идущий еще от древности парадокс, который приводили обычно для свидетельства невозможности актуально бесконечного числа. Его можно сформулировать в следующей форме: если бы бесконечное число существовало (обо­зна­чим его традиционным сим­во­лом ¥), то в силу «по­гло­ще­ния конечного бесконечным» было бы справедливо следующее равенство:¥+1=¥. Но для чисел справедливо утверждение: у чиселaи (a+1) различные четности. Значит, бесконечное число было бы одновременно четным и нечетным, что противоречиво. Логическая ошибка, подчеркивает Кантор, здесь очевидна: на бесконечные числа переносятся свойства конечных. Это для конечных чисел невозможно быть одновременно четным и нечетным. Но бесконечные нужно принимать таковыми, какие они есть. Конечно, новые числа необычны. Как выражается сам Кантор, «новые числа отличаются более интенсивной субстанциальной определенностью от традиционных чисел, однако как “количество” они имеют такую же реальность, что и последние»².

Другой характерный предрассудок, мешающий принять актуально бесконечность, как не раз отмечал Кантор, есть смешение ее с потенциальной бесконечностью. Так, Гербарт, известный немецкий философ и педагог, говоря о бесконечности, настаивал на незавершенности как ее характерном признаке: «При этом речь идет совсем не о субъективной неспособности, невозможности завершить когда-либо счет или перебор, а о самом понятии бесконечности, существенным, неотъемлемым признаком которого является как разпеременный предел,за которым всегда находится что-то еще... Для бесконечного множества возможность перечисления полностью исключена,ибо подлинно бесконечное можно мыслить только как неопределенное, незавершенное ¹. Кантор возражает Гербарту, что нельзя вести критику понятия актуальной бесконечности, исходя из неадекватного ее понятия. «С тем жеправом,—пишет математик,—он мог бы определить коническое сечение как кривую, точки которой отстоят от центра на равном расстоянии, чтобы, опираясь на это, выставить против Аполлония Пергского положение: «Не существует никаких других конических сечений, кромеокружности, а то, что называютэллипсом, гиперболой и параболой,—внутренне противоречивые понятия»². Потенциальная бесконечность есть для Кантора, как было показано выше, лишьнесобственно бесконечное. В силу господства аристотелевской традиции в западно-европейской интеллектуальной культуре понимание бесконечного как исключительно потенциально бесконечного, незавершенного было очень распространено. Но именно против этого традиционного мнения и выставлял сознательно Кантор свою концепцию актуально бесконечного.

К 70–80-м годам XIXв., когда стали появляться первые работы Кантора, посвященные трансфинитным числам, в математике был уже накоплен достаточный опыт оперирования с различными числовыми системами: иррациональными, комплексными, алгебраическими числами. Исторически проблема обоснования математической легальности этих чисел нередко представляла значительные трудности. Так было прежде всего с комплексными числами, так обстояло дело и с общей концепцией действительного числа. Кантор проводит параллель между восприятием научным сообществом его системы трансфинитных чисел и историей легализации комплексных чисел. Последние долгое время также казались непонятными образованиями. Например, комплексное число не является, вообще говоря, ни положительным, ни отрицательным. Однако со временем и эти числа нашли свою законную интерпретацию при помощи точек плоскости, а теория функций комплексного переменного стала одной из наиболее развитых областей современной математики. Поэтому необычность свойств трансфинитов, по Кантору, не должна сама по себе быть причиной их отвержения. К более непосредственному обсуждению трансфинитных чисел Кантора мы перейдем в следующей главе. Сейчас же полезно обсудить взгляды на бесконечное еще одного из так называемых «пред­шест­вен­ни­ков» Кантора.