§ 2. Бесконечное в философии математики и. Канта

Отталкивание Кантора от Канта совсем не случайно. Кант был тем мыслителем, в котором новоевропейская наука начала осознавать свою специфику и, следовательно, свои границы. Научный позитивизм XIX в., с которым столь яростно сражался Кантор, во многом питался кантовскими интенциями. Математика, по Канту, строится на базе априорных форм человеческой чувственности: пространства и времени. Последние же характерно конечны, что пресекает возможность создания каких-либо трансфинитных объектов. Так, число определяется Кантом в рамках его учения о схематизме рассудочных понятий. «Чистая же схема количества (quan­titatis) как понятия рассудка, — пишет Кант, — есть число — представление, объединяющее последовательное прибавление единицы к единице (однородной). Число, таким образом, есть не что иное, как единство синтеза многообразного [со­дер­жа­ния] однородного созерцания вообще, возникающее благодаря тому, что я произвожу само время в схватывании созерцания»¹. Кант явно пишет о невозможности бесконечного числа: «Понятие числа (отно­ся­ще­го­ся к категории целокупности) не всегда возможно там, где даны понятия множества и единства (например, в представлении бесконечного)»².

При обсуждении так называемыхантиномий чистого разумаможно особенно наглядно убедиться, какую решающую роль играет конечность человеческих познавательных способностей у Канта. Так, в доказательстве тезиса первой антиномии, точнее, положения о том, что мир ограничен в пространстве, Кант рассуждает следующим образом: «Допустим опять противоположное утверждение, что мир есть бесконечное данное целое из одновременно существующих вещей. Но размер такогоколичества, которое не дается в определенных границах того или иного созерцания, мы можем представить себе не иначе как только посредством синтеза частей, и целокупность такого количества—только посредством законченного синтеза или посредством повторного прибавления единицы к самой себе»¹. Здесь Кант делает примечание: «Понятие целокупности обозначает в таком случае не что иное, как представление о законченном синтезе его частей. В самом деле, так как мы не можем вывести это понятие из (невозможного в этом случае) созерцания целого, то мы можем постичь это понятие, по крайней мере в идее, только посредством синтеза частей, продолжающегося до завершения бесконечного»². Другими словами, актуально бесконечное целое мира не может быть дано целиком, к нему можно только приближаться последовательно, «по конечным частям». Но это бесконечное перечисление конечных частей требует бесконечного же и времени: «...пришлось бы рассматривать бесконечное время при перечислении всех сосуществующих вещей как прошедшее, что невозможно»³. Кант допускает тем самым толькопотенциальнуюбесконечность. ВПримечании к тезисуэтой антиномии он пишет: «Истинное (трансцендентальное) понятие бесконечности заключается в том, что последовательный синтез единицы при измерении количества никогда не может быть закончен»⁴. Выражаясь канторовским языком, можно сказать, что Кант допускает только первый принцип образования чисел, т.е. переход отnк (n+1), но не разрешает второй принцип, с помощью которого, в частности, Кантор делает переход от конечных чисел кw—первому трансфинитному числу. В девятом разделеАнтиномий чистого разума, говоря о регулятивном применении космологических идей чистого разума, Кант высказывается еще осторожней: «Я не могу сказать, что мир в отношении прошедшего времени или пространственнобесконечен. Такое понятие величины как данной бесконечности эмпирически ведь невозможно, стало быть, оно безусловно невозможно в отношении мира как предмета чувств. Я не могу также сказать, что регресс от данного восприятия ко всему тому, чем оно ограничивается в ряду в пространстве и в прошедшем времени, идет вбесконечность: такое утверждение предполагает бесконечную величину мира. Я не могу также утверждать, что этот регрессконечен, так как абсолютная граница также эмпирически невозможна. Таким образом, я ничего не могу сказать обо всем предмете опыта в целом (о чувственно воспринимаемом мире), а могу говорить только о правиле, по которому следует приобретать и продолжать опыт соответственно его предмету»¹. Эту ситуацию Кант характеризует названием regressus in indefinitum (в отличие от regressus in infinitum). Все упирается в то, что математические истины, по Канту, должны быть показаны всозерцании(чистом), а бесконечное созерцание для человека невозможно.

Аналогично, обсуждая решение второй математической антиномии, где речь идет о делении целого на части («сложной субстанции на простые части»), Кант опять опирается на то, что, несмотря на стремление разума рассматривать это деление в терминах одних понятий, рассудок должен всегда помнить, что все, опытно данное, дано ему необходимо в рамках априорных форм чувственности, т.е. пространства и времени. Но все данное как предмет в пространстве бесконечно делимо, так как делимо само пространство. «Всякое созерцаемое в своих границах пространство есть такое целое, части которого при всяком разложении в свою очередь все еще представляют собой пространства, и потому оно делимо до бесконечности»². Однако это деление или регресс от обусловленного к условиям, как выражается сам Кант, идет в этом случае не in indefinitum, а in infinitum. Причина этого в том, «что условия (части) содержатся в самом обусловленном и даны все вместе с ним, так как оно целиком дано в созерцании, заключенном в его границы»¹. Что же? Можно ли в этом случае сказать, что сложное представляет собой актуально бесконечное количество получающихся в результате деления частей? Этот вопрос напрямую связан с вопросом о структуре континуума. Если мы, например, имеем отрезок прямой, то можно ли на основе того, что отрезок можно последовательно сколь угодно много раз делить на все более мелкие части, сказать, что он сложен из некоего бесконечного множества точек? Хотя Кант и считает, что деление здесь (в отличие от положения в первой антиномии) идет in infinitum, тем не менее его ответ отрицательный: «О целом, делимом до бесконечности, нельзя сказать,что оно состоит из бесконечного множества частей. В самом деле, хотя все части содержатся в содержании целого, однако в немнесодержитсявсе деление, состоящее лишь в продолжающемся разложении или самом регрессе, который единственно и делает ряд действительным. Так как этот регресс бесконечен, то в данном целом, правда, содержатся какагрегатывсе члены (части), до которых доходит регресс, однако не весьряд деления, который последовательно бесконечен и никогда не есть целыйряд, следовательно, не может показывать бесконечного множества частей и собирания их в одно целое»².

Актуально бесконечное все же находит место в философии Канта, но не в математике, а в рамках учения о практическом разуме. Для того чтобы человеческая воля руководилась моральным законом, необходимо, по Канту, признание возможности некоторых связанных с ним предпосылок, а именно бессмертия души, свободы и бытия Божия. Без последних было бы бессмысленным, так сказать, «моральное упорство» души. Вот как, например, Кант объясняет необходимость признания бессмертия: «Осуществление высшего блага в мире есть необходимый объект воли, определяемый моральным законом. А в этой воле полноесоответствиеубеждений с моральным законом есть первое условие высшего блага. Оно, следовательно, должно быть так же возможным, как и его объект, так как содержится в той же заповеди—содействовать этому благу. Полное же соответствие воли с моральным законом естьсвятость—совершенство, недоступное ни одному разумному существу в чувственно воспринимаемом мире ни в какой момент его существования. А так как оно тем не менее требуется как практически необходимое, то оно может иметь место только впрогрессе, идущем вбесконечностьк этому полному соответствию, и согласно принципам чистого практического разума необходимо признавать такое практическое движение вперед как реальный объект нашей воли. Но этот бесконечный прогресс возможен, только если допустить продолжающееся добесконечностисуществованиеи личность разумного существа (такое существование и называют бессмертием души)»¹. Это признание бессмертия души является, однако, как подчеркивает Кант, не каким-то доказанным положением, а лишьпостулатомчистого практического разума. В силу примата практического разума над теоретическим, последний соглашается с этими положениями, но именно как с постулатами. «Эти постулаты,—пишет Кант,—не теоретические догмы, апредположения, в необходимо практическом отношении; следовательно, хотя они и не расширяют спекулятивного познания, но вобщемдают идеям спекулятивного разума (посредством их отношения к тому, что принадлежит к сфере практического) объективную реальность и дают разуму право на такие понятия, обосновать даже возможность которых он иначе не мог бы себе позволить»². Для нашей темы важно, что во всех трех постулатах—бессмертия, свободы, бытия Божьего—отражается идея актуальной бесконечности. Но, как настойчиво подчеркивает Кант,познаниенаше здесь не расширяется: «Мы этим не познаем ни природы нашей души, ни умопостигаемого мира, ни высшей сущности потому, что они сами по себе; мы имеем лишь понятия о них, объединенные впрактическомпонятиивысшегоблагакак объекта нашей воли и совершенно a priori через чистый разум, но только посредством морального закона...»¹Таким образом, мы здесь не познаем, а только лишь, так сказать,опо-знаембесконечность бессмертия, свободы, бытия Бога.

Кантовская математика есть существенно человеческое предприятие. Считать во времени и созерцать фигуры в пространстве может только человек. Богу не нужен счет и обусловленное временем созерцание: он видит все количества и структуры разом и непосредственно. Человек же в силу особенностей априорных форм своей чувственности неспособен созерцать бесконечное. Однако, поскольку у Канта вся конечность математики непосредственно связана с созерцанием, то на первый взгляд в высшей степени формальная современная математика, оперирующая постоянно с абстрактными аксиоматическими конструкциями, уже не подвластна тем ограничениям, о которых говорил создатель трансцендентальной философии. Аналогично и в современной физике: квантовая механика, теория относительности и современные теории элементарных частиц очень далеки от всякого непосредственного созерцания: предмет сегодняшней физики дается ученому опосредованными сложными теориями, в частности, воплощенными в хитроумнейшей экспериментальной технике. Говорить об эмпирическом созерцании здесь уже невозможно. Но все-таки кантовские представления относительно чистогосозерцанияво многом остаются в силе. В частности, остается принципиальный вопрос, существенный для философского осмысления теории множеств: есть ли число, действительно, кантовский синтез однородной множественностивовремениили же его можно мыслить как-то по-другому, не связывая со временем, например как некоторую платоновскую идею? Мы видели, что Кантор был сторонником именно последней точки зрения.