§ 3. Границы математического метода мышления по о. Беккеру

Обсуждая вопрос о философских основаниях математического знания и о границах науки вообще, поучительно, по моему мнению, разобрать точку зрения известного немецкого философа науки (в особенности, математики) XX столетия О. Беккера, изложенную в его книге «Величие и границы математического образа мышления»¹. В конце этой работы философ дает герменевтическое описание всего, так сказать, спектра познавательных возможностей в науке. Беккер идет здесь от классического разделения на науки о природе и науки о культуре, утвердившегося благодаря трудам основателей баденской школы неокантианства (Г. Риккерт, В. Вин­дель­банд). Если науки о культуре стремятся к пониманию (ver­stehen), то методом наук о природе являетсяобъяснение(erk­la­ren). Однако и объяснение, как считает Беккер, не есть универсальный метод естествознания (включая и математику), и иногда приходится довольствоваться только владением (beherrschen). Философ по­дробно объясняет разницу между этими тремя познавательными интенциями².

Пониманиестремится свести всякое объяснение к типу внутренней духовной мотивации человеческих решений. Такова цель работы историка, стремящегося понять, например, смысл принятия того или иного решения каким-либо историческим лицом, государственным деятелем, полководцем и т.д. Такова же обычно и направленность историка искусства или литературы, где речь идет о раскрытии смысла того или иного художественного стиля, о соотношении биографической «эмпирии» и поэтики и т.д. Вся эта работа связана с особым типом анализа, но он почти не допускает какой-то формализации, а требует, скорее,вживанияи угадыванияузловых моментов¹.

Примером естественнонаучного объясненияявляется, например, данное впервые Галилеем разложение движения брошенного тела в суперпозицию двух одновременных движений: равномерного по горизонтали и равнопеременного (равноускоренного или рав­нозамедленного) по вертикали. Из отдельных законов движения по горизонтали и вертикали—линейно и квадратично зависящих от времени соответственно—получается совмещением параболическая траектория движения брошенного тела.

При пониманиимы сводим разбираемый случай к другому, более «элементарному», «традиционному», «обычному», причем это отнюдь не всегда означает только совокупность обыденного опыта, но также и откристаллизовавшиеся в культуре формы «ду­хов­но-объективного»: в эпосе, праве, религии и т.д. Здесь трудно по большей части выделить какую-то исчерпывающую систему аксиом, понимание основывается, скорее, на сведении к интуитивно «прозрачным» внутренним актам личности. С точки зрения математики и естествознания такое понимание «неточно» и достаточно «произвольно». Математическоеобъяснение, напротив, есть всегда сведение проблематичного к строго определенной комбинации элементарных данностей и операций. Математические положения, таким образом, «доказуемы». Однако Беккер задает законный вопрос: насколько обоснованна эта доказуемость?

Предполагается, что в математическом объяснении мы сводим любое положение в конце концов к аксиоматическим, которые истинны. Но на чем основана эта истинность? Сегодняшняя наука уже давно утеряла то невинное состояние, в котором она находилась во время зарождения античной цивилизации, когда аксиоматические положения считались самоочевидными. И история пятого постулата Евклида, и более близкая истории аксиоматизации теории множеств, к примеру, заставляют нас сегодня относиться к аксиомам гораздо осторожней и видеть в них, скорее, некоторые конвенциональные положения, чем абсолютные истины. Может быть, еще более серьезным является положение в физике. Так, почти две тысячи лет в европейской науке господствовала аристотелевская точка зрения: скорость движения тела пропорциональна силе. И только со времен Ньютона мы приняли другое понимание движения: пропорциональность силы ускорению, на чем и базируется классическая механика.

Сама история науки показывает, что эти элементарные понятия, «данности» и аксиомы, к которым математические науки стремятся свести всю реальность,—«сила», «инерция», «со­про­тив­ле­ние», «тяжесть», «давление» и т.д.,—отнюдь не так элементарны, как хотелось бы. По своему этимологическому происхождению они, действительно, связаны с некоторым внутренне понятным нам смыслом, однако уяснить их точное научное значение из этого опыта не представляется возможным. Более сложные естественнонаучные теории тем более не дают возможностиясногопонимания своих элементарных составляющих. Ни уравнения Максвелла в электродинамике, ни четырехмерное пространство-время в теории относительности, ни бесконечномерное гильбертово пространство квантовой механики уже не имеют ничего общего с наглядностью, с понятным и привычным нам жизненным опытом. Научное объяснение здесь уже не представляет собой сведение более сложных феноменов к‚Б>>219219µЩ219ж219b0

рр h˜#4

l @221`221Ђ221221?221†2210221221ьсазбg221h1221GАЗﾤ‡221GiњА$@ЌЃ^CЅ~xэтжeа5ОЂ`››„—‹—EЈC++ђнєв}ﾤOсvѓZWnvЯиыra2°Ыч}ј6н ­q{"6Fё=®xK„ﾵ:r`ґD@hz BFhэ6

Шљqv#upиЧRЗskЖQпжebMpL

A–IъЏц(ШЈKNl’”ґ¤ШЏA нЗ‰Г,9нІ2М0‹ы/1и-Х|PйчИJµБ™|АэsЄирИzкы]ЌМ¤ъ"222ю9п‹Љ№vя&R$U%% Нm{х€Mяяяя222@a¤ b3ыЧ`™ђB222АPР‹P@АрБЇцJ[©u<ья0ГJ222ﾧ222< Y@O__1&Ў?`gД¶ќcђ5ў“c§ГІEh Qяїќђ››$˜BXУ№°€±Р‰Бxки@¹ии222є ёЙвБйёyваЊ° ﾵs±СБ мxh¦¦Гf&&ЖГB‡В"ЖBdddДѓВВГbFѓ222dҐ%†`еВ0ЏААВ222¶м/@776+/d%

юЃ&CMАMю˜˜ф2д223ђа­h0ФЂ223ЬаЏ ЃБ8 z@223223/%1--(( –ЎfffCYXXшфdD:aЉ›Бx‰‹˜ye§‹њ€™Ч}]сЫ )Ф¶Ґ¦­

є?­Ї{Я.r-

кЩ2DУ

R·ЗБЧs`?@tCдАакwH®Ы2™\Ђ€©sЛ,.ќ/rл{

Н

{g˜228ѓQJRnLLЭ2"RAq1ёИ~ЛJИКЖ НРИЊЋGiмюЏCЭvXl±228ﾧцЬЏf>L]ZџНЉﾵ…ДOФх¶ﾵ(Ґ…Аy‹G‑зр ‘ј¬Щб™­l<сЯ?$ёO+cЧ-“rБ}‹}Бх¤ф¤y‡ИпСdPRВu±шs?7ї&ЂњАF@W+@ﾤﾵ4*¬ﾵ=”~aM“˜жУяяﾤK ‚­Y/›Ѓ€‘N§Ц‑ 0иp™yйp№4З228MN228GG‡DD„ББЃЗ

ЕМ

MѓKЛ jњЂ& ЊЂЂ230Њ —––‘„”љ€У8>@

ﾤ(­(/(((3ќu›231DLћ ЂЂь8 а 0231Ќ YKfНZД¬Y«ЩёяџYqЎqіЦ lЦjЦ¬eіafН†љ

6nЖ`Ц¬%

: 33:е…0}0с¶Д 2Ѕc cШ±µ,Ѓ#вgЦ±Ґ8;¶Д[ѓмШ"f[ЉіcЛf`дВмШrmлШjЦ±…ЧlЩЄ;№'Рє·­¹&Z5

:IјЮѓlпШТ‡~-КС;ЃиЪ‚Ы§±{ўn=rа ph§‹Y§`7“¦‰Ѕf`€е&›DYе’‘ђ[F&АGа‚ kg†uY“zв

XЄУBjЖэя<ﾵи°b™ОXм?…<e—

ьЋэ‡1H-ҐФОтІцJЙтКьсЁNdL†C

\ИХ¬€Zl*шћєПрАU@IoЫ­nУ ўJNєУЦ*ЛiґЭњ232Ђ232¬`MА232ЂР·тc–ﾵ0 |232Ё¶232кNа˜Вс€c›И0’wN

Ћ"€$Є$ё8ДюN

&:N4T@@ﾵЅЃ сС P 0234в‘ЎA‘‘Ў "В вІ°234@1 ђ и¶Љ„ﾧђ„AЗ„D234%,Ртﾧ234‘±‚ў‘ QgаяМ«ebcD@ 4x, S4пP234H234dюﾤьЦ$X¦qўLАЌвЖ‰AФ8!™Ж Л

“(3Tf°Мp™Ж‰Ы¬$d\d¬zЇxы‑1Д…Ѕ&Ш-1Ѕ»%$ИCвg·„ѓё[bђЭD¦[BqvKX¦[b˜Э

ўn ЙtKа'ЯnD®Ы'Ў.‰­«тІєmХеP

YзmїЦг"f^x‰6Ё‘ы АeҐﾤ2Q P237ђЫЅ_cШ ¤я­ﾤﾤ -GвєMаnzP#—МZUНАР237‘Ќ­яЃ°ґKTCлK•237§Б9g% 6ЭGзЊШµ ьСмAч­Qh‹RнvТУd¹ме#Z˜ычЄ)bІЬ?ЭИЧ},ҐЃв

©

^THпЕ8љцИяяяЏ6;<§ЂЩмP©MЩЫZ¶zRы·ZSkнGWЩьP@`* њ§Ќ'Ћ'‘§‘/‘¬Ф­љ?6€ю Q(00р@IЎ@AI±ЁЂxp(PИ`XXёАPP(ЙИ(!q‘˜@х‹@Љ€ ЂАGFAЉJD@@237`0237237Ђ

Ж8ѕkЏ)VIЌ3Ьж5Љ238йќЃ"Ђ

Ђ‹ ­ М)ї

УP.PT= цТќ~д¶—одЫ^Уo7

Ф

СЇ§ЂЉ˜ шuhѕЯѕт>‑Y{•јZ7ХF°ѓ!Ц \ %Ґ@у 10к!И%`$DД!а`dВ'@# †ЖддB DЖж& pБLГ˜ﾧк:Нt%K^вэxШ›^X)С“ыЯ»Й‡;яЮюГsьE O˜ћ˜яMЦ •aї'1#(:ђдёЗ<ёH ДќХЂЂжoЫ?BІя±Б—6o-mиС4241(241241241ЃяC241241n*аH ј<аEвEд%ЕEЕ¦%ж/еﾤ6Пт.В]* Z„­†/(Џ0]ЎZGЙазд'еж'Fk аг…жЕ…)… ¦@C„гд#…CеГҐpКрﾵе-Лilз

ﾧј,'X=Qљb€ўДBеѓйЈйГйeЕ !e ¦aйЃ‰Ў©@a A"A$б„@))&@)Ж5N`Щ6_Ї­^^Љгx242WэAﾵ@рггР0CCГа‚¤j&.‡§#з !242Ѓ!ЎAЗg§C§(ЙЁЈи А г`€€И#I‰")IйdeЕг%†ве%†Ѓ†ЖГ'ЂR5¹ёььи””4ёММ д ||TllT

TU}ee}

ёјјдииﾧ!@DЊ

0€ёHH0D_ # 244б‚гав

ЂрЂсЃсѓ1ЂБ@гЈ†245еагsбЈ¦°БітТµкi0Y{C]]2/Э o‡°K»‰р@єдgжХ{7k<!2r^0'Ѕn'ЩхﾵЖЄгОmOфC»/|]Ђ&ﾧЗрхﾤэ+':ФJ /ЭЫrq p%Шя/& ›ЂчюљЙИMИЃ€ББ _%›[o‑3"rbjЫмААаАвВвbВВТ(Х )o'•ІLЪН$Ўz¦д&РчІЕЇ[;F#"‡V>Ю*†nяfѓ\Ў<ﾧ!\$˜a•°ХﾤрjrіzІYq±ЩЁШ1i‑цкГzЃРСﾵcяиН\€tTЦ`Ь­

Ѓ

&Ћѓk†є­lяT 9hX GePp)ﾧ­1+#A^?Pu fo‚ЛN­иШђ””\щч?!ј0г•ј#›‑

™н¶m<,¬ыпюАdPшПм&°Я

ТFІП· и#Ѓ6Жчﾤ+Z `є:ёэ247rЕДЃ2УгBCdGgхﾵ‚хhрёяяaѓбЦ-5G rI°X±јА№ІЗжИ/Buyњ 6:6T6d&B/ЂЂP|ﾵјﾵﾵЖАЉ@Hy247ш4Н¹@АА‰ В247fњ247

…‹ Нﾵ! ќ~«ЛDD”rњj!`A0ОЂo™Аc©·248248Аёx™™х!њ~Ы«ХЧЭﾤН248ьљ~Пцk_­ИlЭT»­$Ц¤`і¤Ѕ–ФЃҐ™ ЂQялЫXIФР˜ЊЬzЭЄЎ¬W’Pв`ща:hРІ#ѕьы­­ЗяdkуeТЈ‡фQИ/с­{нЏ` а,ЕЂфЉЫ~ЄОЮ_ы‡bЉТА ˜¬°="Hx’ЧюЕ248e~&248248ѓї&248ЃаЫm&ЫpЮ9эГBpЧщ іEg“З&ќm

Ћ:¬‑°8ІVёXО:

:, .:,<’8R8L:t t8l:’

-Чqd@dp¤@ﾵ©pptlтJЃEDE‡АHАH‡HЗИC252DCC@Ѓ@GАЕFЗ JIЙЈ  …ЋЂﾵ—

253€€Џ

ЉЌ

N/F#ﾵќю'ла@Iбњrpp±`XҐЈАввb„СU254Ђ254ДББFЃЉКЖ З¦п)N

UРб°°№Ч†YG`254254T+Ѓj… 5®“q+Ь j…ﾵ Њ

Ъ254ЁaPЎ†B

†

Е255ХPГKВЖКЕК‹ў‑ﾵ ‹255_!Xў3TWњвмЉsCБДc‑<~P]qЉҐoZ.iВ255…Щﾧз ЪЦ‚PDОКЄяЯ* —ﾧРј=]· S"$

255Бі8P нfњъвvЪмГt[„2цєэ ‚ЛЉЈ1fђ0VIФ]Ca255@n Ђ

ЊAtsђ’±¬KШ­ @256ц[ﾵп©!ќ]f µYﾵj8иР-#3‡›tВ8256k”Йд$ЂG`ЈСаr· ѕљ1Ѓﾤє(Чh¦+ﾵч—[p[І=ћї@@Pгюo

iNЈЩV^О=^HяМmрFРК@I ‚фНьЧњD•”Hї МчҐђѓRRў¤7а9ўИCEР†©†

3¬P @$ЂјsНLа‰АіMfЯ˜®IЅУ[Gи258K&+HKиlжnцБЊЃЋ‰ЋЊ’‰’ЊСМU‰Ѓ‚Й‚ЊБМЕLЉIЉЊAPЂL‡МLG

З

GЗМЛЙJ @N@О

®+Qsф~Њ

ЦгТСўглЖк!$ ¤¤#Дв‡ЁГВддД#F†"&FЦ

ЮИЊ

Е

ЗЖЊМЖМЊ‡Пﾤ…ПЊЊПﾤ„a^У8F‡м”ЋЋ–О*33,--9:"!!

ю!эя&&г

¶ Hрﾤ10'@ﾤ€265аД¤Ј#fИ'¦E&жЗR­ќш ДДZ5dЦЄaѕя›>ЕЧЄ‘o\« вVЌAФЄ!>АV

с

гИ7”o0Яp>ѕV

+J€№р№€с)¶j@дlХXnХ_«†врЊЙЕ/€[5ЩяIшZ5ﾵзЂV

с

Ђ‘ іUГAФЄ!ѕV

xV}ЖґOѓЉИuѕї

r_чvЗﾵїыус>tm2659265Эю…Ѕс0ﾵ8H/hpШoa µЫ&в¤2Јл‘?H{”юяц

€зр›е •*іUі|mҐnﾤP ья2660R266`<ﾧﾵќФ%ћmbЧ…ﾵ¤„ЁЊЁ¤¤Ёи€ﾵ0p(t$ф°Ђdщ¤1¤q

ЁмЁ˜Жxъъ9 89летворяемся этим голым формализмом и начинаем спрашивать о смыслеэтих аксиом,—или, другими словами, мы требуем именнопониманияих,—то мы, хотя и оказываемся тем самым перед проблемой, где сам вопрос о смысле, в котором она могла бы быть разрешена, необычно сложен, тем не менее мы подчиняемся здесь естественному и фундаментальному человеческому стремлению к уяснению любой наличной «дан­нос­ти», суть ли это материальные факты или логические пред-по­ло­же­ния. Или, к примеру, когда Кантор объявляет аксиомой утверждение о консистентности множеств, имеющих мощностями «але­фы», то опять естественно встает вопрос о «понимании» этого утверждения, и ссылка на то, что мы не понимаем этого уже и для конечных множеств, отнюдь ни в чем не убеждает. Во всяком случае, не всех. Так, Г. Вейль, один из самых крупных математиков XX столетия, много размышлявший также и о философских предпосылках науки, писал в 1946 г. по поводу проблем обоснования математического знания, выросших из теории множеств: «Из этой истории одно должно быть ясно: мы менее чем когда-либо уверены в незыблемости наиболее глубоких оснований (логики и) математики. Как у всех и всего в мире сегодня, у нас есть свой «кризис». Он существует почти пятьдесят лет. Внешне может показаться, что он не мешает нашей повседневной работе, и все же, что касается меня, я должен признаться, что этот кризис оказал значительное практическое влияние на мою математическую жизнь: он направил мои интересы в области, которые я считал относительно «безопасными», и постоянно подтачивал энтузиазм и решимость, с которой я занимался своими исследованиями. Этот опыт, вероятно, разделяют и другие математики, не безразличные к тому, что их научные усилия означают в контексте всего человеческого существования в мире—существования, неотделимого от любви и познания, страдания и творческого начала»¹.