§ 6. Границы канторовского платонизма

Следует отметить, что во взглядах Кантора на природу числа, при очевидном доминировании платоновской тенденции, вместе с тем существует и определенная двойственность, которую можно временами почувствовать. Так, в достаточно поздней работе 1887 г. «К учению о трансфинитном», которая более чем наполовину посвящена полемике и философски-богословскому обсуждению актуальной бесконечности, в одном из примечаний Кантор приводит в подтверждение своих взглядов текст из «О Граде Божием» Августина. Саму интерпретацию этого текста мы рассмотрим позднее, сейчас же нам интересны некоторые связанные с этим канторовские рассуждения. Кантор подчеркивает, что, согласно Августину, Бог может «некоторым неизреченным образом» созерцать весь бесконечный ряд натуральных чисел как нечто целое. «Од­на­ко, —пишет далее Кантор,—в этом месте можно выдвинуть то возражение, что если мы даже и вынуждены рассматривать множество (n) [всех натуральных чисел.—В.К.]как категорематическое бесконечное¹, то, с другой стороны, этому множеству нельзя сопоставлять соответствующее ему порядковое числоwили отвечающее ему кардинальное число, и это не позволено нам по той причине, что вследствие ограниченности нашего существования мы не в состоянии мыслить все бесконечно многие числовые индивидыn, принадлежащие множеству (n) в виде чего-то интуитивно актуального. Хотел бы я, однако, видеть того, кто мог бы точно представить в виде интуитивно различимых все единицы, входящие, например, в конечноечисло «тысяча миллионов» или даже в значительно меньшие числа. Такового определенно нет сегодня между нами. И тем не менее мы вправе рассматривать конечные числа, даже если они сколь угодно велики, как объекты дискурсивного человеческого познания, а в научном отношении их следует различать по их свойствам. Такое же право у нас и в отношении трансфинитных чисел.Следовательно, на это возражение есть лишь один ответ: условие, которое вы сами не соблюдаете и которому не в состоянии удовлетворить даже по отношению кмалым конечным числам,вы осмеливаетесь требовать от нас для бесконечных чисел! Да ставилось ли когда-нибудь столь несправедливое требование человека к человеку? Вследствие самой нашей организации мы лишь изредка располагаем понятием, о котором мы могли бы сказать, что оно является "conceptus rei proprius ex pro­priis"², благодаря которому мы восприняли бы и поняли некоторую вещь адекватно, не прибегая к отрицанию, символу или примеру, в том виде, в каком она есть сама по себе. При познании мы, скорее, обучаемся главным образом "conceptus proprius ex communibus"¹, позволяющему нам, исходя из общих предикатов и при помощи сравнений, исключений, символов или примеров, так определить вещь, что она становится совершенно отличной от всякой другой вещи»². Здесь необходимо сделать замечание. Кантор в этой цитате как бы приравнивает познавательный статус конечных и своих трансфинитных чисел. Но, если и можно согласиться с тем, что оперирование с большими числами происходит так же символически, как и с бесконечными множествами, на основании фиксированных свойств чисел, а не на основании интуитивной данности, тем не менее полное «гно­се­о­ло­гическое равноправие» больших конечных чисел и трансфинитов утверждать вряд ли возможно. Хотя интуитивно мы и не можем представить себе «ты­ся­чу миллионов», тем не менее мы можем предложить некоторую конечную процедуру, алгоритм, который с несомненностью может эффективно реализовать это число в принципе, сделать его доступным для оперирования. Одним из таких простейших алгоритмов, между прочим, является уже десятичная запись этого числа. Что же касается трансфинитных чисел, то здесь такой алгоритм в принципе невозможен, т.к. невозможно «сделать наличным» бесконечное множество за конечное число шагов. В возникшей в XX столетии на базе интуиционистских идей конструктивной математике эти интуитивные понятия эффективности, процедуры, алгоритма были уточнены и развернуты в большую содержательную теорию ³. Прогрессивное развитие современной компьютерной техники, позволяющей совершать огромное количество операций в секунду, позволяет реализовать эти алгоритмы, дает возможность как бы «пощупать руками» эти, как казалось раньше, недостижимые большие числа. Однако в принципе невозможно таким же образом «ощутить» актуальную бесконечность...

Тем самым то, что человек оперирует обычно с большими числами лишь косвенно, в качестве conceptus rei proprius ex communibus, является случайным и непринципиальным моментом, пре­одолеваемым наукой и современными технологиями. И с другой стороны, оперировать с актуальной бесконечностью непосредственно, как с conceptus proprius ex propriis,вероятно, не удастся никогда в силу той самой «конечности нашего рассудка», утверждение которой столь раздражало Кантора. С актуальной бесконечностью мы вынуждены оперировать символически и, так сказать, партикулярно, т.е. исходя лишь из некоторых известных нам ее свойств, никогда не будучи уверенными вполнотеэтих свойств. Актуальная бесконечность есть, по определению самого Кантора, некотораяDing für sich, вещь-для-себя¹. И этавещь-для-себяникогда не становитсявещью-для-нас.Мы познаем ее только на основании ее, так сказать, «проявлений» и «внешних» свойств. Уже с самого возникновения новоевропейской математики вXVIIстолетии, эта особая черта новой математической методологии характерно проявилась при работе с новыми актуально бесконечными конструктами (бесконечными рядами, инфинитезимальными дифференциалами): математика как бы уподоблялась здесь естественным (физикалистским) наукам, ибо она начинала оперировать со своими объектами неким «несобственным» образом, исходя из некоторой практически всегда частичной совокупности свойств своеобразнойDingfür sich. Я уже писал об удивительной близости этой методологии центральной в локковской теории познания концепцииноминальной сущности².

Обсуждаемая канторовская цитата показывает, вместе с тем, что платоновские симпатии создателя теории множеств, в особой форме христианизированного платонизма (числа существуют в бо­жест­венном уме), имели, однако, свои границы. Эти границы навязывались самим предметом рассмотрения — актуальной бесконечностью — и были уже давно опознаны соответствующей традицией «при­ру­че­ния» этого необычного объекта познания. Признание Кантора в том, что с актуальной бесконечностью мы вынуждены оперировать как с conceptus rei proprius ex communibus, есть для нас одно из проявлений тех начал в теории множеств, которые привели в XX столетии к развитию формалистской концепции математики.