§ 2. Аксиома выбора

Кантор страстно стремился доказать континуум-гипотезу. В случае, если бы это удалось сделать, была бы не только подтверждена эффективность методов новой теории множеств. Это доказательство служило бы оправданием и более принципиальной тезы: той философско-научной программы, сторонником которой счи­тал себя Кантор. Тысячелетия континуум рассматривался как некая данность, как некое неразложимое далее a priori. Если бы удалось доказать континуум-гипотезу или в ее исходной форме, или в более широкой, например

2^a ₀=a_n

для какого-нибудь натурального n, то тогда континуум,непрерывноебыло бы отождествлено с некоторым вполне упорядоченным множеством, было бы, так сказать,сложено из точек.Напомним, чтовполне упорядоченным множеством называют упорядоченное множество, каждое подмножество которого имеет наименьший элемент¹. Специальное выделение вполне упорядоченных множеств нужно было Кантору потому, что два вполне упорядоченных множества всегда можно сравнить между собой: отобразить одно на часть другого. Из этого следует сравнимость соответствующих этим множествам ординалов. А из последнего—и сравнимость соответствующих ординалам кардиналов, т.е. мощностей множеств. Значит, любые мощности—а значит, и мощность континуума, иалефы—сравнимы, если соответствующие им множества можно вполне упорядочить. Но как это сделать для конкретных множеств, вообще говоря, непонятно. В частности, одномерный континуум, например интервал действительных чисел (0; 1), взятых в их естественном упорядочении по величине, не является вполне упорядоченным множеством. Например, подмножество чисел<x<не имеет наименьшего элемента.

Множество рациональных чисел Q={} в его естественном упорядочении по величине также не является вполне упорядоченным множеством. Но его можно упорядочить по-другому. Расположим все рациональные числаQв следующую таблицу:

А теперь присвоим каждому рациональному числу номер, пересчитывая их «по диагоналям»: q₁=,q₂=,q₃=,q₄=,q₅=,q₆=... Заметим, что некоторые элементы таблицы придется пропускать, так как они уже встречались раньше. Так,q₅==3, а не, потому что 1 уже встречалась в нашем ряду. Теперь определяем новый порядок так:q_n<q_m, еслиn<m. В этом новом упорядоченииQ уже будет вполне упорядоченным множеством. Это нетрудно показать: всякому подмножеству изQтеперь соответствует некоторое подмножество натуральных чиселN, а именно—множество номеров, соответствующихq. Но в любом множестве номеров есть наименьший¹. Тогда рациональное число с этим наименьшим номером и будет наименьшим в смысле нашего нового упорядочения.

В этом примере существенно то, что Qестьсчетноемножество, т.е. его можно поставить во взаимно однозначное соответствие сN. Таким же образом можно вполне упорядочить любое счетное множество. Но Кантор показал, что континуум есть несчетное множество. Поэтому для его упорядочения нужны были какие-то другие методы. Однако надежду на то, что множество всегда может быть вполне упорядочено, разделяли далеко не все. Так, в 1903 г., когда теория множеств уже пользовалась достаточной популярностью, Б. Рассел заявлял: «Верно, Кантор считает законом мышления то, что всякое определенное множество может быть вполне упорядочено; однако я не вижу оснований для этого мнения»¹.

Нетрудно в свете этого понять, каким ударом для Кантора был доклад математика из Будапешта Ж. Кенига на III Международном конгрессе математиков в Гейдельберге в 1904 г. Кениг утверждал, что мощность континуума не равна никакому алефу. И тем самым, в частности, подрывалась вера в молчаливо принятую Кантором предпосылку, что любое множество может быть вполне упорядочено. А от этой предпосылки зависела, как мы уже говорили, сравнимость ординалов и мощностей, т.е. существование той шкалы «бесконечных чисел», которая как бы и аккумулировала в себе весь научный и философский пафос теории множеств.

Но уже в том же 1904 г. ученик Кантора Э. Цермело предложил доказательство теоремы о том, что любое множество может быть вполне упорядочено. Дискуссия перешла в новую фазу. В результате этой дискуссии в теореме Цермело был обнаружен слабый пункт. Доказательство опиралось на следующее положение: дана некоторая, вообще говоря, бесконечная совокупность множеств; существует функция, ставящая в соответствие каждому множеству из этой совокупности определенный элемент этого же множества. Или, проще говоря, в бесконечном множестве множеств можно осуществить процедуру выбора в каждом из этих множеств одного элемента. При всей, казалось бы, очевидности этого положения с ним соглашались далеко не все. Резко против выступили, в частности, французские математики: Э. Борель, Р. Бэр, А. Лебег. Сомнения вызывали в основном два момента. Во-первых, если речь идет о бесконечной последовательности выбора элементов, то сразу встает вопрос о том, как это реализовать во времени; если же предполагать все выборы совершающимися одновременно, то опять здесь нужна какая-то поясняющая конструкция. Во-вторых, выбор одного элемента из произвольного множества представляет собой действительную логическую проблему. Если элементы никак не упорядочены,—а именно такова ситуация в теореме Цермело, где еще только строят упорядочение,—то они как бы и неразличимы и выделить какой-то один не представляется возможным.

В силу принципиальной важности этого положения для теории множеств оно получило название аксиомы выбора(или аксиомы Цермело) и вошло в число семи аксиом теории множеств, предложенных также Цермело в 1908 г. Довольно быстро было обнаружено, что аксиома Цермело применяется в доказательстве многих положений как теории множеств, так и анализа. Так, простейшие теоремы теории множеств, например:

объединение счетного числа не более чем счетных множеств само не более чем счетно, или:

всякоебесконечноемножествосодержитсчетноеподмножество,

уже требуют применения аксиомы выбора. Что касается математического анализа, то Ф. А. Медведев, например, указывает в классическом курсе математического анализа Г. М. Фихтенгольца большое количество теорем, зависящих от аксиомы выбора, среди которых такие важные, как:

теорема о непрерывной функции, принимающей значения разных знаков на концах промежутка;

лемма Больцано—Вейерштрасса о сходящейся подпоследовательности у ограниченной последовательности;

теорема Коши о конечных приращениях;

теорема Лопиталя о раскрытии неопределенностей и много других ¹.

Аксиома выбора формулируется достаточно просто и логически кажется довольно естественным и не обещающим неожиданностей утверждением. Однако это впечатление обманчиво. С помощью аксиомы выбора строятся такие экстравагантные примеры, как множество Витали ², неизмеримое, по Лебегу, или парадокс Банаха-Тарского. Дадим формулировку последнего: «Используя аксиому выбора, можно разбить шар на конечное число частей, которые можно переставить так, что получатся два шара такого же размера, как и исходный шар»³. То есть мы имеем в качестве следствий из аксиомы выбора такие положения, которые совершенно противоречат нашей интуиции пространства.

Вследствие, в частности, и такого рода парадоксов, основанных на аксиоме Цермело, «диапазон мнений математиков об этой аксиоме скандально широк», как пишет Ф. А. Медведев ⁴. Д. Гиль­берт поддерживал использование аксиомы выбора в математике и считал, что она связана с фундаментальными логическими принципами математического мышления. А. Пуанкаре считал аксиому выбора одним из определяющих синтетических априорных суждений, которое невозможно доказать, но без которого трудно строить как конечную, так и бесконечную арифметику. Б. Рассел был более сдержан в оценке аксиомы: «Возможно, что она истинна, но это не очевидно, а ее следствия удивительны. При этих обстоятельствах мне кажется правильным воздержание от ее применений, за исключением тех рассуждений, которые дают надежду получить абсурд и таким образом дать отрицательное решение вопроса об истинности этой аксиомы»¹. Русский математик Н. Н. Лу­зин резко отрицательно относился к использованию аксиомы выбора: «Применять свободный выбор—это значит, по моему мнению, жонглировать соединениями пустых слов, смыслу которых не соответствует никакой интуитивно доступный факт»; «Про­тив нее [против аксиомы выбора.—В.К.] говорит именно эта самая чрезвычайная легкость ее применения, немедленность даваемых ею ответов, так как математические сущности, сформированные при помощи ее, не крепки, не обладают устойчивостью, имея слишком расплывчатые, неопределенные свойства, чтобы практически служить затем точкой опоры для математических рассуждений, направленных уже на классические математические предметы. Напротив, образование математического предмета без аксиомы Цермело часто представляет чрезвычайные трудности, зато такой математический предмет, будучи построен, почти всегда имеет большую ценность для дальнейших изысканий»².

Благодаря работам Геделя (1939) и Коэна (1963) было установлено, что аксиома выбора не может быть ни доказана, ни опровергнута исходя из системы аксиом Цермело—Френкеля теории множеств. Сложилось тем самым положение, напоминающее ситуацию с пятым постулатом Евклида в геометрии. И как для последней независимость пятого постулата от других аксиом позволяла строитьнеевклидовы геометрии, так и в случае с аксиомой выбора—в силу ее независимости—были сделаны попытки построения нецермеловских (неканторовских) теорий множеств (а на их основе—и всего здания математики) как без аксиомы выбора, так и с заменой ее на другую аксиому¹. В качестве примера последнего приведем формулировку аксиомы, альтернативной цермеловской,—так называемой аксиомы детерминированности: «Каж­дое множество А бесконечных последовательностей натуральных чисел определяет следующую бесконечную игру G_Aдвух игроков. Игрок I пишет натуральное числоn₀, игрок II отвечает тем, что пишет натуральное числоn₁, затем игрок I пишетn₂, игрок II пишетn₃, и т.д. Если получающаяся в результате игры последовательностьn₀,n₁,n₂,n₃,... принадлежит множеству А, то выигравшим считается игрок I, в противном случае выигрывает игрок II. Игра G_Aназываетсядетерминированной, если выигрывающую стратегию имеет либо игрок I, либо игрок II.Аксиома детерминированности утверждает, что для каждого такого множества последовательностей А игра G_Aявляется детерминированной². Оказывается, с помощью полного упорядочивания множества всех последовательностей натуральных чисел можно построить игру, которая не будет детерминированной. Значит, аксиома детерминированности противоречит аксиоме выбора (все общем виде). Но, с другой стороны, аксиома детерминированности влечет аксиому выбора в счетном варианте, и поэтому основные теоремы теории действительных чисел не изменяются. В математике с аксиомой детерминированности каждое множество действительных чисел измеримо, по Лебегу, и либо не более чем счетно, либо имеет мощность континуума.

Тем самым споры вокруг аксиомы выбора привели к построению альтернативных канторовской теорий множеств. Сделать между ними выбор в пользу какой-то одной, «более естественной», не представляется возможным. Во всяком случае, изнутри математики... «Аргументированный выбор между аксиомой выбора и аксиомой детерминированности, — пишет Кановей, — возможен, вероятно, только путем сравнения красоты и богатства теорий, построенных на этих аксиомах, а также сравнения согласованности следствий АС [аксиомы выбора. — В.К.] и АД [аксиомы детерминированности. — В.К.] со складывающейся математической интуицией»¹.