§ 2. Теория множеств как откровение

Итак, божественный Ум видит бесконечные множества непосредственно. Для человеческого же ума, конечного и погруженного во временность, актуальная бесконечность может выступать только как откровение. Именно так Кантор и понимал свою деятельность: он рассматривал себя как инструмент высшей силы, как орган откровения, сообщающий людям высшие божественные истины. Это самоощущение сопутствовало ему всегда: от еще смутных предчувствий своего будущего призвания в юные годы²до откровенных высказываний в письмах зрелой поры. В 1883 г. он пишет своему другу и издателю математического журнала «Acta Mathemati­ca» шведскому математику Г. Миттаг-Лефлеру: «Мои дорогие друзья, любящие называть себя математиками, могут думать о моих идеях все, что угодно, они могут писать о том, что им кажется правильным, в Лондон, Париж, хоть на Камчатку, но я твердо знаю, что идеи, над которыми я тружусь со своими слабыми силами, будут занимать мыслящие умы целых поколений, даже и в то время, когда я сам и мои добрые друзья, господа математики, уже давно проследуют путем всех смертных. Я далек от того, чтобы приписывать мои открытия личным достоинствам, потому чтоя есть лишь инструмент некой высшей силы, которая будет работать и после меня, тем же самым образом, как она проявила себя тысячи лет назад в Евклиде и Архимеде...[курсив мой.—В.К.]»¹.Подобнаяверав собственное призвание, конечно, очень помогала Кантору. Как пишет биограф создателя теории множеств Дж. Даубен, Кантор осознавал себя как бы новым Галилеем, призванным открыть Церкви истинный образ мира, созданного Богом². И в выполнении этой божественной миссии нельзя было отступать и колебаться, можно было только идти вперед...

Здесь уместно вспомнить и эпиграфы к последнему и наиболее полному изложению теории множеств Кантора в работе «К обоснованию учения о трансфинитных множествах», изданной в 1895–1897 годах. Первые два эпиграфа —«Hypotheses non fingo» и фрагмент из Ф. Бэкона, мы уже разбирали. Третий эпиграф звучит так: «Наступит время, когда то, что сейчас скрыто, будет вынесено на дневной свет стараниями будущих поколений» (ори­ги­нал по-ла­тыни)³. В общем контексте канторовского мировоззрения уясняется и значение этого эпиграфа. Не все очевидно и отчетливо в предлагаемой новой теории. Однако ее время еще придет: стараниями будущих поколений ученых необходимость и естественность теории множеств выступят со всей очевидностью абсолютной истины. И дело жизни самого Кантора выступает в этом смысле как своеобразноепророчество об истине...

Этот религиозный пафос научной деятельности Кантора —характерная черта истории создания теории множеств. Этот пафос питался из двух источников: личная религиозность Кантора и исторически традиционный теологический контекст осмысления актуальной бесконечности. О последнем мы будем говорить специально ниже. Что же касается первого, то здесь действовали парадоксальные, нередко сопряженные с трагическими последствиями, но общие закономерности религиозной психологии: неудачи Кантора утвердить теорию множеств в современной ему математической культуре еще больше подтверждалидля негосамогоноваторское и профетическое значение его теории. «Моя теория стоит твердо как скала,—пишет Кантор в 1888 г.,—каждая стрела, направленная против нее, немедленно возвратится к ее автору. Почему я знаю это? Потому что в течение многих лет я изучил ее со всех сторон; потому что я проанализировал все возражения, которые когда-либо можно бы было выдвинуть против бесконечных чисел, и, кроме всего этого, потому, что я проследил ее корни, так сказать, вплоть до первой неколебимо истинной причины всех сотворенных вещей»¹.

К середине 80-х годов положение было критическим. Несмотря на достаточное количество опубликованных работ по теории множеств, Кантор не получил еще никакого официального признания со стороны крупных и влиятельных математиков: не только от Кронекера, Куммера, Борхадта, но и от Вейерштрасса, который по-своему сочувствовал идеям создателя теории множеств. Продолжалась безуспешная борьба за доказательство уже обещанной Кантором континуум-гипотезы: в течение нескольких месяцев Кантор переходит от полной уверенности в доказанности теоремы к обнаружению ошибки, от новых доказательств к доказательствам отрицания объявленного результата. В марте 1885 г. издатель шведского математического журнала «Acta Mathematica» Миттаг-Лефлер, один из немногих, кого Кантор мог считать своим другом и соратником в деле утверждения своей теории, просит его отозвать из журнала новую статью «Принципы теории порядковых типов. Первое сообщение». Среди множества смягчающих и сочувствующих слов высказана и главная мысль: на базе теории множеств почти нет новых позитивных результатов. И слишком много философии. Тот же упрек, который повторял постоянно и Кронекер (ср. выше). «Вполне может случиться так, что Вы и Ваша теория так и не будут справедливо оценены при нашей жизни. Теория тогда будет вновь открыта через сотню лет или что-нибудь вроде этого кем-нибудь другим, и тогда, следовательно, будет осознано, что Вы уже полностью обладали ей. Тогда, по меньшей мере, Вы получите справедливую оценку»¹. Для самолюбивого и вспыльчивого Кантора этот выраженный в мягкой форме отказ Миттага-Лефлера печатать его статью был очень болезненным ударом. И конечно, «утешительный» совет подождать с признанием какую-нибудь сотню лет раздражал еще сильнее. Положение усугублялось еще и тем, что с середины 1884 г. Кантор был подвержен припадкам психической болезни. Вплоть до конца своей жизни в 1918 г. почти каждый год он вынужден был ложиться на несколько месяцев в психиатрические больницы...

Мы не пишем здесь биографии Кантора. Биографические данные важны для нас только в одном специальном смысле: понять тот комплекс идей, ту сложную амальгаму научных, философских и богословских представлений, из которой возникает теория множеств Кантора. Глубокую личную религиозность создателя теории множеств и ее влияние на становление теории невозможно не заметить любому честному и непредвзятому исследователю, касающемуся вопроса о генезисе этой теории. Но есть и объективная связь идей, обусловившая перипетии становления новой теории, создававшая возможности, —а то и необходимость,—новых связей, как в сфере чисто теоретической, так и в области личных контактов Кантора... Выше²мы говорили о странном парадоксе: сущность математики, по Кантору, состояла именно в свободе и в то же время он, как никто из других математиков, стремился связать свои теоретико-множественные конструкции с традиционными представлениями в истории философии и богословия. При вникании в предмет парадокс этот все больше разъясняется. Первой причиной апелляции к истории философии и богословия было, конечно, традиционное место проблем, связанных с актуальной бесконечностью, в истории культуры: они обсуждались именно в философии и богословии, а не в науке. Если средневековая наука и затрагивала частично эти вопросы (Т. Брадвардин, например), то там всегда чувствовалось присутствие определенного теологического горизонта. Но есть и другая причина обращения к внематематическим примерам актуальной бесконечности, причина более непосредственная и для Кантора в высшей степени болезненная. Дело в том, что, несмотря на развернутую богатую абстрактную теорию, с бесконечно возрастающей последовательностью мощностей («алефов»),практическиКантор мог «предъявить» только две мощности: мощность множества натуральных чисел a_, и мощность множества точек континуума 2^a_. Причем в отношении последней нужно еще было решить мучительно не поддающуюся разрешению проблему континуума: равна ли мощность 2^a_следующему заa_0кардинальному числуa₁? Поэтому упрек в отсутствии новых положительных результатов был для Кантора очень болезненным. Вся «вавилонская башня» алефов как бы превращалась в мираж. Одно дело—свобода математики как принцип, и другое—судьба отдельной математической теории, или находящей наконец свои контакты с «реальностью» в приложениях, или остающейся отвлеченно бесплодной... Требовалось какое-то «во­пло­щение» этих чисто абстрактных конструкций. Поэтому неизбежно было обратиться к другим сферам знания с целью найти там подтверждения теоретико-множественным построениям. Причем во всех этих обращениях налицо ясно различимая двойственность: Кантор ищет поддержку—лучше бы всего каких-то конкретных примеров бесконечных множеств разных кардинальных чисел,—но в то же самое время и сам обещает помочь этим областям средствами своей теории множеств, выдвигает новые программы применения теории множеств, есть ли это физика, философия или богословие. Но так как положительных примеров, поддерживающих теорию множеств, почти не находится, то практически остаются только одни «прожекты», которые выступают в качестве де оправдывающих теорию множеств «сияющих» перспектив ее возможных приложений... Мы уже разбирали выше историко-философские «привязки» теории множеств Кантора. Можно констатировать, что в целом, за исключением, может быть, Лейбница, результат был отрицательным. Теперь на очереди связь теории множеств с физикой и богословием.