§ 4. Канторовская критика аргументов противников

Кантор резко критиковал взгляды Кронекера и Гельмгольца на природу числа. В особенности его раздражала чисто психологическая основа (счет!) этих построений: «Весьма поучительноубедиться в том, что для обоих этих мыслителей числа должны быть прежде всего знаками, но не знаками, скажем, для понятий, относящихся к множествам, азнаками для единичных вещей,отсчитываемых при субъективном процессе счета»¹. Кантор считал подобную эмпирическо-психо­ло­ги­чес­кую точку зрения на число разрывом с тысячелетними традициями математики, в особенности античной. Хотя и в античности была одна «секта»², которая держалась подобных взглядов. Кантор ссылается здесь на книги «Пир­роновых положений», в которых Секст Эмпирик давал, в частности, критику платоновских представлений о числе. Современную ему эмпирико-позитивистскую тенденцию в интерпретации математического знания Кантор связывал с традицией античного скептицизма. «Впрочем, у обоих ученых явно выступает наружумотив враждебного отношенияк актуально бесконечному, а так как известно, что даже «конечные» иррациональные числанельзя обосновать с научной строгостью безрешительногопривлечения к делу актуально бесконечных множеств, то усилия обоих, особенно Кронекера, направлены с неуклонной последовательностью на то, чтобы с помощью искусственных, кажущихся им подходящими вспомогательных теорий сделать совершенно «ненужными» и лишними иррациональные числа, общепринятые со времен Пифагора и Платона³,—вместо того, чтобы исследовать и объяснить их согласно их природе»⁴. Кантор справедливо оценивает подобные взгляды на математику как философскую реакцию:«Мы видим, таким образом, что господствующий теперьакадемически позитивистский скептицизм,появившийся в виде реакции против чрезмерного канто-фихте-гегеле-шеллинговского идеализма, захватил, наконец, и арифметику, где он старается сделать последние еще возможные для него выводы с крайней последовательностью, могущей стать роковой для него»⁵. Любопытно, как Кантор критикует кронекеровские представления об изначальности «счета», «по­ряд­ковых чисел» с точки зрения своей новой теории: Кронекеру де не удастся описать актуально бесконечный запас точек пространственного и временного континуума, поскольку согласно результату Кантора последний несчетен¹. Однако ведь и сами эти построения Кантора нужно еще было математически легализовать...

Что же касается взглядов Гаусса, Коши и многих других, отвергавших применение актуальной бесконечности в математике, то Кантор, уверенный в незыблемости собственных трансфинитных конструкций, был здесь непреклонен. В письме к шведскому математику Г. Энестрему от 4.10.1885 Кантор пишет о своем отношении к позиции Гаусса, высказанной в его вышеприведенном письме к Шумахеру ²: «Я подробно ответил на это указание и отклонил вэтом пунктеавторитет Гаусса, который во всех прочих отношениях я ставлю так высоко, подобно тому как теперь я отклоняю свидетельство Коши и как в своем сочинении "Основы общего учения о многообразиях" (Лейпциг, 1883) я среди прочих авторов отклонил и авторитет Лейбница, оказавшегося в этом вопросе удивительно непоследовательным»³. Все встречаемые возражения против актуальной бесконечности, настаивает Кантор, исходят из ложных предпосылок: или путают актуальную бесконечность с потенциальной, или требуют, чтобы бесконечные множества под­чи­ня­лись свойствам конечных. Мы разбирали уже эти аргументы выше⁴.

* * *

«Великим камнем преткновения» (как называет его Кантор), лежащим на пути легализации актуально бесконечных множеств, был издревле парадокс, состоящий в том, что для бесконечных множеств часть становится равной целому. Подобный парадокс мы разбирали, например, говоря о взглядах Коши на бесконечность. Кантор находит убедительные соображения для объяснения этого парадокса, хотя они и существенно опираются на его новое понятие числа, основанное на понятии множества. Для Кантора существует как бы два плана бытия (платонизм!): один —множества, «ре­альность», как называет их сам Кантор, и другой—числа, представляющие собой идеальную реальность, несовпадающую с первой. Число, соответствующее некоторому множеству, конечное или бесконечное, есть уже не само множество, а некая его «про­ек­ция», поэтому равенство этих чисел отнюдь не означает равенство самих множеств. Вот как объясняет это сам создатель теории множеств: «Утверждение, что множеству М соответствует то же самое кардинальное число, что и его составной части М¢, не равносильно высказыванию, чтоконкретным множествамМ и М¢присуща одна и та же реальность.Действительно, если соответствующие общие понятия М и М¢ [т.е. кардинальные числа, соответствующие множествам М и М¢.—В.К.]удовлетворяют условиям равенства,то это отнюдь не противоречит исходному факту, что множество М включает в себя как реальностьМ¢,так и реальностьМ¢¢[имеется в виду М=М¢ÈМ¢¢.—В.К.]. Развекакое-нибудь множество и соответствующее ему кардинальное число не представляют собой совершенно различные вещи? Развепервое не противостоитнам в качестве объекта, между тем как последнее есть лишь его абстрактный образ в нашем уме?»¹Например, множество всех натуральных чисел содержит в себе подмножество всех четных чисел. Кардинальные числа этих множеств равны, т.к. возможно установить между ними взаимно однозначное соответствие

n « 2n.

Однако сами эти множества различны, и множество натуральных чисел «обладает большей реальностью», как выражается сам Кантор, чем множество четных, потому что во множество натуральных чисел помимо четных входят еще и нечетные числа. То, что часть меньше целого, это верно только для конечных множеств. Для бесконечных это положение нарушается. Но, подчеркнем еще раз, Кантор «разрешает» классический парадокс именно за счет удвоения реальности:числа суть особые идеальные объекты, отражающие некоторые свойства множеств, но не тождественные им.