§ 4. Теория множеств и теология (Августин, а. Арно, б. Паскаль, аббат Муаньо)

В приведенном выше письме Кантора к доминиканцу Т. Эшеру (с. 73 и далее) мы видели, насколько взаимовыгодным виделось создателю теории множеств взаимоотношение науки, метафизики и теологии. Не только сверху вниз — от откровенной истины к опытным наукам — распространяется свет истины, но и, наоборот, «каж­дое расширение нашего воззрения в области тварно-воз­мож­ного должно вести.... к некоему более обширному богопознанию»¹. Собственно, последнее, влияние науки (математики) на теологию, и есть главная мысль, в которой стремится убедить адресата письмо. И конечно, теории множеств здесь отводилась совершенно особая роль. Об этом ярко свидетельствует и заключение письма: «Много времени спустя после того, как я разобрался в вещах, о которых здесь идет речь, я заметил, что в 17-м столетии, столь богатом великими умами, было предпринято несколько попыток развить учение об актуально бесконечном in natura naturata, в частности, францисканцем Эм. Маньяном, иезуитом Р. Арриагой, Лейбницем, Мальбраншем, Фонтенелем. Долгое время я надеялся найти у того или другого большую близость с моим собственным учением. Но внимательное исследование показало мне, что это могло быть верно лишь в минимальной степени. Все эти ранние попытки оказываются или в высшей степени неразвитыми, или противоречивыми, чем и объясняется, почему они остались без влияния, полностью бесполезными и без более успешных последователей. Мною впервые предложено христианской философии истинное учение о бесконечном в его началах. Я знаю совершенно точно и определенно, что она воспримет это учение, вопрос состоит только в том, сейчас или уже после моей смерти. Эту альтернативу я воспринимаю совершенно равнодушно, она не затрагивает моей бедной души, которую я спешу вручить Вам, достопочтимый отец, и Вашим благочестивым молитвам» [выделено мной. — В. К.] ¹. Кантор, как мы знаем, был непоколебимо убежден, что через него действует высшая сила и что поэтому триумф теории множеств в будущем неизбежен. Но все истинное не случайно в истории. Хотя, может быть, и не сразу осознанное, оно должно в какой-то степени присутствовать в истории мысли всегда, в прошлом в той же степени, что и в будущем. Тем более, если это касается таких фундаментальных понятий, как бесконечность. Необходимо было найти какие-то следы этой новой истины, открытой теорией множеств, какие-то фрагменты в истории христианской мысли, «христианской философии», которые поддерживали бы позицию Кантора. Но, как признается он в последней цитате и как признавался не раз в других местах, найти такие места представлялось почти невозможным...

Тем не менее у Августина Кантор признавал нечто близкое своему подходу к актуальной бесконечности. Кантор обсуждает соответствующие взгляды епископа Гиппонийского в работе «К учению о трансфинитном». Глубоко разочарованный в своих надеждах быть понятым и признанным математиками, особенно после отзыва материалов из «Acta Mathematica» в 1885 г., Кантор напечатал эту статью в философском журнале (1887). Первая часть статьи была посвящена разбору философских и богословских возражений, связанных с теорией множеств. Говоря об Августине, Кантор ссылается на гл.XVIIIкн. 12 «О Граде Божием». ГлаваXVIIIимеет название «Против тех, которые говорят, что бесконечное не может быть обнято даже божественным ведением». Здесь внимание Кантора привлекли фрагменты, признающие за Богом способность видеть все числа, весь натуральный ряд чисел сразу. «Итак, неужели Бог не знает всех чисел вследствие их бесконечности,—задает вопрос Августин,—и неужели ведение Божие простирается лишь на некоторую сумму, а остальные числа не знает? Кто даже из самых безрассудных людей скажет это?»¹Это предположение противоречит нашему представлению о совершенной премудрости Бога. Августин приводит несколько традиционных мест из Писания: «Вся мерою и числом и весом расположил еси» (Прем. Сол.XI, 21); «Вам же и власы главные вси изочтены суть» (Мф. 10, 30); «Разума Его несть числа» (Псал. 146, 5). «По­этому, бесконечность числа, хотя бы и не было числа бесконечным числам, не может быть необъемлемою для Того, у Кого нет числа разуму. Все, что объемлется знанием, ограничивается сознанием познающего; так же точно и всякая бесконечность бывает некоторым неизреченным образом ограниченною в Боге, потому что не необъятна для Его ведения»²[выделено полужирныммной.—В. К.]. Выделенное место служит для Кантора подтверждением того, что Бог, по Августину, видит бесконечное как законченное целое, т.е. кактрансфинитное: «Нельзя более энергично требовать, более совершенно обосновывать и защищатьтрансфинитное,чем это сделано св. Августином. А что в случае бесконечного множества (n) всех конечных чисел речь идет не об абсолютно бесконечном, то в этом вряд ли кто сомневался. Тем же, что св. Августин утверждает общее, интуитивное восприятие множества (n) «quo­dam ineffabili modo»,a parte Dei³, он одновременно признает это множествоболее формальным,чем некое актуально бесконечное целое, как некоетрансфинитное, и мы вынуждены следовать в этом за ним»⁴. Трудно согласиться с убедительностью этих рассуждений Кантора. Формальное (т.е. идеальное) и реальное в мысли Бога совпадают. Поэтому между актуально бесконечным множеством натуральных чисел и их формальным образом никакой разницы нет. Бог, конечно, видит это множество все целиком, и оно, вообще говоря, не совпадает с абсолютным. Но можно ли эту интуицию понимать какчисло, в том духе, как это делается в теории множеств, в частности как трансфинитное порядковое число, и осуществлять с ним операции (в частности, увеличивать, добавлять единицы и т.д.)—мы не знаем. Сам Августин не рискует об этом спекулировать. Он говоритпростоо том, что Бог разом видит все конечные числа. Канторовская же интерпретация этого утверждения идет много дальше.

Блеза Паскаля и Антуана Арно Кантор также пытался зачислить в число своих союзников. В выдержках из письма шведскому математику Г. Энестрему, напечатанных отдельной статьей в философском журнале в 1886 г., Кантор критиковал возражения против возможности существования актуально бесконечных чисел, основанных, как он подчеркивал, на ошибочной предпосылке: от бесконечных чисел требовали тех же свойств, что и от конечных. Мы разбирали эту полемику выше (см. с. 27 и далее). Тут же Кантор замечает: «Паскаль, как я лишь недавно увидел, вполне осознал всю рискованность, если не нелепость подобных дедукций, с какими мы встречаемся у названных нами писателей. Поэтому он, равно как и его друг Антуан Арно, высказывается за актуально бесконечные числа. Но в силу некоторого другого соображения, на котором я не хочу здесь останавливаться, он слишком низко оценивал человеческий ум в отношении постижения им актуально бесконечного...»¹Что касается Арно, то вряд ли можно согласиться, что он «высказывается за актуально бесконечные числа». В четвертой части «Логики, или Искусства мыслить» А. Арно и П. Ни­коль, на которую ссылается Кантор, в главеIразбираются вопросы, касающиеся бесконечности. Глава носит заглавие «О знании: что оно существует; что познаваемое умом более достоверно, чем познаваемое чувствами; что есть вещи, которые неспособен познать человеческий ум. О том, какую пользу можно извлечь из этого непреодолимого незнания». В этой главе мы, в частности, читаем: «Наилучший способ сократить себе путь в изучении наук—не заниматься разысканием того, что выше нашего разумения и что мы не можем надеяться когда-либо понять. К этому ряду принадлежатвсе вопросы,касающиеся могущества Божия, которое смешно пытаться объять нашим ограниченным умом, и вообще все, в чем есть бесконечность; ибо наш конечный ум в бесконечности теряется и слепнет, изнемогая под гнетом множества противоречивых мыслей, которые она вызывает»¹[выделено мной.—В.К.]. Среди подобных вопросов авторы «Логики» называют, также: Возможно ли, чтобы сотворенное было сотворено в вечности? Может ли Бог создать телобесконечной величины, движение сбесконечной скоростью,бесконечное множество? Является ли бесконечное число четным или нечетным?Существует ли бесконечность большая, чем другая? Утверждать на основании этого, что Арно признавал существование бесконечных чисел—значит насиловать смысл текста. По поводу этих вопросов в «Логике» читаем: «Тот, кто сразу скажет "Я ничего этого не знаю", в единый миг продвинется настолько же, как и тот, кто будет двадцать лет размышлять о подобных вещах. Единственное различие между ними состоит в том, что всякий, кто пытается найти ответ на эти вопросы, рискует опуститься ниже простого незнания, а именно возомнить, будто он знает то, чего он на самом деле не знает»¹. Далее же, в главе VII, где авторы формулируют основные аксиомы, «которые могут служить отправными положениями для выведения великих истин», мы находим явно высказанную «Аксиому девятую»: «Конечный ум по природе своей не способен понять бесконечное»².

Арно, как и Паскаль, правда, отдает должное модной мифологии XVIIстолетия о бесконечной делимости материи. Лейбниц, как известно, прямо связал это со своей «Монадологией». «Но надо заметить,—пишет Арно,—что есть вещи непостижимые в своем способе бытия, но определенно существующие... Есть ли что-нибудь более непостижимое, чем вечность, и вместе с тем есть ли что-нибудь более несомненное?.. Разве мы в состоянии осмыслить, что мельчайшая частица материи делима до бесконечности и что мы никогда не могли бы дойти до частицы настолько малой, чтобы в ней не было заключено много других частиц, а точнее—неисчислимое множество других частиц; что мельчайшее хлебное зернышко заключает в себе столько же частиц, как и целый мир, хотя у них соответственно меньшие размеры; что в нем реально существуют все мыслимые фигуры и что оно вмещает малый мир со всеми его частями—солнцем, небом, звездами, планетами, землей в поразительной правильности пропорций; и что в этом зернышке нет ни единой частицы, которая не вмещала бы, в свою очередь, соразмерного ей мира!»³Эта бесконечность «вписанных» один в другой миров прямо не вытекает из бесконечной делимости геометрического пространства, к которому столь привлечено вниманиеXVIIв. и о котором говорит здесь Арно. Чтобы перейти от бесконечной делимости пространства к актуально бесконечной разделенности материи, мира, нужна была специальная метафизика (например, лейбницевская «Монадология»). Но даже если и признать эту актуальную бесконечную разделенность материи, то общее количество частиц становится, скорее,неопределенно бесконечным, чемконкретно бесконечным, в смысле определенных трансфинитных мощностей Кантора. Во всяком случае, на основании этого трудно сделать вывод, что Арно «высказывается за актуально бесконечные числа». Вывод, который делает из этих рассмотрений Арно,не столько познавательный, сколько религиозно-нравственный: «Польза, извлекаемая из подобных умозрений, состоит не просто в том, что мы приобретаем познания,—эти познания сами по себе бесплодны. Важнее то, что мы замечаем ограниченность нашего ума и заставляем его волей-неволей признать, что есть вещи, которые существуют несмотря на то, что он не способен их понять. Поэтому имеет смысл утруждать ум подобными тонкостями, дабы умерить его самодовольство и навсегда отучить его противопоставлять свой слабый свет истинам, возвещаемым ему церковью, под предлогом, что он не может их понять. Ведь если человеческий ум отступает перед малейшим атомом материи и признает, что ясно видит его бесконечную делимость, но не в состоянии понять, как она возможна, то не следует ли отсюда, что отказываться верить в чудесные проявления непостижимого всемогущества Божия на том основании, что наш ум не может их понять,—значит явно грешить против разума?»¹

Паскаля также трудно, вопреки мнению Кантора, зачислить в число сторонников легализации актуальной бесконечности в науке. В «Мыслях» можно найти много фрагментов, посвященных проблеме бесконечного. Но всегда их смысл, их интенция —религиозно-назидательная, а отнюдь не научно-познавательная. Например: «Единица, прибавленная к бесконечности, ничуть не увеличивает ее, так же как одна ступня, добавленная к бесконечному расстоянию. Конечное уничтожается рядом с бесконечным, превращаясь в чистое ничто. Так же и наш дух перед Богом; так же и наша справедливость перед божественной справедливостью. Несоизмеримость между единицей и бесконечностью не столь велика, как несоизмеримость между нашей справедливостью и божественной»¹. Есть, однако, и фрагменты, которые, взятые сами по себе, могут быть истолкованы как признание существования бесконечных чисел. Например: «Мы знаем, что существует бесконечность и мы не знаем ее природы. Так, к примеру, мы знаем, что утверждение количество чисел конечно—ложно. Следовательно, чисел бесконечное множество. Но мы не знаем, что это такое. Неверно, что бесконечное—четно, неверно также, что оно и нечетно; так как, добавляя единицу, мы ничуть не изменяем его природы: однако, оно—число, а всякое число или четно, или нечетно; все это само собой разумеется в отношении конечных чисел»². Паскаль, как мы видим, разделял все тепредрассудки, с которыми Кантор постоянно боролся в своей полемике: что бесконечные числа,—если они и существуют,—должны обладать свойствами конечных, в частности иметь определенную четность. Говоря, что бесконечное есть число, Паскаль, скорее, делает предположение, показывая, что сфера бесконечного—непостижима. И все это всегда лишь с ориентацией на теологию, берущую разум только в специфически ограниченном смысле, дополняющую его всегда способностьюверы: «Можно, следовательно, твердо знать, что Бог есть, не зная того, что он есть: и вы не должны заключать, что Бога нет, из того, что мы не знаем полностью его природы»³. Актуально бесконечное для Паскаля всегда—граница человеческого разума. Оно не столькопоказываетсебя и дает себя познать, сколькоуказываетна Божественную реальность и на другие, иные, чем научные, методы познания: «Сердце имеет свои резоны, которых разум нисколько не осознает: это чувствуется в тысяче вещей. Именно сердце чувствует Бога, а не разум. В этом и состоит настоящая вера: Бог, ощущаемый в сердце»¹.

Полезно упомянуть здесь и о статье аббата Муаньо «Не­воз­мож­ность в действительности бесконечно-большого числа». Статья была приложена к «Семи лекциям общей физики» О. Коши. Муаньо был учеником Коши. К «Семи лекциям» он написал, кроме того, еще и вводную статью, представляющую собой краткий очерк жизни и научной деятельности своего учителя, показывающую последнего не только как плодовитого и разностороннего ученого, но и как глубоко благочестивого и активно творившего дела милосердия католика. Муаньо восхищается Коши как христианином, но ему также близка и точка зрения великого математика на актуальную бесконечность (которую мы разбирали выше). «Возможно ли в действительности бесконечно-большое число? Прибавляя единицу к единице или группу единиц к группам единиц, можно ли прийти в действительности к бесконечно-большому числу? На поставленный таким образом вопрос, простой здравый смысл не колеблясь отвечает нет, очевидно нет»². Понимая число как получающееся через добавление единиц, Муаньо, естественно, не может получить таким образом бесконечного числа. Кроме того, с числом всегда связано у Муаньо понятие четности или нечетности, что нельзя применить к бесконечному числу и т.д. Короче, Муаньо разделяет ту традиционную точку зрения на актуально бесконечное, которая, по Кантору, естьpetitio principii: от актуально бесконечногоa prioriтребуют свойств конечного, вместо того чтобы изучить действительные его свойства. «Два эти понятия:числоибесконечноенеобходимо, существенно друг другу противоречат, одно другое отрицает»³. Католический писатель делает из этого сразу же богословские выводы: «Число бесконечно-большое невозможно, следовательно, число людей, существовавших на Земле, конечное, и был первый человек, созданный руками Бога Творца; следовательно число оборотов Земли вокруг Солнца конечное, и было первое обращение, и Земля была помещена на своей орбите волею Всевышнего, следовательно, во всех и в каждом из разрядов природы был первообраз без прародителей, и существа не вечно наследовали на Земле и пр. и пр.»¹. Можно соглашаться или нет с подобными умозаключениями, однако трудно отказать им в определенной доли правдоподобия. Нам они важны здесь как свидетельства определенной традиции богословской аргументации, с которой встретился Кантор. «Что из этого разбора следует?—продолжает Муаньо,—с одной стороны, что свидетельства Бога более вероятны, чем мы могли бы того желать, testimonia tua credibilia sunt nimis², что главный догмат Творения есть простое заключение из науки о числах; что атеизм есть отрицание математической очевидности и пр.; с другой стороны, что неверие лежит не в уме, а в воле или в сердце, что, следовательно, оно не извинительно; что оно составляет не столько несчастие, сколько вину»³.

Кантор читал и лекции Коши и приложение Муаньо и упоминает их в своем письме к Энестрему, из которого мы уже не раз цитировали. С точки зрения его новой теоретической конструкции трансфинитных чисел настаивать на необходимой связи понятия числаиконечногобыло уже абсурдно. И если тем более это используют для нужд теологии, то тогда последняя в опасности: «Я отнюдь не нахожусь в принципиальном противоречии с этими авторами, поскольку они стремятся к гармонии между верой и знанием; но я считаю совершенно непригодными средства, которыми они пользуются для этого. Если бы догматы веры нуждались для своего подтверждения в такомкардинально ложномтезисе, как положение о невозможности актуально бесконечных чисел (которое в известной формуле «numerus infinitus repugnat»¹очень и очень древнего происхождения...), то их дела обстояли бы очень плохо»². Отсюда вывод: новая математическая теория должна существенно изменить и богословскую аргументацию. Что, как мы видели выше, соответствовало и общим представлениям Кантора о взаимопонимании теологии и наук.