§ 5. Актуальная бесконечность как «объемлющее»

Можно по-разному относиться к теории множеств, но трудно спорить с тем, что Кантору удалось тщательно продумать и обсудить почти все основные аргументы, выдвигаемые proиcontraактуальной бесконечности. Говоря, что к конечной человеческой природе «прилипло очень многое от бесконечного»¹, Кантор имел в виду, что актуальная бесконечность в некотором смысле все-таки «дана» нам. Одно из классических рассуждений, демонстрирующих эту данность, имеющее типично герменевтическую природу, приводится Кантором в его работе «К учению о трансфинитном». «Если не подлежит никакому сомнению то, что мы не можем обойтись без переменнойвеличины в смысле потенциальной бесконечности, то из этого можно следующим образом доказать и необходимость актуальной бесконечности. Для того чтобы подобную переменную величину можно было использовать в каком-либо математическом исследовании, "область" ее изменения должна, строго говоря, быть известной наперед благодаря некоторому определению. Но сама эта "область" не может быть опять-таки чем-то переменным, ибо в противном случае наше исследование не имело бы под собой никакой прочной основы. Следовательно, эта «об­ласть» представляет собой некотороеопределенноеактуально бесконечное множество значений. Таким образом, всякая потенциальная бесконечность, которую желают использовать строго математически, предполагает наличие актуальной бесконечности [вы­де­лено полужирным мной.—В. К.]»¹. То, что использование потенциальной бесконечности предполагает некоторую «область» изменений, некоторое «пространство» возможностей, это несомненно. Однако то, что эта, так сказать, «периферийным» умственным зрением обнаруживаемая «область» представляет собой некотороеопределенное актуально бесконечное множество значений («eine bestimmte ak­tual-unendliche Wertmenge»), есть ужеслишком обязывающеевысказывание. Эта областьобъемлющего², как пространства возможностей самого разворачивания потенциально бесконечных процедур, обладает своими парадоксальными свойствами, и в частности в ней, вообще говоря, уже не действует принцип субъект-объ­ект­но­го разделения. Не случайно парадоксы теории множеств и соответствующие им логические парадоксы («мно­жество всех множеств», «парадокс Рассела» и др.) тесно связаны именно с вопросом самоприменимости понятий. Поэтому познавательный оптимизм Кантора, может быть и оправданный для конца прошлого века, выглядит сегодня достаточно «юве­ниль­ным»: «Эти "об­лас­ти изменения" являются непосредственными основами как анализа, так и арифметики, а потому они определенно заслуживают того, чтобы сделать их предметом особых исследований, как это и сделано было мною в "теории множеств" (theorie des ensemles). Но если, таким образом, актуально бесконечное приобретает в математике права гражданства в форме актуально бесконечных множеств, то становится также неизбежным образование понятия актуально бесконечногочислапри помощинадлежащих естественных абстракций, подобно тому как понятия о конечных числах, составляющих материал традиционной арифметики,были получены путем абстрагирования из конечных множеств»[выделено полужирным мной.—В. К.] ¹. Здесь все подчеркнутые нами моменты суть некоторые результаты выбора, сделанного Кантором, сутьгипотезы, положенные им в основание своей теоретико-множественной программы в математике в качестве своеобразного научногосимвола веры. Но как показала история науки, положения этого символа веры были далеко не так очевидны для научного сообщества, как это представлялось Кантору. И то, что эту сферу объемлющего можно выразить на специфическом языке теории множеств. И то, что «аб­ст­рак­ции», используемые в теоретико-множественных конструкциях, достаточно «естественны». И то, что конечные числа получены путем абстрагирования из конечных множеств... Кантор прекрасно чувствовал область, в которую его вели размышления о бесконечном. Однако намеченный им путь и «способ передвижения» по ней были отнюдь не бесспорны.