Содержание

Введение 4

Глава I. Модусы бесконечного

1. §1. Актуальная и потенциальная бесконечности14

2. §2. Элементарные понятия «наивной» теории множеств18

3. §3. Канторовская критика Аристотеля. Ориген и Фома Аквинат22

4. §4. Бесконечное у Лейбница. Кантор против постулата о конечности человеческого рассудка 27

5. §5. «Парадоксы бесконечного» Б. Больцано 30

Глава II. Трансфинитные числа

6. §1. Трансфинитные числа—новые иррациональности41

7. §2. Платоновские мотивы у Кантора44

8. §3. Противники (Г. Гельмгольц, Л. Кронекер, К. Гаусс, О. Коши)49

9. §4. Канторовская критика аргументов противников56

10. §5. Актуальная бесконечность как «объемлющее»59

11. §6. Границы канторовского платонизма60

Глава III. Философия математики у Кантора: между «свободой математики» и «Hypotheses non fingo»

12. §1. «Сущность математики заключается в ее свободе»64

13. §2. Иерархия типов познания (письмо к Т. Эшеру)72

14. §3. Три аспекта актуально бесконечного в истории мысли79

Глава IV. Математика и религия

15. §1. Трансфинитные числа в Боге85

16. §2. Теория множеств как откровение88

17. §3. Канторовские проекты приложения теории множеств в естествознании92

18. §4. Теория множеств и теология (Августин, А. Арно, Б. Паскаль, аббат Муаньо) 99

19. §5. К. Гутберлет о бесконечном107

20. §6. Переписка с кардиналом Францелином114

Глава V. Классические проблемы теории множеств

21. §1. Проблема континуума и континуум-гипотеза123

22. §2. Аксиома выбора129

23. §3. Парадоксы. Шкала мощностей как «лестница на Небо»135

Глава VI. Личностные особенности и религиозные взгляды Кантора

24. §1. Происхождение, личные особенности, болезнь147

25. §2. Теология Кантора158

Глава VII. Границы науки

26. §1. Разноликий рационализм169

27. §2. Бесконечное в философии математики И. Канта172

28. §3. Границы математического метода мышления по О. Беккеру177

29. §4. А. Пуанкаре о работе математика181

30. §5. Концепция «целостного разума» в русской религиозной философии186

Вместо послесловия: Особая роль метафизики 199

Указатель имен 204

1Платон.Филеб, 17e, 4–8 (пер. Н. В. Самсонова).

2 Аристотель.Физика, 207a, 22–27 (пер. В. П. Карпова).

1Декарт Р. Первоначала философии // Декарт Р. Соч.: В 2 т. Т. 1. М., 1989. С. 324.

1 См. мою книгу:Катасонов В. Н.Метафизическая математика XVII в. М., 1993. Особенно гл. II.

1См., напр.:Медведев Ф.А.Развитие теории множеств в XIX веке. М., 1965;Он же.Ранняя история аксиомы выбора. М., 1982; Cavailles J.Philosophie mathematique. P., 1962; From the Calculus to Set theory, 1630–1910. An Introductory History. Ed. by I. Grattan-Guinness. L., 1980.

2См.:Dauben J. W.Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite. Harvard University Press. Cambridge; L., 1979;Purkert W., Ilgauds H. J.Georg Cantor, 1845–1918. Basel; Stuttgart, 1987.

1 Dauben J. W. Georg Cantor and the battle for transfinite set theory // Paradigm shifts in the mathematical sciences. Proceedings for the Ninth Biennial Conference of the Association of Christians in the Mathematical Sciences. June 2–5, 1993. Westmont College. Santa Barbara, California. Ed. by Robert L. Brabenec. P. 18–19.

2См., напр.:Медведев Ф. А.Канторовская теория множеств и теология //Вопросы истории естествознания и техники. 1985, № 2. С.87–95.

1Священник Павел Флоренский, давший одно из первых в оте­чественной литературе изложений канторовской теории множеств, так описывал эту ситуацию: «Его, конечно, публика не понимает. Чего нужно ему? Для философов он "философствующий математик", для математиков — метафизик, для индифферентных — он подозрительно религиозен, — как бы тут не было подвохов; для теологов он будто бы опасен: "не ведут ли эти умствования к пантеизму?" — вот задняя мысль теологов» (См.:Свящ. Павел Флоренский. О символах бесконечности (Очерк идей Г. Кантора) // Священник Павел Флоренский. Соч.: В 4 т. Т. 1. М., 1994. С. 122).

1 Кантор Георг. Основы общего учения о многообразиях. Математически-фи­ло­соф­ский опыт учения о бесконечном// Кантор Георг. Труды по теории множеств. Отв. ред. А. Н. Колмогоров, А. П. Юшкевич. М., 1985. С. 64. (В дальнейшем я делаю ссылки на эту книгу следующим образом:Кантори указание страниц.)

1 Кантор.С. 64–65.

2 Кантор.С. 65.

3Прежде всего Лейбницем. Кантор не считал дифференциал актуально бесконечно малой. Дифференциал для него, больше ориентированного на конструкции О. Коши, был произвольным сколь угодно малым количеством. Впрочем, и точка зрения Лейбница на дифференциал была колеблющейся (см. мою книгу:Катасонов В. Н. Метафизическая математика XVII в. М., 1983. Гл. II).

1Аристотель.Физика. 206а, 28–35.

2Язычество, собственно, и есть обожествление формы.

1Термин богоподобие берется здесь, конечно, не в собственном смысле. Существенным для христианского богословия является разделение образа и подобия Божия в человеке. Образ Божий в человеке есть онтологическая характеристика тварного человеческого существа. Подобие же Божие есть задание для падшего человечества. Преодолевая свои страсти, свою греховную природу, личными нравственными усилиями каждый человек призван восстановить свое богоподобие, утраченное в грехопадении. Возможность этого открыта искупительным подвигом Иисуса Христа.

2Ошибочный начальный тезис (греч.).

1 Кантор.С. 263.

1Кантор Г. К обоснованию учения о трансфинитных множествах //Кантор. С. 173.

1Кантор ввел обозначения мощностей через букву «алеф» (a), первую букву еврейского алфавита, с индексами.

2 Кантор.С. 186.

1В отличие от определения кардинала, здесь однократное абстраги-

__

рование, поэтому и одна черта над символом множества: M.

1В общем случае, т.е. включая и бесконечные множества.

1Кантор.С. 72–73.

2Поэтому Кантор с необходимостью вовлекается в математические и философские дискуссии.

3Кантор.С. 73.

1Там же.

2Кун Т.Структура научных революций. М., 1975.

1Подробнее см. об этом в моей книге:Катасонов В.Н.Метафизическая математикаXVIIв. Гл.IIиIV.

1Кантор Г. К учению о трансфинитном //Кантор. V. Прим. 19 (со с. 289). С. 291. Пер. с лат. дан по книге:Ориген. О началах // Творения Оригена, учителя александрийского, в русском переводе. Казань, 1899. С. 150–151).

2Там же. Пер. с лат. см.:Кантор. С. 416.

1Там же.

1 Кантор. С. 74.

1Лейбниц — Фуше// Лейбниц Г. В. Соч.: В 4 т. Т. 3. М., 1984. С. 294.

2Кантор.С. 74.

1Кантор. С. 75

2Кантор. С. 76.

1Кантор. С. 281. Прим. 8.

2Кантор. С. 266–267.

1 Русский перевод: Больцано Б. Парадоксы бесконечного. Одесса, 1911.

1Кантор Г. Основы общего учения о многообразиях. Математически-философский опыт учения о бесконечном //Кантор.С. 77.

2Больцано Б.Парадоксы бесконечного. С. 13.

1Цит. соч. С. 9.

2Цит. соч. С. 11.

3Напомним, что, согласно теории множеств Кантора, мощности множества точек прямой и плоскости равны.

1 См. наст. изд., гл. IV, § 6, «Переписка с кардиналом Францелином».

2 О необходимости для Бога создать бесконечную вселенную писал еще Д. Бруно: «Таким образом, необходимо признать одно из двух: или то, что действующее начало, от которого зависит бесконечное действие [т.е. Бог. — В. К.], будет признано причиною и началом безмерной вселенной, содержащей бесчисленные миры; это не влечет за собой никаких неудобств, все даже вытекает соответствующим образом, согласно науке, законам и вере; или же действующее начало, поскольку от него зависит конечная вселенная с этими мирами (которые суть звезды), в определенном количестве будет признано конечной, активной и определенной потенцией, подобно тому как его акт конечный и определенный, ибо каков акт, такова и воля и такова потенция» (О бесконечности, вселенной и мирах. Пер. А. И. Рубина. // Бруно Б. Диалоги. М., 1949. С. 318).

1Больцано Б.Парадоксы бесконечного. С. 36.

2См. наст. изд., гл. VI, § 2, «Теология Кантора».

3Так у автора. См.:Больцано Б.Парадоксы бесконечного. С. 44.

1Там же.

1Цит. соч. С. 45.

2Там же.

1Подробнее см.:Гильберт Д.Основания геометрии. М.; Л., 1948. С. 355–357;Вейль Г.Топология и абстрактная алгебра как два способа понимания в математике // Вейль Г. Математическое мышление. М., 1989. С. 24–41;Катасонов В.Н.Метафизическая математика XVII в. М., 1993. Гл. II, п. 1.

1Больцано Б. Парадоксы бесконечного. С. 35.

1Цит. соч. С. 29.

2Цит. соч. С. 27–28. Прим.

1 Эту неспособность Больцано обратить особое внимание на не связанные с метрикой свойства геометрических фигур — топологические и теоретико-множественные — отмечает как основное препятствие на пути к теории множеств и испанский историк математики Х. Феррейрос (Ferrei­ros J. Traditional Logic and the Early History of Sets, 1854–1908 // Archive for History of Exact Sciences. Vol. 50, N. 1, 18. IV. 1996. P. 32).

1 Основы общего учения о многообразиях... // Кантор. С. 78.

2Больцано Б. Парадоксы бесконечного. С. 70.

3Цит. соч. С. 68.

4Основы общего учения о многообразиях... С. 91.

1Кантор был близко знаком с Дедекиндом и одно время имел с ним интенсивную переписку.

2Русский перевод работы:Дедекинд Р.Непрерывность и иррациональные числа/Пер. С. О. Шатуновского. Одесса,Mathesis. 1923.См. также любые более современные изложения теории сечений Дедекинда. Например,Фихтенгольц Г. М.Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. М., 1966.

1 Кантор. С. 284.

2См. мою статью:Катасонов В. Н.Форма и формула (к вопросу о типе рациональности античной и декартовой геометрий)// Философия науки. Вып. 1: Проблемы рациональности. Институт философии РАН. М., 1985. С. 105–146.

1Кантор. С. 283–284.

1Кантор. С. 269.

2 G. Cantor an Ch. Hermite. Halle. 30 Nov. 1895 (эта фраза в оригинале по-французски) // Meschowski H. Probleme des Unendlichen. Werk und Leben Georg Cantors. Friedr. Vieweg & Sohn. Braunschweig. 1967. S. 262.

1Ibidem.

2 Ibidem.Перевод с лат.: «Целые числа подобно и небесным телам образуют некое целое, законосообразное и хорошо упорядоченное».

3Подробнее об этом сближении мы будем говорить ниже.

1 Dauben J. W. Georg Cantor:His Mathematics and Philosophy of the Infinite. Cambridge; Massachusetts; London, 1979. P. 229.

2К сожалению, следы подобного непонимания можно обнаружить на многих страницах русского издания работ Г. Кантора, на которые мы постоянно ссылаемся:Кантор Г.Труды по теории множеств. М., 1985.

1Евклид. Начала: КнигиVII–X. Пер. и коммент. Д. Д. Мордухай-Болтовского, при ред. участии И. Н. Веселовского. М.; Л., 1949. С. 9.

2 Кантор. С. 271.

1Кантор. С. 270–271.

2Эта эмпирико-психологическая точка зрения Г. Гельмгольца и Л. Кро­некера была наиболее неприемлема для Кантора. См. об этом ниже.

3 Кантор. С. 305, продолжение прим. 30.

1 Кантор. С. 304. Прим. 30.

2 Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten. S.418, An.1 // Cantor Ge­org. Gesammelte Abhandlungen. Mathematischen und Philosophischen Inhalts. Herausg. von Ernst Zermelo. Berlin, 1932. S. 378–439.

3 Кантор. С. 304. Прим. 30.

1Наука чистого времени (англ.).

2Кантор. С. 271. Прим. 2.

1Фон-Гельмгольц Г. Счет и измерение // «Счет и измерение» Г. Фон-Гельмгольца. «Понятие о числе». Л. Кронекера. Пер. А. Ва­силь­е­ва. Казань, 1983. С. 5.

2Цит. соч. С. 6.

3Цит. соч. С. 27.

4Примечательна строгая приверженность Гельмгольца к традиционному «символу веры» ученых этого времени. В этот символ веры помимо эмпиристской теории происхождения общих понятий, в том числе и чисел, входит еще ипринцип непрерывности. Гельмгольц убежден, что в геометрии и физике господство этого принципа непоколебимо (цит. соч. С. 27). Последующее развитие как математики, так и физики опровергло это убеждение. См. к этому также в моей книге:Катасонов В.Н.Метафизическая математикаXVIIв. Гл.II, § 3.

1Кронекер Л. Понятие о числе//«Счет и измерение» Г. Фон-Гельмгольца. «Понятие о числе» Л. Кронекера... С. 35.

2Здесь Кронекер дает примечание: «Я подразумеваю введение «ир­ра­циональных и вообще непрерывных величин».

1Там же.

2См.: Becker O. Grundlagen der Mathematik in geschichtlicher Ent­wick­lung. Munchen, 1964. S.327.

3 Такова во многом позиция Г. Мешковски в его вышеупомянутой книге.

1См.:Meschkowski H. Probleme des Unendlichen... S.237–239.

2Подразумеваемое лицо нам неизвестно.

3Op.cit. S.238.

1 Ibidem.

2 Op.cit. S.238–239.

3См., напр.:Becker O. Grundlagen der Mathematik... S.327–350.

4Цит. по: «Счет и измерение» Г. Фон-Гельмгольца... С. 34.

5Цит. по:Медведев Ф.А.Развитие теории множеств вXIXвеке. М., 1965. С. 24.

6Коши А.Семь лекций общей физики. С приложениями, составленными аббатом Муаньо. СПб., 1872. С. 36–37.

1Там же.

2Там же.

1Цит. соч. С. 17–18.

2Цит. соч. С. 20.

1Кантор. С. 272.

2Выражение самого Кантора. См.:Кантор. С. 272.

3Последнее есть, конечно, чисто полемическое преувеличение Кантора. Иррациональные «числа» отнюдь не были общепринятыми во времена Платона (тем более Пифагора).

4Кантор. С. 273.

5Там же.

1Здесь необходимо заметить, что в рамках интуиционистской математики была построена теория действительных чисел вполне достаточная для обслуживания основных частей современного математического анализа. См., например, Гейтинг А. Интуиционизм. Б-ка сб. «Ма­те­ма­ти­ка». М., 1965.

2См. выше. С. 53–54.

3 Кантор. С. 263.

4См. наст. изд., с. 14–18, 22–26.

1Кантор. С. 302.

1См. выше. С. 28.

1Кантор. С. 297.

2Мы сознательно используем этот термин, являющийся в философии К. Ясперса одним из основных философских понятий. См., напр., мою статью: К. Ясперс: природа науки и ее судьба // Наука в зеркале философии XX века. М.: Институт философии РАН, 1992.

1Кантор. С. 297.

1Термин средневековой философии, означающий «актуально бесконечное».

2Латинское выражение, означающее понятие вещи, составленное на основе ее собственных признаков.

1Выражение означает понятие вещи, составленное на основе общих признаков.

2Кантор. С. 290. Продолжение прим. 19 со С. 289.

3 См., напр.: Мартин-Леф П. Очерки по конструктивной математике. Б-ка сб. «Математика». М., 1975., а также работу главы московской школы конструктивной математики: Марков А. А. Теория алгоритмов. Труды матем. Ин-та АН СССР им. В. А. Стеклова, 1954.

1Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten. S.401//Cantor Georg. Gesammelte Abhandlungen. Mathematischen und Philosophischen Inhalts. Herausg. von Ernst Zermelo. Berlin,1932.S.378–439.

2Катасонов В.Н. Метафизическая математика XVII в. Глава IV, § 2.

1Принципы теории порядковых типов. Первое сообщение// Кантор. С. 246.

2Основы общего учения о многообразия//Кантор. С. 79.

1Там же.

2Цит. соч. С. 103. Прим. 6.

1Там же.

2Выражение Н. Бурбаки.

1Основы общего учения о многообразиях... С. 79–80.

2Как считает Кантор.

1Цит. соч. С. 80.

2Эта точка зрения на математику отнюдь не была самоочевидной в истории этой науки. Античность в целом смотрела на математику более онтологично. См., напр., мою статью:Катасонов В.Н.Форма и формула (к вопросу о типе рациональности античной и декартовской геометрий)// Философия науки. Вып. 1. Проблемы рациональности. М.: Институт философии РАН, 1995. С. 105–146.

1 Meschkowski H. Aus den Briefbüchern Georg Cantors // Archive for History of Exact Sciences.Ed.by C.Truesdell.V.2, N6. Berlin; Heidelberg; N.-Y. S.510.

2Основы общего учения о многообразиях... С. 80.

1 См., напр.: Левицкий С.А. Трагедия свободы. Франкфурт-на-Майне, 1958.

1 См. мою книгу:Катасонов В. Н.Метафизическая математикаXVIIв. Гл.I.

2Ньютон И.Математические начала натуральной философии. Пер. с лат. и комм. А. Н. Крылова. М., 1989. С. 662.

1 Dauben J. W. Georg Cantor...P.237–238.

2К обоснованию учения о трансфинитных множествах//Кантор. С. 191–192.

3Там же.

4К обоснованию учения... С. 173.

1Кантор был также настойчивым сторонником теории, утверждающей, что основные произведения Шекспира были написаны Ф. Бэ­ко­ном. Мы говорим об этом ниже в гл. VI, § 2.

2См.:Лосев А. Ф.Диалектика числа у Платона//Лосев А. Ф. Миф. Число. Сущность. М., Мысль. 1994. С. 713–876.

1 Meschkowski H. Aus den Briefbüchern Georg Cantors // Archive for History of Exact Sciences.Ed.by C.Truesdell.Vol 2, №6. Berlin;Heidelberg; N.-Y. S.511.

2 Ibidem.

1Ошибка в тварном приводит к ошибке и в божественном (лат.).

2Ты все расположил мерою, числом и весом (лат.).

3Конечным числом (лат.).

4Бесконечных чисел (лат.).

5Meschkowski H. Aus den Briefbüchern Georg Cantors. S. 512.

1 Ibidem.

2 Op.cit.S.513.

1Это двойственное положение математики — и как часть науки, и как часть философии (метафизики) — достаточно традиционно для европейской мысли как античности, так и нового времени. Лейбниц, например, писал в «Novissima Sinica»: «Геометрию сегодня следует рассматривать не как область ремесленников, а как область философов; поскольку добродетель проистекает от мудрости, а дух мудрости есть истина, то те, кто основательно исследуют доказательства геометров, воспринимают природу вечной истины и способны отличать достоверное от недостоверного. Другие же смертные блуждают среди догадок и, не зная истины, почти так же, как Пилат, спрашивают, что она есть такое» (Leibniz G. W. Writings on China. Tr. by D. J. Cook and H. Rosemont, Jr. Open Court Pub­li­shing Company, 1994. P. 50).

1См., в частности, статью авторитетного католического историка науки Э. Мак-Маллина «Естественная наука и вера в Творца», в которой показывается, как с развитием новоевропейской науки Бог постепенно перестает играть служебную роль «Бога для лакун» («God of gaps»), являющуюся средством универсального объяснения всего нам непонятного. Наше представление о Боге по мере прогресса знания как бы очищается от всего тварного и второстепенного, связанного с ограниченностью представлений древнего человека. На первый план все более выступают фундаментальные характеристики Бога Творца и Искупителя (E. McMullin. Natural Science and Belief in a Creator: Historical Notes//Physics, Philosophy and Theology: A Common Quest for Understanding. Vatican Observatory — Vatican City State — Notre-Dame.USA. 1988. P.49–80).

1См., например,Pannenberg W. Toward a Theology of Nature. Essays on Science and Faith. Luisville, Kentucky. 1993.

1Я показывал работу этого механизма на примере утверждения новой математической идеологии, — также связанной с актуальной бесконечностью, — вXVII веке. См.:Катасонов В. Н.Метафизическая математикаXVIIв. С. 136–140.

1О различных точках зрения на актуально бесконечное... //Кантор. С. 264.

2Декарт Р.Первоначала философии// Декарт Р. Соч.: В 2 т. Т. 1. М., 1989. С. 324.

3Спиноза Б.Этика// Спиноза Б. Избр. произв.: В 2 т. Т. 1. М., 1957. С. 365.

1О различных точках зрения на актуально бесконечное... С. 266. Аналогично высказывается Кантор и о Гегеле: «Пантеист Гегель не знает никаких существенных различий в актуально бесконечном. Для моих же воззрений характерны именно подобные различия, которые я нашел, резко подчеркнул и строго математически развил благодаря открытиюкоренной противоположности между «мощностью» и «порядковым числом» множеств...» (Цит. соч. С. 267).

2См. наст. изд., с. 27.

1Локк Дж.Опыт о человеческом разумении// Локк Дж. Соч.: В 3 т. Т. 1. М., 1985. С. 268.

2Цит. соч. С. 265.

3О различных точках зрения на актуально бесконечное... С. 266.

1Кант И.Критика чистого разума //Кант И. Соч.: В 6 т. Т. 3. М., 1964. С. 404.

1О различных точках зрения на актуально бесконечное... С. 266.

2Прежде всего, здесь имелся в виду немецкий теолог-томист К. Гутберлет. См. наст. изд., гл. IV, § 5.

3Цит. соч. С. 264.

1Ср. наст. изд., с. 59–60.

2 Именно такова была, к сожалению, позиция отечественных издателей трудов Кантора в 1985 г. Позитивистская узость и антирелигиозная предвзятость дышат почти в каждом развернутом примечании. Так, комментируя первую статью в разделе «Работы по философским вопросам теории множеств», издатели пишут: «С данной статьи начинается ряд публикаций, в которых Кантор защищается (!?! — В.К.) от философских и теологических возражений против того понятия бесконечности, которое он положил в основу своих математических исследований. Полемически защитная направленность и форма переписки..., а также желание (не всегда достигаемое) быть понятым нематематиками обусловили некоторую несистематичность и недостаточную математическую строгость (в философских рассуждениях!?! — В.К.). В созданное ранее математическое содержание его теоретико-множественных работ они вряд ли вносили что-либо новое (!!! — В.К.). Однако, с другой стороны, они дают возможность понять и оценить его специфически философский труд (ну, наконец-то! — В.К.). Для современного читателя эти статьи могут представлять разве лишь психолого-биографический интерес (!!! — выделено полужирным мной — В.К.)». Это отделение «прогрессивного» от «реакционного» в духе традиционной советской идеологии выглядит сегодня пошлым анахронизмом. Необходимо переиздать труды основателя теории множеств, снабдив их более адекватным научным и культурологическим комментарием.

1Правда, Кузанец идет дальше. У него преодолевается уже и требование логической непротиворечивости: в Боге возможносовпадение противоположностей. То есть в Богевсе возможно...

2Georg Cantor an Pаter Ignatius Jeiler// Meschkowski H. Probleme des Unendlichen... S.258.

3См. наст. изд., с. 65.

1Что было основной базовой предпосылкой всех построений, например, Кронекера или Гельмгольца.

1См. наст. изд., с. 61–62.

2См. наст. изд., гл. VI, § 1.

1Excerpt from a letter from Georg Cantor to Gosta Mittag-Leffler. Halle. Dec.23,1883/ Fidelio.Journal of Poetry, Science and Statecraft. Vol.III.N3. Fall 1994.P.104–105.

2Dauben J.W. Georg Cantor... P.232.

3Дж. Даубен утверждает, что этот фрагмент из «IПослания к Коринфянам». Наши издатели трудов Кантора пишут более скромно — «из библии». Но в «IПослании в Коринфянам» этого фрагмента нет.

1Кантор Хеману, 21 июня 1888 года. Цит. по:Dauben J.W. Georg Cantor and the battle for transfinite set theory // Paradigm shifts in the mathematical sciences. Ed. by R.L.Brabenec. Proceedings for the Ninth Biennial Conference of the Association of Christians in the Math. Sciences. June 2–5,1993. Westmount College. Santa Barbara. California. P.21.

1Цит. по:Dauben J. W. Georg Cantor...

2См. наст. изд., с. 68 и далее.

1Фрагменты ранних греческих философов. Часть 1. От эпических теокосмогоний до возникновения атомистики. М., 1989. С. 149.

1Принципы теории порядковых типов. Первое сообщение //Кантор. С. 247.

2Цит. соч. С. 247–248.

1Цит. соч. С. 256.

2 Определение просто упорядоченного множества см. на с. 20 наст. изд.

3Издатели отечественного собрания сочинений Кантора замечают по поводу изложения теорииn-кратного упорядочения в статье «К учению о трансфинитном»: «Во второй ее половине (начиная с п. 9 из раздела VIII) содержится подробная чисто математическая теория порядковых типов "многократно упорядоченных множеств", в частности конечных. По-ви­димому, Кантору померещилось какое-то применение этой теории типов, возможно, к физическим теориям материи и эфира. Еще неизвестно, окажутся ли плодотворными эти специальные исследования когда-либо впоследствии» (Кантор. С. 324, <Примечание>).

1Dauben J. W. Georg Cantor... Appendix C. P. 310–311. Georg Can­tor to Sophie Kowalevski. Dec. 7, 1884.

2Набор конечен, если мы задали порог разрешимостизрения; в противном случае — бесконечен.

1К учению о трансфинитном //Кантор. С. 308.

1Pascal B.Pens)ees (перевод мой. —В.К.) // Pens)ees de Pascal et de Nicole. P., 1852. P.111–112.

2См. мою книгу: Катасонов В. Н. Метафизическая математика XVII в. М., 1993.

1О различных теоремах из теории точечных множеств. Сообщение второе // Кантор. С. 168.

2Там же.

3 Лейбниц Г. В.Начала природы и благодати, основанные на разуме // Лейбниц Г. В. Соч.: В 4 т. Т. 1. М., 1982. С. 404.

1О различных теоремах из теории точечных множеств. Сообщение второе //Кантор. С. 168.

2В письме к Г. Миттaг-Лефлеру Кантор называет это положение своей «первой гипотезой». См.: G. Cantor an G. Mittag-Leffler. Halle, 16. Nov. 1884 // Meschkowski H.Probleme des Unendlichen... P. 248.

1 Meschkowski H. Aus den Briefbüchern Georg Cantors... S.511.

1Op. cit. S. 513.

1Блаженный Августин.О Граде Божием. Т.II.M.,1994.C.269.

2Там же.

3«Некоторым неизреченным образом» со стороны Бога (лат.).

4К учению о трансфинитном//Кантор. Продолжение прим. 19 на с. 290.

1О различных точках зрения на актуально бесконечное// Кантор. С. 263.

1Арно А., Николь П.Логика, или Искусство мыслить, где помимо обыч­ных правил содержатся некоторые новые соображения, полезные для развития способности суждения. М., 1991. С. 301.

1Цит. соч. С. 301–302.

2Цит. соч. С. 330.

3Цит. соч. С. 302.

1Цит. соч. С. 305.

1Pens)ees de Pascal // Pens)ees de Pascal et de Nicole. Paris, 1852. P. 161.

2Ibidem.

3Ibidem.Продолжение.

1Op. cit. P. 291.

2Коши О.Семь лекций общей физики, с приложениями... составленными аббатом Муаньо. Пер. с франц. СПб., 1872. С. 59.

3Цит. соч. С. 60.

1Цит. соч. С. 61.

2Свидетельства Твои стали очень достоверными (лат.).

3Там же.

1Бесконечное число противоречиво (лат.).

2О различных точках зрения на актуально бесконечные//Кантор. С. 262.

1Gutberlet C.Das Unendliche metaphysisch und mathematisch bet­rachtet. Mainz, 1878.

2Gutberlet C.Das Problem des Unendlichen // Zeitschrift fuer Phi­lo­so­phie und philosophischen Kritik. 1886, N 88. S.179–223.

1Op. cit. S. 199.

1Op. cit. S. 206.

1Множество, измеренное единицей (лат.).

2Op. cit. S. 208.

3Кантор писал: «Г-н Гутберлет в своем труде (Das Unendliche me­ta­physisch und mathematisch betrachtet. Mainz, 1878. S. 18)... оставил на произвол судьбыбесконечное "число", а направил свои усилия на спасение бесконечного "множества". Однако, по моему мнению, совершив такой поворот, нельзя сделать большего одолжения противникам трансфинитного. Действительно, бесконечное число и множество неразрывно связаны друг с другом; как только задано одно, так мы уже не имеем права отказываться от другого» (К учению о трансфинитном //Кантор. С. 283, продолжение прим. 8).

1Gutberlet C.Das Problem des Unendlichen... S. 197–198.

1О различных точках зрения на актуально бесконечное //Кантор. С. 262–263.

2См. гл. II, § 5.

3Gutberlet C.Das Problem des Unendlichen... S. 215.

4Op. cit. S. 216.

1В действительности (лат.).

2К учению о трансфинитном //Кантор. С. 283, продолжение прим. 8.

3Там же.

4Напомним, чтосинкатегориматическаяикатегориматическаябесконечность — термины средневековой философии для обозначения потенциальной и актуальной бесконечности (См. Введение).

1#69, To Lasswitz, Halle, 7.2.1884 — XIII //Georg Cantor. Briefe. Herausg. von H. Meschkowski und W. Nilson. Berlin, N.-Y., 1991.

2 Letter from G.Cantor to Cardinal Franzelin. Halle, Germany, December 17, 1885// Fidelio... P.98.Я пользуюсь в основном переводом переписки на английский язык в журнале «Fidelio». Она, во-первых, издана здесь полностью, в отличие от отдельных отрывков в отечественном изданииКантора,и, во-вторых, этот перевод на английский нередко более корректен, чем наш на русский.

1Letter from Cardinal Franzelin to G. Cantor. January 26, 1886 // Fidelio... P. 103.

2 Letter from Cardinal Franzelin to G.Cantor. December 25, 1885 // Fidelio...P.102.

3Бесконечное в природе (лат.).

1Там же.

2 Letter from G.Cantor to Cardinal Franzelin. Halle,January 22, 1886 // Fidelio... P.102.

1Там же.

2Речь пойдет об интерпретации, которую мы уже встречали в письме к Эшеру. См. наст изд., с. 73.

3Цит. из Прем. Сол.XI, 21: «Вся мерою, числом и весом расположил еси» (лат.).

1 Letter from G.Cantor to Cаrdinal Franzelin. Hallе,January 22, 1886 // Fidelio... P.102.

2См. наст. изд., гл.V.

3См. наст. изд., с.65 и далее.

1 Letter from G.Cantor to Cardinal Franzelin. Halle,January 22, 1886 // Fidelio... P.103.

1Letter from Cardinal Franzelin to G. Cantor. January 26, 1886 //Fidelio... P. 103.

2 Op.cit.P.103–104.

1 Op.cit.P.104.

1 Op. cit. P.104.

2 Letter from G.Cantor to Cаrdinal Franzelin. Hallе,January 22. 1886 // Fidelio... P. 103.

1Letter from Cardinal Franzelin to G. Cantor. January 26, 1886 // Fidelio... P. 104.

2Со стороны Бога (лат.).

3 Letter from G.Cantor to Cardinal Franzelin. Halle,January 29, 1886 // Fidelio... P.104.

1Френкель А., Бар-Хиллел И.Основания теории множеств. Пер. Ю. А. Гас­тева. М., 1966. С. 240.

2См. мою книгу:Катасонов В. Н.Метафизическая математика XVII в. Гл. 1. Также статью:Катасонов В. Н. Форма и формула (античная и картезианская геометрия) // Исторические типы рациональности. Т. 2. М.: Институт философии РАН., 1996. С. 50–86.

3Здесь прежде всего нужно иметь в виду Лейбница. См. мою книгу:Катасонов В. Н.Метафизическая математика XVII в.

1Клейн Ф.Элементарная математика с точки зрения высшей. I. Арифметика, алгебра, анализ. Пер. с нем. М., 1987. С. 379.

1 Основы общего учения о многообразиях... С. 88.

2Этим «как бы» я хочу сказать, что Кантор слишком переоценивал значение этого результата. Отображениеn-мерного пространства на одномерное было в высшей степени искусственное и «внешнее», и оставалось непонятным, как бы можно было его использовано для сведения задач n-мерных к одномерным. На это Кантору указывали многие. См., в частности,ПерепискуКантора с Дедекиндом в:Кантор.С. 346 и далее.

1Я не использую здесь специальных терминов и операции теории множеств. Тот, кто хочет познакомиться с точными математическими определениями, должен обратиться к соответствующей литературе. См., напр.:Александров П. С.Введение в теорию множеств и общую топологию. С. 136–143.

1 Основы общего учения о многообразиях... С. 91.

1БуквойC здесь обозначено одновременно и множество континуума, и его мощность.

2Коэн П. Дж. Теория множеств и континуум-гипотеза. Библиотека сборника «Математика». М., 1969. С. 282.

1См. наст изд, с. 20.

1Другими словами,Nсамо есть вполне упорядоченное множество.

1Цитата по книге:Медведев Ф. А.Ранняя история аксиомы выбора. М., 1982. С. 218.

1Медведев Ф.А.Ранняя история аксиомы выбора... С. 46–48.

2См., например, книгу:Кановей В. Г.Аксиома выбора и аксиома детерминированности. М., 1984. С. 20.

3Справочная книга по математической логике. Ч. II. Теория множеств. М., 1982. С. 42.

4Медведев Ф.А.Ранняя история аксиомы выбора... С. 6.

1Цит. по:Медведев Ф. А.Ранняя история аксиомы выбора... С. 276.

2 Цит. по: Медведев Ф.А. Ранняя история аксиомы выбора... С. 279–281.

1Однако аналогию с пятым постулатом Евклида поддерживают далеко не все. Так, академик П. С. Новиков пишет: «Достаточно принять за аксиому отрицание постулата Евклида о параллельных или отрицание какого-либо из эквивалентных этому постулату положений, чтобы получить другую геометрию, очень своеобразную и, казалось, полную. В настоящее время, после развития аксиоматического метода, можно уверенно сказать, что таким образом мы получаем пополнение геометрии постулатом, противоположным постулату Евклида. Однако в случае создания аксиоматических теорий множеств ситуация другая. Все эти теории не только неполны, но и непополнимы. В теорию множеств можно добавлять сколько угодно любых аксиом, она от этого никогда не станет полной» (Академик П. С. Новиков.По поводу статьи «Неканторовская теория множеств» // Природа. 1969, № 4. С. 42).

2Справочная книга по математической логике. Ч. II... С. 62.

1Кановей В. Г.Аксиома выбора и аксиома детерминированности... С. 63.

1Теорема о том, что множество всех подмножеств данного множества имеет мощность большую, чем исходное множество.

1Aus dem Briefwechsel zwischsen Canton und Dedekind. 1. Cantor an Dedekind. Halle, 28. Juli 1899 // Georg Cantor. Gesammelte Ab­hand­lun­gen. Herausg von Ernst Zermelo. Berlin, 1932. S. 443–444.

2«Совокупность всего мыслимого» является, так сказать, типичным «диалектичным» понятием. В эту совокупность мы должны включить и мысль о нашем представлении о ней, и мысль о мысли о нашем представлении о ней и т.д.

1Сложилась дурная традиция издавать переписку Кантора: печатаются письма только самого Кантора. Так, в отечественном издании Кантора из 49 писем переписки с Дедекиндом последнему принадлежит только 7 (плюс 7 замечаний). То же должно сказать и о последнем издании:Georg Cantor.Briefe. Herausg. von H. Meschkowski und W. Nilson. Ber­lin; Heidelberg, 1991. В силу чрезвычайной важности предмета дискуссий для всей науки необходимо, конечно, печатать письма обоих корреспондентов.

1Сantor an Dedekind. Hahnenklee,28. Aug. 1899 //Georg Cantor. Gesammelte Abhandlungen... S. 447–448.

2Что и делалось в системе аксиом Цермело.

3Cantor an Dedekind. Halle, 28 juli 1899 //Georg Cantor.Ge­sam­melte Abhandlungen... S. 444.

1См.:Кантор.С. 367 и Примечания [1] издателей к этому доказательству.

1Кантор — Дедекинду. Ханенклее, 30 авг. 1899 г. //Кантор. С. 371.

2Cantor an Dedekind. Halle, 28. Juli 1899. S. 447 //Georg Cantor. Ge­sam­melte Abhandlungen...

3Кантор неосознанно, как само собой разумеющееся, всегда использует молчаливое предположение о том, что любое множество можно вполне упорядочить.

4См., подробнее: Кантор.С. 96.

5Или континуум будет неконсистентным множеством.

1Dauben J. W.Georg Cantor...P. 245–246.

2См., например, Кантор. С. 266.

3 Кантор.С. 101, прим. 2. Кантор ссылается на это стихотворение вслед за Гегелем (См.:Гегель Г.В.Ф.Наука логики. Т. 1. М., 1970. С. 308) и Кантом (См.:Кант И.Соч.: В 6 т. Т. 3. М., 1964. С. 531).

1Dauben J. W.Georg Cantor... P. 246.

2Заигрывания с библейским образом «лестницы Иакова» при рассмотрении науки встречаются у многих авторов. Ср., напр., у Бергсона: «Современная наука — это дочь астрономии. Она спустилась с неба на землю по наклонной плоскости, представляемой Галилеем...» (Бергсон А.Творческая эволюция. М.; СПб., 1914. С. 299).

3Dauben J. W.Georg Cantor... P. 246.

4См. наст. изд., с. 28.

1Например, в письме к Т. Эшеру. См.: С. 72 и далее.

2См. наст. изд., с. 116.

3См. наст. изд., с. 62.

1Высший род (лат.).

2Совершенная действительность, Высшее бытие (лат.).

3Цит. по:Dauben J. W.Georg Cantor... P. 290.

4Даубен совершенно убежден, что Кантор отождествлял свою математическую теорию с прямым богопознанием. После приведенной цитаты американский исследователь пишет: «Не может быть никакой ошибки в отношении канторовской идентификации своей математики и некоторого великого абсолютного единства в Боге. Это также соответствовало его отождествлению теории трансфинитных чисел с божественным вдохновением» (Dauben J. W.Georg Cantor... P. 290).

1Вопенка П.Математика в альтернативной теории множеств //Новое в зарубежной науке. Математика. № 31. М., 1983. С. 124.

1Учитель Г. Кантора.

2Мой перевод с английского из книги:Dauben J. W. Georg Can­tor... Р. 274–276. Однако, поскольку даубеновский английский вариант не совсем верен, его приходится корректировать по фрагменту немецкого оригинала, приведенного в:Meschkowski H.Problemedes Unendlichen... S. 2–3.

2Dauben J. W.Georg Cantor... P. 274.

1Цит. по:Meschkowski H.Probleme des Unendlichen... S. 5.

1См. наст. изд., с. 52–53.

2L. Kroneker an G. Cantor //Meschkowski H. Probleme des Unend­lichen... S. 238–239.

3G. Cantor an L. Kroneker //Meschkowski H.Probleme des Unend­lichen... S. 240.

1Op. cit. S. 241.

2Кантор сам описывал это в очерке: Historische Notizenüber die Wahr­scheinlichkeitsrechnung //Georg Cantor.Gesammelte Ab­handlungen... S. 359–360.

3Цит. по книге:Meschkowski H.Probleme des Unendlichen... S. 138.

1Dauben J. W.Georg Cantor... P. 288.

2Основы общего учения о многообразных //Кантор. С. 88.

1Purkert W., Ilgauds H. J.Georg Cantor, 1845–1918. Basel; Boston, Stuttgart, 1987. S. 91.

1Dauben J. W.Georg Cantor... P. 287.

2Towards a Biography of Georg Cantor. By I. Grattan-Guiness. Let­ter from Cantor to Dr. Graf von Posadowsky — Wehner, 10 November 1899 // Annals of Science... P. 379.

1Op. cit. P. 380.

2Sophie Kowalewski to Gösta Mittag-Leffler. May 21, 1885 //Dau­ben J. W. Georg Cantor... P. 313.

1Подробности см. в книге:Purkert W., Ilgauds H. J.Georg Cantor, 1845–1918... S. 82–92.

2Op. cit. P. 90.

1 Цит. по: Purkert W., Ilgauds H. J. Georg Cantor, 1845–1918... S. 89–90.

2Op. cit. P. 92.

1Цит. по книге:Dauben J. W. Georg Cantor... P. 285.

2Ibidem.

1К учению о трансфинитном//Кантор. С. 292–293.

2См.: ГлIV, § 6.

1Из письма патеру Т. Эшеру. См.:Meschkowski H.Aus den Brief­büchern Georg Cantors// Archive for History of Exact Sciences. Ed. by C. Truesdell. Vol. 2. N. 5. 1965. S. 511.

2См. наст. изд., с. 116.

1Вечная философия (лат.).

2G. Cantor an Peter I. Jeiler. Halle, 27. Oct. 1895 //Mesch­kow­ski H. Probleme des Unendlichen... S. 260.

3Из письма патеру Т. Эшеру. См.:Meschkowski H.Aus den Briefbüchern Georg Cantors... S. 513.

1Это отдельное предложение в оригинале — по-французски. Все письмо на немецком языке.

2Meschkowski H.Aus des Briefbüchern Georg Cantors... S. 514.

3Op. cit. S. 514–515.

1Это письмо, как и многие другие, приводится Мешковски по канторовским записным книжкам, где содержатся черновики этих писем. В этих черновиках много также и дополнительных замечаний и следов правки писем. Так, к этому месту Кантор добавляет: «естественно, только на католические».

2Здесь Кантор добавляет: «Протестанты слишком высокомерны, чтобы выслушивать мои поучения».

3Op. cit. S. 515.

1См. письма Nr. 21–22 в Dokumenten — Anhang //Purkert W., Ilgauds H. J.Georg Cantor... S. 198.

1Meschkowski H.Aus des Briefbüchern Georg Cantors... S. 515.

2 Towards a biography of Georg Cantor. By I. Grattan-Guinesse. Do­cu­ment X// Annals of Science. Vol. 27. No. 4. December 1971. London. P. 385. В посланном неделей раньше математику Ф. Жордану письме, касающемся той же темы, Кантор пишет: «В заключении и одиночестве последней зимы (от 17 сентября 1904 г. по 1 марта 1905-го) мне было откровение свыше <an inspiration from above>, в котором мне было предложено начать новое изучение нашей Библии, с открытыми глазами и отказавшись от любых предвзятых предпосылок. Таким образом я получил неожиданное уяснение <enlightenment>, которое я изложил в форме диалога между Мастером и его учеником» (Op. cit. Document IX. P. 384).

3С Востока Свет (лат.).

1Ex Oriente Lux. Gespräche eines Meisters mit seinem Schülerüber wesentliche Punkte des urkundlichen Christenthums. Berichtet vom Schüler selbst Georg Jacob Aaron, cand. sacr. theol. Erstes Gesprach. Herausgegeben von Georg Cantor. Im Selbstverlag des Herausgebers. Halle a. d. Saale 1905.

2Op. cit. S. 11–12.

3Op. cit. S. 12.

4Напомним, как Кантор писал еще кардиналу Францелину: «Взгля­­ды, которые я сам выработал в течение годов, никогда не отделяли меня от фундаментальных истин христианства, но скорее усиливали мое убеждение в них...» (Оn the Theory of the Transfinite. Correspondence of Georg Cantor and J. B. Cardinal Franzelin (1885–1886) //Fidelio. Vol. III. No. 3. 1994. P. 103).

1В предыдущем письме Кантор писал кардиналу о том, что его мать принадлежала к римской католической церкви. См.:Op. cit. P. 103.

2On the Theory of the Transfinite. Correspondence of Georg Cantor and J. B. Cardinal Franzelin (1885–1886) //Fidelio. Vol. III. No. 3, 1994. P. 104.

1Dauben J. W.Georg Cantor... P. 291.

2Op. cit. P. 290.

1Идею о связи модернизма и процессов в математике XX столетия поддерживает, в частности, Г. Мертенс (см.: Зарубежные исследования по философским проблемам математики 90-х гг. Научно-ана­ли­ти­чес­кий обзор. М.: ИНИОН РАН, 1995.С. 67).

1Лейбниц Г. В. История идеи универсальной характеристики // Лейбниц Г. В. Соч.: В 4 т. Т. 3. М., 1984. С. 412–418. См. также мою книгу:Катасонов В. Н.Метафизическая математика XVII в. Гл. II.

2Арно А., Николь П.Логика или искусство мыслить. М., 1991. С. 44.

1Цит. соч. С. 330.

2Там же.

3Цит. соч. С. 328.

1Цит. соч. С. 336.

2См. наст. изд., гл. II,§6.

1 Кант И. Критика чистого разума // Кант И. Соч.: В 6 т. Т. 3. М., 1964. С. 224.

2Цит. соч. С. 178.

1Цит. соч. С. 406.

2Там же, прим.

3Там же.

4Цит. соч. С. 408.

1Цит. соч. С. 470.

2Цит. соч. С. 473.

1Цит. соч. С. 472.

2Цит. соч. С. 472–473.

1Кант И.Критика практического разума // Кант И. Соч.:В 6 т. Т. 4 (1). М., 1965. С. 454–455.

2Цит. соч. С. 466.

1Цит. соч. С. 467–468.

1Becker O.Grösse und Grenze der matematischen Denkweise. Frei­burg, Munchen, 1959.

2Becker O.Grösse und Grenze der matematischen Denkweise... S. 162 и далее.

1Понимание теснейшим образом связано с тем raison du coeur, о котором говорил Б. Паскаль. См. выше, с. 105.

1Т.е., например, прямолинейное равномерное движение.

1Becker O.Grösse und Grenze der matematischen Denkweise... S. 166–167.

1Op. cit. S. 168.

1См., например, книгу:Вейль Г.Симметрия. М., 1968.

1 Becker O.Grösse und Grenze der matematischen Denkweise... S. 170–171.

1Вейль Г.Математика и логика // Вейль Г. Математическое мышление. М., 1989. С. 91.

1Пуанкаре А.Ценность науки // Пуанкаре А. О науке. М., 1983. С. 166.

2Цит. соч. С. 167.

3Цит. соч. С. 169.

1Пуанкаре А.Наука и метод // Пуанкаре А.О науке... С. 313.

2Цит. соч. С. 316.

1Там же.

2См. наст. изд., с. 96.

1Пуанкаре А.Наука и метод... С. 317–318.

1В частности, свидетельств значимости эстетических критериев для математики и математического естествознания накоплено огромное множество. См., например, статью:Гейзенберг В.Значение красоты в точной науке // Гейзенберг В. Шаги за горизонт. М., 1987. С. 268–282.

2«Легкая плоть» и «Тяжелая плоть», говорил А. Блок.

1 См. мою книгу: Катасонов В.Н. Метафизическая математика XVII в. Гл. I.

1Киреевский И.В. О необходимости и возможности новых начал для философии // Киреевский И.В. Критика и эстетика. М., 1979. С. 319.

1Цит. соч. С. 318.

2 Соловьев В. С.Философские начала цельного знания. С. 229 // Соловьев В. С. Соч.: В 2 т. Т. 2. М., 1988. С. 139–288.

1Цит. соч. С. 229–230.

1Цит. соч. С. 230.

1Проф. прот. В. Зеньковский.Основы христианской философии. М., 1992. С. 59.

2См., в частности, книгу:Ахутин А. В.История принципов физического эксперимента. От античности до XVII века. М., 1976.

1См., например, статьи:Гайденко П. П.Христианство и генезис новоевропейского естествознания;Катасонов В. Н.Интеллектуализм и волюнтаризм: религиозно-философский горизонт науки нового времени // Философско-религиозные истоки науки. М., 1997. С. 44–87; 142–177.

1См. например, статью:McFague S.Models of God for an Ecological, Evolutionary Era: God as Mother of the Universe // Physics, philosophy, and theology: a common quest for understanding. Notre-Dame, 1988. P. 249–272.

1См., например, книгу:Capra F.Wendezeit. Bausteine für ein neuеs Weltbild. Bern; München, 1988, а также другие работы этого автора по философии науки.

1См. книгу:Хоружий С. С.К феноменологии аскезы. М., 1998.

2Проф. прот. В. Зеньковский.Основы христианской философии... С. 29–30.

1Цит. соч. С. 58.

11 Кор. 13, 8–10.

2См. наст. изд., с. 181.

1Таким суждением, согласно Пуанкаре, является, в частности, аксиома полной математической индукции.

1 Dauben J. W. Georg Cantor and the battle for transfinite set theory // Paradigm Shifts in the Mathematical Sciences. Proceedings for The Ninth Biennial Conference of the Association of Christians in the Mathematical Sciences. June 2–5, 1993. Westmont College. Santa Barbara, California. P. 3–21.

1См. наст. изд., гл. IV, § 6.

1См., например, в моей книге:Катасонов В.Н.Метафизическая математика XVII в. Гл. I, II.

2Becker O.Mathematische Existenz. Halle, 1927. S. 288.