§ 3. Канторовская критика Аристотеля. Ориген и Фома Аквинат

Как мы уже сказали выше, канторовская критика традиционного неприятия актуальной бесконечности основана на вскрытии «пред­рассудков», т.е. подразумеваемых само собой разумеющимися представлений о бесконечном как обладающем теми же свойствами, что и конечное. Бесконечное нужно изучать как таковое, а не навязывать ему свойств конечного, настаивает Кантор. Таковы прежде всего возражения против Аристотеля: «Однако если рассмотреть возражения, выдвигаемые Аристотелем против реального существования бесконечности (см., например, его «Метафизику», кн. XI, гл. 10), то по существу их можно свести к предпосылке, заключающей в себе petitio pricipii, именно к предпосылке, что существуют лишь конечные числа. Об этом он заключил из того, что ему был известен лишь счет на конечных множествах. Но я думаю, что выше я доказал, — и в ходе этой работы это обнаруживается еще отчетливее, — что и с бесконечными множествами можно производить столь же определенные действия счета, как и с конечными, предполагая, что множествам приписывается определенный закон, согласно которому они становятся вполне упорядоченными множествами»¹. Против возражений Аристотеля Кантор выдвигает новую конструкцию. В этом сила его аргументации, но в этом и ее слабость. «Изучение» бесконечного, к которому призывает Кантор, оказывается достаточно специфичным. Канторовская конструкция естественно поднимает вопрос: насколько она естественна? Возможны ли другие конструкции? Возможны ли другие обобщения понятия числа на область бесконечного? Сама по себе голая конструкция ответа на эти вопросы не дает ². Бесконечность, в силу самой своей сущности, оказывается очень неудобным «предметом», чтобы оценить всю совокупность возможных подходов к ней.

«Другой аргумент, выдвинутый Аристотелем против реальности бесконечного, —продолжает Кантор,—состоит в утверждении, что если бы существовало бесконечное, то конечное было бы разрушено им, так как конечное число будто бы уничтожается бесконечным числом»³. Кантор опять дает критику этого аргумента, исходя из своей конкретной конструкции. Сложение бесконечного и конечного числа интерпретируется им как сложение ординалов. Так, если мы к ординалу, соответствующему множеству натуральных чисел, упорядоченному естественным образом, добавим любое конечное числоnсправа, тогда этоn«не уничтожится»:

w = ,n =

w+ n= > w.

Однако n+w = w:если мы добавимnслева, то оно «унич­то­жится бесконечным»:

n+w = = =w

«Только обратноедействие, именно прибавление бесконечного числа к конечному, когда сначала полагается конечное число, вызывает уничтожение последнего, не приводя к модификации первого. Эта правильная точка зрения на отношение между конечным и бесконечным, совершенно неизвестная Аристотелю, должна была бы вызвать новые идеи не только в анализе, но и в других науках, особенно в естествознании»¹[выделено полужирным мной.—В.К.]. Невольно хочется здесь защитить Аристотеля. То, что эта точка зрения правильная,—это еще под вопросом. То, что представлено, есть лишь некоторая точка зрения. Некоторая интерпретация аристотелевских рассуждений. И главное, Аристотель, скорее всего, не согласился бы с такой интерпретацией. То есть это не было бы ответом на его рассуждения. Потому что эта интерпретация связана с принятием многих предпосылок, которые чужды и Аристотелю, и античной мысли вообще.

Здесь налицо та самая несоизмеримостьнаучных теорий, о которой столь пространно писал Т. Кун². Вводятся новые понятия и строятся новые научные теории, которые претендуют решить старые неразрешенные задачи. Однако эти новые решения существенно связаны с введением новых объектов, научный статус которых (онтологический ли или просто логический) сам достаточно проблематичен. Для науки нового времени актуальная бесконечность постоянно играла роль подобного объекта. Так, Лейбниц «ре­шил» задачуквадратуры круга: он «вычислил» площадь круга, т.е. выразил ее с помощью бесконечного ряда. Однако что это за объект—бесконечный ряд, легально ли его введение в математику, каковы необходимые логические предпосылки этого введения—все эти вопросы оставались, по существу, открытыми вплоть доXIXв. По существу, произошла замена одной проблемы на другую. Можно ли это считать решением задачи квадратуры круга, как ее понимала античность?¹Канторовское настойчивое желание ввести «бесконечные числа» грешит все тем же: игнорированием логических границ между старой и новой теорией. Нужно было почти столетнее усилие методологической философской мысли, чтобы сегодня, на пороге нового века, мы научились лучше различать границы различных эпистем.

С уважением относится Кантор к аргументам Оригена и Фомы Аквината противсуществования актуальной бесконечности. Из оригеновского труда «О началах» Кантор цитирует следующее место: «Рассмотрим начало твари, каким бы ни создал это начало Ум Творца Бога. Должно думать, что в этом начале Бог сотворил такое число разумных, или духовных, тварей (или как бы ни назвать те твари, которые мы наименовали выше умами), сколько, по его предведению, могло быть достаточно. Несомненно, что Бог сотворил их, наперед определив у себя некоторое число их. Ведь не должно думать, что тварям нет конца, как это желают некоторые, потому что, где нет конца, там нет и никакого познания и невозможно никакое описание. Если бы это было так, то Бог, конечно, не мог бы содержать сотворенное или управлять им, потому что бесконечное* по природе—непознаваемо. И Писание говорит: Бог сотворил все мерою и числом(Прем. Сол., XI, 21), и, следовательно, число правильно прилагается к разумным существам или умам в том смысле, что их столько, сколько может распределить, управлять и содержать Божественный Промысел. Сообразно с этим нужно приложить меру и к материи, которая,—нужно веровать,—сотворена Богом в таком количестве, какое могло быть достаточно для украшения мира»¹. В обозначенном звездочкой месте Кантор в скобках замечает: «Ори­ген всегда имеет в виду лишь @apeironи говорит, что если бы божественная мощь была@apeiron, то Бог не мог бы познать самого себя». Другими словами, Кантор признает, что для Оригена бесконечное понимается всегда как безграничное, т.е. какпотенциальнаябесконечность.

Из «Суммы теологии» Фомы Аквината Кантор цитирует следующее место: «1) Актуально бесконечного множества быть не может, поскольку всякое множество должно содержаться в каком-либо видемножеств.Но виды множеств соответствуют видам чисел, а ни один вид чисел не может быть бесконечным, поскольку всякое число есть множество, измеренное единицей [буквально: одним]. Следовательно, актуально бесконечное множество существовать не может, как само по себе, так и по совпадению. 2) Кроме того, всякое существующее в природе множество сотворено; всякая же сотворенная вещь понимается как одно из проявленийкакого-то намерения Творца, ибо Создатель ничего не делает бесцельно. Следовательно, необходимо, чтобы всякая созданная вещь понималась как число. Поэтому существование актуально бесконечного множества невозможно даже “по совпадению”»². Фома утверждает: «...ни один вид чисел не может быть бесконечным», т.е. его позиция, по существу, не отличается от аристотелевской. Однако канторовское отношение к Фоме (как и к Оригену) странным образом «более уважительное», чем к Аристотелю. После приведенных цитат Кантор пишет: «Таковы два важнейших аргумента, выдвигавшиеся в течение веков против трансфинитного. Все другие высказывавшиеся доводы легко опровергнуть, заметив, что они основываются на ошибках в умозаключениях. Напротив,оба эти аргументавполне обоснованы и их можно опровергнутьтолько положительным образом: показать и доказать, что трансфинитные числа и порядковые типы существуют в области возможного на том же основании, как и конечные числа, и что в трансфинитном имеется, в него в некотором роде укладывается даже значительно большее богатство форм и "species numerorum", чем в относительно малую область ограниченного конечного. Поэтому трансфиниты отвечают намерениям Творца и его абсолютно неизмеримому могуществу в такой же мере, как и конечные числа»¹.Здесь все спорно и зыбко. То, что «трансфинитные числа существуют в области возможного [асуществование в областивозможногоозначало для Кантора непротиворечивость соответствующего математического конструкта.—В.К.]на том же основании, как и конечные числа»,—неверно. Непротиворечивость трансфинитных чисел лишьказалась Кантору очевидной. История развития теории множеств показала, что исследователей ожидали здесь сложнейшие апории. Во всяком случае, ко времени написания работы, из которой мы цитируем (1887), о непротиворечивости, как ее стали понимать в XX столетии, т.е. как одоказанном факте, речи еще не шло. Для Кантора непротиворечивость фактически означает здесь лишь существование некоторой математической конструкции,противоречий в которой еще не обнаружено...Что же касается оснований, на которых существуют конечные числа, то они более внушительны. И главное здесь—это не только их существование «в области возможного», но и существование в области действительного: материальная реализация конечных множеств (и операций с ними).

Кантор признает аргументы Фомы и Оригена «вполне обоснованными». Однако, как мы уже отметили, обоснованность аргументов Фомы ничуть не больше, чем у Аристотеля, а последнего создатель теории множеств упрекал за то, что ему «был известен счет лишь на конечных множествах». Что же касается оригеновских представлений, то тезис об ограниченности Божественного могущества отнюдь не столь обоснован и представляет собой в высшей степени нетрадиционнуюточку зрения для христианского богословия. Хотя античные традиции мысли и требовали понимать все определенное как ограниченное, однако в том и состоял классический парадокс христианского богословия, что его предмет выходил за пределы форм мышления, созданных древнегреческой фи­лософией...

И наконец, мы опять встречаем здесь тот же канторовский аргумент: возражения против трансфинитных чисел, против актуальной бесконечности падают, мол, автоматически вместе с предъявлением новой математической конструкции. Однако это не так. Новая, чисто математическая теория не дает, вообще говоря, ничего для переосмысления античного понимания связи определенности, формы и конечности. Нужны серьезные усилия философского ума, чтобы осознать философский смысл канторовских нововведений и, в частности, их соотношения с традиционным пониманием числа, укорененным в философии Древней Греции. Характерно также, что Ориген ссылается здесь на знаменитое место изКниги Премудрости Соломона, XI, 21: «Ты все расположил мерою, числом и весом», причемчислопонимается здесь в обычном смысле, какконечноечисло. Кантор, считавший, что его математическая теория «оп­ро­верг­ла» традиционное понимание числа, должен был, в частности, переосмыслять подобныетеологическиеинтерпретации. Так оно и случилось исторически, как увидим мы это в дальнейшем.