Добавил:
proza.ru http://www.proza.ru/avtor/lanaserova Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
54
Добавлен:
24.07.2017
Размер:
906.75 Кб
Скачать

§ 3. Канторовские проекты приложения теории множеств в естествознании

Кантор питал большие надежды на применение теории множеств в естествознании. Его подход, связанный с переформулировкой всех понятий физики, химии (а может быть, и биологии) в терминах теории множеств, представляет собой как бы воскрешение пифагорейской программы: «Числу все вещи подобны»1. Однако за одним существенным исключением: пифагорейцы все-таки говорили о конечных числах, и актуально бесконечные множества никогда не входили в их рассмотрение. Канторовская программа в естествознании представляет собой своеобразный титанический пифагореизм. Впрочем, она так и осталась гипотезой...

В отозванной из «Acta Mathematica» в 1885 г. статье Кантор писал: «Действительные целые числа 1, 2, 3, ... образуют относительно оченьмалую разновидность объектов мысли, которые я называюпорядковыми типами или простотипами(от+ot)upoV)... Поэтому та дисциплина, которую сегодня называют «высшей арифметикой» (Theorie des nombres), является сравнительно малой составной частью, или, если угодно, тольконачалом, введениемв чрезвычайно обширное и богатое приложениями учение, которое я называю «теорией порядковых чисел» (theoria typorum ordinalium), или, короче, «теорией типов»... Те же объекты мысли, которые я называю трансфинитными или сверхконечными числами, являются лишь частными случаями порядковых типов. А именно они являются типами вполне упорядоченных множеств...

Мне кажется, что общая теория типовмногообещающая во всех отношениях»1.

Общая теория типов играет, по Кантору, существенную роль как в чистой, так и в прикладной математике. Собственно, чистая математикасводится у Кантора кобщей теории множеств. А в последней теория упорядоченных множеств имеет большое значение. В прикладной математике, или, по Кантору, в прикладной теории множеств, общая теория типов также должна занять существенное место. «Под прикладной теорией множеств,—пишет Кантор,—я понимаю то, что обычно называютучением о природе иликосмогонией, а значит, к ней относятся все естественные науки, связанные снеорганическимииорганическимимирами...Математическая физикатоже соприкасается с теорией типов, ибо последняя оказывается сильным и радикальным инструментом для проникновения в суть так называемой материи и ее понятийного построения... С этим же связана и применимостьтеории типоввхимии...Но особенно интересными мне кажутся примененияматематической теории типов к изучению и исследованию области органического»2. Как видим, Кантору рисовались очень широкие перспективы применения общей теории типов. Что же это за теория?

При ближайшем рассмотрении она оказывается и очень элементарной, и порождающей титанические трудности одновременно. Собственно, Кантор дал здесь лишь главные определения теории, будучи остановлен в дальнейшем продвижении необозримым множеством возникающих возможностей. Что касается определения упорядоченных множеств,мы говорили об этом в начале. В общей теории типов к ним добавляется определениеn-кратного упорядоченного множества. «Подn-кратным упорядоченным множеством мы понимаем такое множество, все элементы которого упорядочены вnотношениях (измерениях). Этиnотношений тоже должны мыслиться в некоторой последовательности, так что их можно различать как первое, второе, ..., n-е отношение»1. Например, любую группу людей можно, при желании, рассматривать как трехкратно упорядоченное множество: по росту, по весу, по возрасту. В каждом из трех возможных упорядочений наше множество оказываетсяпросто упорядоченным 2.Кантор определяет отображение такихn-кратно упорядоченных множеств, подобие их и, наконец, n-кратный порядковый типкак то общее понятие, под которое попадают всеn-кратно упорядоченные множества, подобные какому-нибудь одному. Несложно также определить сложение и умножение таких кратных порядковых типов. Однако развивать теорию дальше становится очень трудно из-за неохватно огромного количества возможностейn-кратного упорядочения (да­же в случае конечных множеств)3.

Именно с этой теоретико-математической техникой Кантор надеялся дать более адекватное описание природы, чем давала традиционная, возникшая в XVII столетии наука. Он пишет об этом в письме к (нашей соотечественнице) математику С. Ковалевской: «Существуют также типы дважды, трижды, n-кратно и дажеw-кратно etc. (причем речь идет не только о естествознании, но и об искусстве) упорядоченных множеств, благодаря которым, как кажется, на старые и новые вопросы арифметики и космологии может быть пролито много света. Все, что я называю порядковыми типами, имеет в той же степени арифметический, как и геометрический, характер, последний, именно, в случае типов кратно упорядоченных множеств. В то время как декартовски-нью­то­нов­ски-лейбни­цев­ский метод применяется при условии ограничения феноменов природы, я уже многие годы держусь того мнения, что у нас все еще отсутствует соответствующее строго математическое вспомогательное средство, с помощью которого было бы возможно в определенной мере войти внутрь природных процессов с целью тщательного рассмотрения их не извне, а изнутри, чтобы потом дать их более точное, чем прежде, описание; сможет ли моя теория типов быть этим необходимым инструментом, я еще не могу решить, и это выяснится только со временем»1.

Позже Кантор уже с большей уверенностью говорит о возможности применения своей общей теории типов (хотя существенных теоретических результатов в этом направлении им получено не было). Причем речь идет не только о естествознании, но и об искусстве. Так, в работе «К учению о трансфинитном» Кантор описывает формализацию, как сказали бы мы сегодня, картины и музыкального произведения с помощью теории типов. Всякая картина с этой точки зрения представляет собой некоторый набор точек, конечный или бесконечный2, каждая из которых характеризуется четырьмя параметрами: двумя координатами (абсциссой, ординатой), цветом и интенсивностью этого цвета, причем цвета мы считаем поставленными во взаимооднозначное соответствие с длинами их волн. Все четыре параметра упорядочены по величине. Тем самым мы представляем картину как четырехкратно упорядоченное множество. Аналогично можно рассматривать какое-нибудь музыкальное произведение как множество звуков, упорядоченное по четырем «направлениям»: последовательность во времени («рань­ше», «одновременно», «позже»), продолжительность, высота и интенсивность. Каждому же упорядоченному множеству соответствует определенный порядковый тип, к которому можно применить общую теорию. Кантор, таким образом, предлагает общий метод анализа как природы, так и искусства: «Таким образом, если мыслимо, что в основе музыкальной вещи и картины лежит случайно один и тот же порядковый тип, то отсюда видно, как при известных обстоятельствах самые разнородные вещи могут быть соединены между собойобщей связью идеальных чисел»1.

«Могут быть соединены...» При условии, конечно, что удастся осознать и выразить все многообразие элементов и их связей в произведении искусства в формальных теоретико-множественных терминах. Этот вечный соблазн «поверить гармонию алгеброй» подвигал не одного ученого и художника на утопические проекты формализации искусства. А в ХХ в. модернистское искусство, в своем интеллектуальном ядре, и было как раз грандиозной попыткой свести искусство к науке, «гармонию к алгебре». Кантор в этом смысле и дитя своего времени, и одновременно один из родоначальников-теоретиков формалистских подходов к искусству в ХХ столетии. В формалистском подходе есть своя правда: в произведении искусства наличествует всегда некая формальная структурность, которую можно выделить, и изучать научными и в частности математическими, методами. Однако, как показывает опыт, вся глубинаискусства, его символическая значимость не выражаются через чисто формальные элементы. Практически, попытка найти это выражение ведет к формальным конструкциям головокружительной сложности, реально неосуществимым. Кантор же, несмотря ни на что, верил, что такое познавательно плодотворное расчленение искусства возможно.

Здесь всегда вспоминается введенное Блезом Паскалем четкое различение двух типов ума: l’esprit g)eom)etriqueиl’esprit de finesse,ум геометрический и ум проницательный (если можно так перевести второй, трудно поддающийся переводу термин).Ум геометрическийспособен работать с ограниченным числом абстрактных принципов и логически выводить из них различные положения.Ум проницательный способен ориентироваться и выносить суждения в очень сложной интеллектуальной ситуации, обусловленной нередко необозримым числом принципов, способенразом схватыватьузловые положения и формулировать их. Ум геометрический, могли бы сказать мы,—это оперирующий по фиксированным правилам, в условиях заданных определений, человеческий рассудок. Ум проницательный—это вся таинственная глубинаспособности сужденияв сфере эстетического, нравственного, интеллектуального. Вообще говоря, эти две способности вза­и­модополнительны. «Поэтому то, что некоторые проницательные умы не могут быть геометрами,—пишет Паскаль,—обусловлено тем, что они никак не могут обратиться к началам геометрии; а то, что геометры не могут быть проницательными, связано с тем, что они не видят того, что находится у них перед глазами, так как, привыкнув к четким и жестким принципам геометрии и умея размышлять только при условии ясного восприятия этих принципов, они теряются перед вещами, требующими проницательности, принципы которых не даются таким же образом. Эти принципы едва видимы, их скорее чувствуют, чем видят; и приходится затрачивать бесконечные усилия, чтобы заставить почувствовать их тех, которые сами их не воспринимают; эти принципы суть вещи столь тонкие и они столь многочисленны, что для того, чтобы их почувствовать, необходимо иметь восприятие очень чуткое и отчетливое, не располагая чаще всего возможностью доказать их последовательно, как в геометрии, потому что начала их не даны и возможное доказательство уходило бы в бесконечность. Здесь требуется увидеть вещь сразу, с одного взгляда, по меньшей мере, до определенной степени, а не благодаря рассуждению»1. Названиегеометрический умне означает, что в геометрии работает только эта способность. И в геометрии, и в математике вообще вместе со способностью к строгой логической дедукции играет большую роль также и способность к целостному интуитивному охватыванию предмета,ум проницательный. Так что и сама математика в этом смысле совсем не однородна2. Скорее здесь, как и в искусстве, как и в других сферах человеческой жизнедеятельности, обозначаются два направления: одно—стремящееся свести всю совокупность действий к некоторому фиксированному алгоритму, к техникеи, следовательно, к автомату; и другое—признающее за знаковыми системами и человеческими действиями толькосимволическоезначение, требующее для своей интерпретации целостного человеческого сознания. Мы не можем, однако, развивать здесь эти соображения дальше.

Вернемся к канторовским проектам в естествознании. Создатель теории множеств не раз писал, что он был всегда не удовлетворен гипотезами о последних элементах материи, применяемыми в физике. В особенности это касалось представлений об атоме как имеющей конечную, хотя и очень малую величину частице материи. Кроме того, вставал вопрос о количестве атомов во Вселенной. «Я нисколько не сомневался, что для получения безупречного объяснения природыпоследние или первоначальныепростыеэлементы материи следует предполагать имеющимисяв актуально бесконечном числеи рассматривать их в отношении пространственности каксовершенно непротяженные и строго точечные»1.Эту точку зрения частично поддерживали: М. Фарадей, А. Ампер, В. Вебер. К ней примыкал также и математик О. Коши, хотя нужно всегда помнить, что, в отличие от Кантора, количество атомов во Вселенной, по Коши, должно быть конечным.

Сведя материю к безразмерным точкам, Кантор надеялся, что тогда и физику удастся свести к теории точечных множеств, т.е. к одному из применений общей теории множеств. «Однако, чтобы иметь возможность реализовать это фундаментальноепредставление, мне казалось необходимым предпослать этому общие исследования о точечных множествахв том виде, как я их проводил.Простые элементы природы, из объединения которых в некотором смысле получается материя, я, примыкая к Лейбницу, называю монадами илиединицами...»2Здесь необходимо сделать замечание. «Примыкание» Кантора к Лейбницу довольно спорно. У Лейбницамонадаесть субстанция, т.е. «существо, способное к действию»3. Монады, хотя и не имеют частей, отличаются одна от другой внутренними различиями и действиями. Все это богатство лейбницевской метафизики не имеет никакого отраженияв теории множеств Кантора. Точки, элементы множеств,—все тождественны и качественно идентичны. Хотя Кантор и называет их, как и Лейбниц,единицамии, как мы видели выше, даже говорит об органических единствах единиц (в числе), однако это не оказывает никакого влияния на теорию множеств, где элементы множеств не имеют никакой «внутренней жизни». Следует заметить, кроме того, что у Лейбница монады, строго говоря, не естьточки в пространстве. Монады суть духовные существа, и не существует никакого пространства, объемлющего их. У Лейбница не монады существуют в пространстве, а пространство есть один из модусов представлений монад. Кантор в этом смысле довольно натуралистически интерпретирует лейбницевскую метафизику.

В духе физики своего времени Кантор предлагает рассматривать два типа материи, или «две материи», как выражается он сам: телесную и эфирную. Ей соответствуют два типа монад: телесные и эфирные монады. «С этой точки зрения, в качестве первого вопроса, до которого, однако, не додумались ни Лейбниц, ни более поздние ученые, возникает такой: какие мощности соответствуют этим двум материям в отношении их элементов, когда они рассматриваются какмножества телесных, соответственно,эфирных монад? В этой связи я уже давно выдвинулгипотезу, чтомощность телесной материи—это та, которую я называю в своих исследованияхпервой, но, что напротив,мощность эфирной материиявляется второй»1. Другими словами, мощность множества телесных монад есть, по Кантору,a мощность счетного множества, а эфирных—a1, первое, следующее заa0кардинальное число. Это предположение необходимо Кантору2для реализации его чисто формального подхода, т.е. основанного не на каких-то опытных данных, а на применении исключительно общих теорем теории множеств. Дело в том, что в своей теории для точечных множеств первой и второй мощности Кантор доказал некоторые стандартные разложения этих множеств в сумму других, более простых множеств, отличающихся друг от друга, так сказать, разной «плот­но­стью». Эти же стандартные множества, в свою очередь, Кантор надеялся интерпретировать как ответственные за различные феноменальные проявления материи: агрегатные состояния вещества, химические свойства, свет и тепло, электричество и магнетизм. Впрочем, все эти положения так и остались лишь неподтвержденными гипотезами.

Соседние файлы в папке Катасонов