Глава II Трансфинитные числа § 1. Трансфинитные числа — новые иррациональности

Канторовские трансфинитные числа самим своим определением —как элементы некоторого исчисления бесконечности—вызывали подозрение в логической несостоятельности и встречали сопротивление большинства ученых. Однако использование актуальной бесконечности в математике отнюдь не было нововведением Кантора, как мы отмечали уже выше, и он всячески старался использовать этот момент для реабилитации своих новых чисел. В частности, один особый вопрос в математике был близок к рассматриваемой теме. Это вопрос о теории действительных чисел. Действительные числа суть числа рациональные и иррациональные. Рациональные по самому своему определению выражаются в арифметических терминах: r = , гдеmиn—целые числа. Иррациональные же числа, открытые еще в античности, понимались скорее геометрически. Точнее говоря, в древнегреческой математике нет собственно иррациональных чисел, а есть иррациональныеотношения отрезков, например отношение диагонали квадрата к его стороне. Поэтому, когда мы на числовой оси согласно выбранному масштабу отметим все точки, соответствующие рациональным числам, то останутся еще «свободные точки», которые соответствуют иррациональным числам.

-10123

Рис. 3

В десятичной записи эти точки будут иметь координаты, выраженные бесконечными непериодическими десятичными дробями. Бесконечная десятичная дробь понималась как сумма бесконечного ряда. Например,

0,125837... = +++++ ...

Другими словами, бесконечная десятичная дробь представляла собой некоторый предел.Понятию предела в 20-х годахXIXв. придал общеупотребительную арифметическую форму великий французский математик О. Коши. Но это определение не всех удовлетворяло. Оно использовало понятие произвольного числа, следовательно, и иррационального, которое само было пределом. Необходима была арифметическая теория действительного числа, которая бы не опиралась на понятие предела. К началу 70-х годовXIXстолетия было предложено несколько таких теорий: Ш. Мере, К. Вейерштрассом, Р. Дедекиндом, Г. Гейне. Кантор также предпринимал усилия в направлении решения проблемыарифметизациидействительных чисел. В особенности замечательна была теория Р. Дедекинда¹(1872). Здесь действительные числа отождествлялись с так называемыми «сечениями»—разбиениями множества всех рациональных чисел на двабесконечныхподмножества². В теории Дедекинда математика оперировала с актуально бесконечными множествами и, более того, соотносила их с числами.

Поэтому нет ничего удивительного в том, что Кантор, полемизируя с противниками своих трансфинитных чисел, уподобляет последние иррациональным. «Трансфинитные числа в известном смысле суть сами новые иррациональности. Действительно, по-моему, лучший метод определенияконечныхиррациональных чисел совершенно подобен, я готов сказать, в принципе, тот же самый, что и мой описанный выше метод введения трансфинитных чисел. Можно, безусловно, сказать: трансфинитные числа стоят или падаютвместе с конечными иррациональными числами. По своему внутреннему существу они подобны друг другу, ибо как те, так и другие суть определенно отграниченные образования или модификации (_aforism)ena) актуально бесконечного»¹. В этом уподоблении много верного. Действительно, «язва» актуальной бесконечности вошла в математику еще с иррациональными числами. Это прекрасно осознали уже древнегреческие математики: в самом геометрическом доказательстве несоизмеримости диагонали квадрата и его стороны (по так называемомуалгоритму Евклида) процесс уходит в бесконечность. Поэтому в ориентированной на устойчивую онтологическую картину мира математической культуре Древней Греции²никто не рисковал вводить иррациональных чисел. Хотя Евдокс уже начинает рассматривать любые отношения и дает свое определение равенства отношений, имеющее характерный позитивистский вкус и использующее актуальную бесконечность... В духовно искушенном средневековье двойственно-по­до­зри­тельное отношение к иррациональностям сохраняется. В эпоху Возрождения вместе с решением алгебраических уравнений в математику хлынул поток иррациональностей, с которыми оперируют уже как с числами. СXVIIстолетия возникающий математический анализ уже «ни­что­же сумняшеся» использует весь континуум числовой оси в качестве законных чисел. Однако общей теории действительного числа все еще нет. И только во второй половинеXIXв. эта теория создается... И существенно, что она использует актуально бесконечные множества. Актуальная бесконечность, непонятная, парадоксальная и пугающая античность своей несоизмеримостью с человеческим разумом, входит в науку нового времени как бы с черного хода: через вычисления, через прикладные методы, через прагматику математики. И когда вXIXв. начинается логическое наведение порядка в науке, она—уже здесь...

Кантор совершенно прав, когда подчеркивает подобие своих трансфинитных чисел иррациональным. Так, характеризуя первое трансфинитное число w, он пишет: «Разумеется, этот знакwможно в известном смысле рассматривать как предел, к которому стремится переменное целое числоn, но только в том смысле, чтоwестьнаименьшеетрансфинитное порядковое число, т.е. наименьшеетвердо определенноечисло, которое больше, чем все конечные числаn. Аналогично иесть предел известных переменных возрастающих рациональных чисел с той лишь особенностью, что разность междуи этими приближенными дробями становится бесконечно малой, тогда какw-nвсегда равнаw. Но это различие нисколько не меняет того обстоятельства, чтоwсодержит в себе столь же мало следов стремящихся к нему чиселn, как иот иррациональных приближенных дробей»¹.