§ 5. К. Гутберлет о бесконечном

Особый интерес к науке вообще и к канторовской теории множеств в частности со стороны католических теологов был во многом обусловлен энцикликой папы Льва XIIIAeterni Patris(1879). Лев XIII(годы понтификата: 1878–1903) вошел в историю католической церкви как папа, старавшийся примирить церковь с современной цивилизацией. Этой цели были посвящены его послания, касающиеся различных вопросов социальной и культурной жизни. Такова, например, его знаменитая энцикликаRerum Novarum (1891), затрагивавшая актуальные моральные проблемы современного капитализма, отношений труда и капитала. В свою очередь,Aeterni Patrisпризывала к изучению философии, и в особенности трудов Фомы Аквинского. ЛевXIIIуказывал в ней также на необходимость осмысления результатов современного научного знания, используя богатейшую традицию схоластической философии. ЭнцикликаAeterni Patrisпослужила толчком к энергичному возобновлению томистских штудий в различных областях современной культуры. Множество католических богословов начали профессионально изучать науку и искать ее осмысления в горизонте традиционной христианской теологии. В этом смысле совсем не удивителен был их интерес и к теории множеств Кантора, тем более что последняя толковала проблемы бесконечности—классической темы христианского богословия. Среди корреспондентов Кантора были известный немецкий неотомист К. Гутберлет (C.Gutberlet), иезуиты-томисты, занимавшиеся философией науки, Т. Пеш (T.Pesh) и Дж. Хонтхайм(J.Hontheim), известный исследователь схоластической философии и издатель трудов Бонавентуры И. Джейлер(I.Jeiler), доминиканец Т. Эшер(T.Esser). Письма Кантора к двум последним мы уже не раз цитировали. В этом параграфе мы рассмотрим взгляды на бесконечное Константина Гутберлета и их оценку Кантором, который с 1883 г. имел переписку с этим теологом. Гутберлет активно интересовался естествознанием, читал лекции по философским вопросам науки. В 1878 г. он выпустил книгу «Бесконечное с метафизической и математической точки зрения»¹, в которой обсуждал как историю философски-богословских интерпретаций бесконечного, так и судьбу этого понятия в рамках математики. Книга была написана еще до знакомства Гутберлета с построениями Кантора. Переписка Гутберлета и Кантора была выгодна обоим корреспондентам: первый смог благодаря ей лучше уяснить сложные моменты теории множеств, второй—получать профессиональные консультации по истории «богословия бесконечности».

Однако позиция Гутберлета отнюдь не была тождественна канторовской. Если Кантор признавал актуально бесконечное существующим и в Боге, и в мире (Transfinitum), и в человеческом уме (трансфинитные числа), то Гутберлет признавал, строго говоря, только первое, бесконечность в Боге, отрицая, естественно, как убежденный томист, существование актуальной бесконечности в твари и с сомнением относясь к концепции трансфинитных чисел. Рассмотрим подробнее взгляды Гутберлета. В своей статье «Про­блема бесконечного»²он приводит некое «доказательство», почему актуально бесконечное не может существовать в мире. Доказательство это достаточно любопытно. Допустим противное: пусть, например, существует актуально бесконечная в обе стороны «ма­териальная прямая линия» (что-нибудь вроде бесконечной проволоки, пишет Гутберлет¹). Вырежем из какой-нибудь ее части конечный кусок, а потом сдвинем оставшиеся две части к середине этого вырезанного интервала. Каждая из оставшихся частей в результате этого сдвига становится, по Гутберлету, конечной (!). Вообще говоря, Гутберлет признаетабстрактнуювозможностьтого, что прямая (точнее, полупрямая) может быть ограничена с одной стороны, но бесконечна с другой. Однако в разбираемом примере эта возможность не может реализоваться. Почему? Потому что, с одной стороны, сдвиг прямой сохраняет ее длину, а с другой, «выдвижение» полупрямой из бесконечности уменьшает ее точно на величину, на которую мы ее сдвигаем, т.е. если даже она и была бесконечной, то после этого сдвига она будет «меньше бесконечности», будет «отстоять от бесконечности» как раз на эту величину. А последнее и означает, по Гутберлету, что онане будетуже бесконечной... Так как обе сдвинутые части конечны, значит, и исходная прямая, состоящая из трех конечных частей—вырезанный кусок и две оставшиеся части,—будет конечной. Что и требовалось доказать.

Для идеальной же прямой, т.е. прямой в «мире геометрии», это доказательство уже не проходит, отмечает Гутберлет. Идеальные прямые, по Гутберлету, нельзядвигать. Каждая линия, каждое геометрическое тело жестко связаны с точками пространства, из которых они состоят. Они неподвижны так же, как неподвижно, по Гутберлету, и само пространство. Их движение можно, строго говоря (философски говоря), понимать только одним способом: как построение на новом месте новой прямой (тела), конгруэнтной исходной. Итак, для томиста Гутберлета не существует актуально бесконечного тела, но в геометрии, как абстрактной математической дисциплине, рассматривать бесконечные прямые можно.

Существование актуально бесконечного в Божественном Духе Гутберлет признает также, как вся христианская богословская традиция, как признавал это и Кантор. Гутберлет дает четкие богословские формулировки, которые полезно привести здесь. Говоря о Боге, о Божественном Духе, мы признаем всеведение Бога и неизменность Его бытия. А это влечет за собой определенные следствия и для актуальной бесконечности. Так, если мы рассматриваем бесконечный ряд чисел, например последовательность десятичных знаков числа p= 3,14159..., то человеческое сознание актуально может схватывать только конечное число членов этого ряда, которыепотенциальнобесконечномогут входить в наше актуальное сознание. «В абсолютном же Духе в актуальном сознании всегда присутствует весь ряд, без какой бы то ни было возможности прироста в познании или в узрении нового члена этого ряда»¹. Этот прирост познания невозможен именно потому, что мы отрицаем возможность всякого движения, всякого изменения в Боге. Это для нас, для человеческого сознания, актуально известно каждый раз лишь конечное число десятичных знаков числаp. В отношении этого числа это верно в особенности, потому что мы не имеемобщейформулыдля вычисления этих знаков, а лишь некоторый алгоритм, позволяющий нам последовательно находить их. Последовательность этих знаков выступает для нас в качестве потенциально бесконечной. Для Бога же вся бесконечная последовательность этих знаков дана разом и актуально, как актуальная бесконечность. Бог не можетпознаватьнечто, Он простознаетего.

Хотя Гутберлет и признает существование актуально бесконечного в Божественном Уме, он тем не менее подозрительно относится к канторовской концепции трансфинитных чисел. «Я называл бесконечную дискретную величину скорее множеством, чем числом... так как выражение бесконечное число, согласно обычному, узкому значению слова число, содержит в себе, вообще говоря, противоречие. Потому что число, согласно своему смыслу, есть определенноемножество, multitudo mensurata per unum¹. Оно есть или 100, или 1000, или 10 000; бесконечная же величина не охватывается никаким специальным числом; невозможно указать, как много определенных единиц она содержит.Поэтому она не нуждаетсяв определенности, которая важна для всякого[конечного.—В.К.]бытия;она определена уже через то, чтонаходится выше любого определенного числа.Такую величину лучше называть множеством, чем числом»². Конечно, подобный подход резко противоречил самомупафосуканторовской теории. Определенность бесконечности как того, что «находится выше любого определенного числа»,—подобные формулировки были для Кантора за­мшелым анахронизмом. Вся дерзость и все новаторство его теории в том и состояли, что он пытался продвинуться дальше этих общих и, в целом, достаточно банальных традиционных формулировок, пытался дать градации этой возвышающейся над всем бесконечности: различение трансфинитного и Абсолютного и осмысление трансфинитного как шкалы бесконечных чисел³. Позиция Гутберлета в этом отношении выражала традиционную богословскую установку, неотделимую от «охранительных» тенденций христианской теологии: не «зарваться слишком высоко», так сказать, в спекулятивных построениях о Боге, что было в высшей степени опасно, так как по опыту своей многовековой истории теология очень хорошо знала—ошибке в доктрине неизбежно приводят к порче духовной жизни и в конце концов к деформации самого религиозного идеала...

Гутберлет вместе с тем настойчиво критикует расхожие представления о том, что невозможность актуально бесконечного множества якобы достаточно очевидна. Некоторые богословы XIX в. видели непоследовательность в этом смысле даже у Фомы Аквината, который при обсуждении вопроса о начале мира не использует аргумента о невозможности бесконечной величины против сторонников вечного существования мира (ведь тогда величина протекшего времени была бы бесконечной). Правоверный томист Гутберлет подчеркивает, что Фома строго отличает только вероятные мнения от доказанных положений. Невозможность актуально бесконечной величины была для Фомы именно вероятным мнением и не могла использоваться для строгого доказательства. В этом же смысле ошибаются, по Гутберлету, и те, которые критикуют Фому за неиспользование невозможности актуально бесконечного ряда во втором его доказательстве бытия Божия, где Бог оказывается первопричиной в конечном ряду причин. Вопрос о возможности или невозможности актуально бесконечной величины открыт для Фомы, но рассуждение о необходимости первопричины вполне достоверно и без решения этого вопроса ¹. Кстати, Кантор также отмечает этот момент в своей статье «О различных точках зрения на актуально бесконечное» (ссылаясь при этом на Гутберлета): «Ес­ли бы догматы веры нуждались для своего подтверждения в такомкардинальноложномтезисе, как положение о невозможности актуально бесконечных чисел,... то их дела обстояли бы очень плохо. Мне кажется поэтому весьма замечательным то, что св. Фома Аквинский в I p., q. 2, a. 3 своей «Summa theologica», где он доказывает с помощью пяти аргументов существование Бога, не пользуетсявовсеэтим ложным тезисом, хотя он вообще отнюдь не противник его; но во всяком случае для преследуемой им цели он показался ему малонадежным (ср.: Gutberlet, Constantin. Das Unendliche metaphysisch und mathematisch betrachtet. Mainz, 1878, S.9)»¹. Следует, однако, заметить, что у Фомы и Гутберлета речь идет о бесконечной величине, а Кантор прямо связывает это со своими трансфинитными числами.

Гутберлет затрагивает также еще одну очень важную философскую тему, о которой мы уже говорили выше ². Противникам актуальной бесконечности Гутберлет указывает, что сама возможность потенциальной бесконечности уже влечет за собой и признание актуальной, или, как выражается сам немецкий теолог, «понятие потенциально бесконечного включает в себя понятие актуально бесконечного»³. Когда мы говорим о потенциальной бесконечности, например о бесконечно возрастающем ряде натуральных чисел, то мы имеем в виду, что любое достигнутое число, как бы велико оно ни было, может быть превзойдено следующим. Мы говорим тем самым о безграничном, бесконечном возрастании. «Но как должно,—спрашивает Гутберлет,—понимать это безграничное, бесконечное—потенциально или актуально? Здесь нет чего-то среднего; в первом случае получается невозможность определения [потенциально бесконечного.—В.К.], во втором—потенциально бесконечное предполагает актуально бесконечное»⁴. Само «бес­конечное возрастание» потенциально бесконечной величины не может быть уже потенциальным, т.к. тогда непонятна его, так сказать, «сила» и если эта «сила» конечна и переменна, то естественно возникает вопрос о возрастании этой силы, т.е. о бесконечности возрастания возрастания и т.д. Этот неопределенный ряд мы можем прервать (и устранить) только одним способом: признать бесконечную возможность возрастания актуально существующей. Этот важный момент отмечал у Гутберлета и Кантор: «Г-н проф. Гутберлет настойчиво и успешно указывает... на зависимость потенциальной бесконечности от лежащей в основе актуальной бесконечности. Он правильно сделал ударение на то, что a parte rei¹собственно уже не существует никакой потенциальной бесконечности»².

Специфика позиции Гутберлета как томиста, отметим это еще раз, состояла в том, что он хотя и отрицал существование в тварном мире актуально бесконечного множества и актуально бесконечных величин, однако в сфере возможногоподобное существование допускал. В частности, и в математике. Однако какие-либоградациив актуально бесконечном Гутберлету не были понятны. «В различных местах у Гутберлета...—пишет Кантор,—я обнаруживаю совершенно неприемлемый тезис, что в «понятии величины, мыслимой бесконечной, содержится исключение какой-либо возможности увеличения». Это может случиться лишь для абсолютно бесконечного; трансфинитное же, хотя оно и представляется определенным и большим всякого конечного, разделяет с конечным свойство быть неограниченно увеличиваемым»³.

В целом, с позиции своего конструктивногоподхода к актуально бесконечному, Кантор невысоко оценивал работы Гутберлета: «Что касается Гутберлета, которого я совсем недавно достал,—писал создатель теории множеств своему корреспонденту математику Ласвицу в 1884 г.,—то ему не хватает необходимых средств, чтобы понятийно через число фиксировать и схватить категориматически-бесконечное ⁴; оно [категориматически-бесконеч­ное. — В.К.] выступает у него,—так же как и у его предшественников схоластов Де Арриги, Маньяна и т.д.,—в слишком тесной связи с синкатегориматическим бесконечным и во многих местах даже смешивается с последним, как ясно следует из приводимых им примеров. Тот, например, кто ищет собственно-бесконечное вдифференциалах(которые понимаются никак не иначе, какизменяющеесяконечное),никогда не найдет его!»¹