Глава IV Математика и религия § 1. Трансфинитные числа в Боге

Обсуждая теорию множеств Кантора в том варианте, как она была задумана и реализована им самим, мы с неизбежностью приходим к религиозным вопросам. Этого требует прежде всего простая научная честность. Кантор был глубоко религиозным человеком. О его личной религиозности мы подробнее поговорим позднее. Сейчас нам необходимо лишь отметить, что в связи с теорией множеств для него были одинаково важны и математические, и богословские аспекты. Сам предмет теории множеств, имеющий дело с тем объемлющим ¹, которое представляет собой как бы пространство и место всех чисел, естественно «приглашал» к подобному расширению обсуждения. Имея дело с бесконечным, теория множеств касается традиционных философских и богословских вопросов, и только культурная ограниченность или агрессивная духовная предвзятость может игнорировать этот очевидный факт ². В случае же с Кантором это возможно только ценой искажения той реальной философской перспективы, в которой возникает теория множеств.

Для канторовского научного мышления, существенно обусловленного теологическим горизонтом, переход к богословским темам был достаточно естественным. Мы уже говорили выше, что главным критерием математического существования у Кантора выступала логическая непротиворечивость. То, что логически непротиворечиво, может быть законно введено в математику. Но в то же время все логически непротиворечивое, по Кантору, так сказать, не случайно: оно законно существует не только в нашем уме, но и в уме Бога. Точнее говоря, именно существование в уме Бога вечных идей, непротиворечивость которых есть лишь другое название их простой онтологической консистентности, дает возможность нам познавать эти идеи. И путь к опознанию этих идей прост: достаточно иметь непротиворечивую интеллектуальную (ма­тематическую) конструкцию. В Боге, как в самой истине, не может быть противоречия. Этот ход мысли—от математики к теологии (и обратно)—Кантор применяет постоянно. Все непротиворечивое возможно. Но эту категорию возможности Кантор использует богословски содержательно: все возможное a prioriсодержится в божественном Уме. Когда Кантор говоритвозможное, то это всегда означает констатацию двух положений:

а) логической непротиворечивости и

б) вечного существования в божественном Уме.

Подобный ход мысли привычен для традиции спекулятивного богословия. Яркие примеры применения подобного метода можно найти, например, у Николая Кузанского ¹. Однако «вес» двух этих утверждений слишком различен: констатация логической непротиворечивости для конечного человеческого ума, с одной стороны, и утверждения овечном существовании истинной идеи в божественном Уме, с другой...

В переписке с богословами Кантор использует этот подход как самоочевидный, как некую философско-богословскую аксиому. Так, в письме от 13.10.1895 к французскому теологу И.Джейлеру, активно интересовавшемуся теорией множеств, он пишет: «Ре­зуль­та­ты [изучения актуально бесконечного.—В.К.], к которым я пришел, суть следующие:Подобное трансфинитное, мыслимое равно как in concreto, так и in abstracto, непротиворечиво, а следовательно, и возможно, и может быть сотворено Богом так же, как и конечное. Трансфинитное может быть различным образом упорядочено, специфицировано и индивидуализировано. В частности, существуют трансфинитные кардинальные числа и трансфинитные ординальные типы, которые подчинены определенной познаваемой людьми математической закономерности в той же степени, что и конечные числа и формы. Все эти особые модусы трансфинитного от вечности существуют как идеи in intellectu divino [выделено самим Кантором.—В.К.]»². Заметим, что в первом из выделенных предложений говорится даже больше, чем то, что возможное существует в божественном Уме. Возможное, логически непротиворечивое может вместе с тем и бытьсотворено Богом, может существовать in concreto, как физическая реальность. Мы уже говорили выше о философских взглядах Кантора³: он был убежден, чтоимманентная, чисто теоретическая состоятельность научных концепций и ихтранзиентноезначение—т.е. относящееся к приложениям этих концепций к конкретной физикалистской реальности—необходимо связаны между собой. В теологических же рассуждениях Кантора выступаетбогословская основаэтой связи: непротиворечивые идеи от века заключены в Уме Бога и поэтому Бог может их сотворить. Бог выступает здесь гарантом материальной значимости теоретического познания. Ход мысли чисто декартовский, традиционный для новоевропейского обоснования науки. Это перебрасывает естественный мост к физике и к надеждам Кантора найти в последней подтверждения своим теоретико-множественным конструкциям. С другой стороны, здесь встают серьезные теологические вопросы, касающиеся соотношения возможного и актуально сотворенного. Все эти темы были развернуты в канторовской переписке и доведены до их логического конца. Мы разберем это ниже. Сейчас же нас интересует другой, болеепсихологическиймомент канторовских религиозных представлений, который поможет и лучше понять теологические импликации его научной теории.

Эта апелляция к Богу, к видению трансфинитных чисел с точки зрения Абсолютного Ума, sub specie aeternitatisбыла по-своему необходимой. Для построения канторовской теории нужно было иметь концепциюкардинального числа. Обычного подхода к числу, основанному на переходе отnк(n+1) ¹, было здесь недостаточно. Таким образом, мы бы все время оставались в области конечных чисел. Переход отnк(n+1)давал намординальные конечные числа,но его недостаточно для получения общего понятиякардинального и тем болеетрансфинитногочисла. Кантор, говоря о трансфинитных кардиналах, подчеркивал, что получает их абстракцией от свойств элементов и их порядка для произвольного бесконечного множества (см. выше), аналогично тому, как конечные кардинальные числа получаются подобной абстракцией, примененной к конечным множествам. Нужно было как бы «увидеть» множество как единую тотальность. Весь вопрос только состоял в том, как можно «увидеть» бесконечное множество... Речь идет не о «представлении» бесконечного множества в воображении. Выше мы уже обсуждали реакцию Кантора на критику с подобной точки зрения¹. Речь идет о том, как вообще возможно адекватно мыслить бесконечное. И здесь апелляция к божественному Уму была всегда почти навязчиво соблазнительной: уж, конечно, божественный Ум видит эту актуально бесконечную тотальность...