Соотношение между корреляционной функцией и спектральной характеристикой сигнала

Воспользуемся выражением (1.63), в котором положим f(t)=s(t),g(t)=s(t+τ) и соответственно F(ω) = S(ω), G(ω) = S(ω) e^-iωτ.Тог­да получим

Учитывая, что S(ω)S* (ω) =S²(ω), приходим к искомому соотно­шению

(1.83)

На основании известных свойств преобразований Фурье можно также написать:

(1.84)

Итак, прямое преобразование Фурье (1.84) корреляционной функции B_s(τ) дает спектральную плотность энергии , а преобразование (2.83) дает корреляционную функциюВ_s(τ).

Из выражений (1.83) и (1.84) вытекают свойства: чем шире спектр S(ω)сигнала,тем меньше интервал кор­реляции, т. е. сдвигτ,в пределах которого корреляционная функция отлич­на от нуля. Соответственно чем больше интервал корреляции заданного сигнала, тем уже его спектр.

Из выражений (1.83) и (1.84) также видно, что корреляционная функ­ция B_s(τ) не зависит от ФЧХ спектра сигнала. Так как при заданном ам­плитудном спектреS(ω) форма функцииs(t) существенно зависит от ФЧХ, то можно сделать следующее заключение:различным по форме сигналам s(t), обладающим одинаковыми амплитудными спектрами, соответствуют одинаковые корреляционные функции B_s (τ).

Вопросы для самопроверки

1. Что характеризует корреляционная функция?

2. Как определяется корреляционная функция?

3.Как связаны математически корреляционная функция и энергетический спектр сигнала.

4.Назовите основные свойства корреляционной функции.

1.4 Модулированные сигналы

Общие определения. Для передачи информации на расстояние применяются сигналы, эффектив­но излучаемые с помощью антенных устройств и обладающие способностью распространяться в виде свободных радиоволн в среде, разделяющей отпра­вителя и получателя информации. Такими сигналами являются высокоча­стотные колебания. Передаваемая информация должна быть тем или иным способом заложена в высокочастотное колебание, называемое несущим. Частота ω₀ этого колебания выбирается в зависимости от расстояния, на которое должна передаваться информация, от условий распространения ра­диоволн и ряда других технических и экономических факторов. Но в любом случае частота ω₀ должна быть велика по сравнению с наивысшей частотой Ω_m спектра передаваемого сообщения.

Это объясняется тем, что для неискаженной передачи сообщений через радиотехнические цепи, а также для устранения искажений, возникающих при распространении радиоволн, необходимо чтобы ширина спектра сооб­щения Ω_m была мала по сравнению с ω₀; чем меньше отношение Ω_m /ω₀, тем меньше проявляется несовершенство характеристик системы. Поэтому чем выше требуемая скорость передачи информации и, следовательно, шире спектр сообщения Ω_m, тем выше должна быть несущая частота радиосигнала. Как правило, выполняется неравенство Ω_m /ω₀ <<1.

Любой радиосигнал можно поэтому трактовать как «узкополосный» про­цесс даже при передаче «широкополосных» сообщений.

Приведем следующие примеры. При передаче речи или музыки спектр сообщения обычно ограничивают полосой от F_min= 30—50 Гц до F_mах = 3000—10 000 Гц. Даже на самой длинной волне вещательного диапазона λ= 2000 м при несущей частоте ƒ₀=150 кГц отношение F_mах / ƒ₀ =10⁴/1.5×10⁵≈0.06. При передаче тех же сообщений на коротких волнах (при ча­стотах 15—20 МГц) это отношение не превышает сотых долей процента. При передаче подвижных изображений (телевидение) полоса частот сооб­щения весьма широка и достигает 5—6 МГц, однако и несущая частота вы­бирается не менее 50—60 МГц, так что отношение F_mах / ƒ₀ не превышает 10 %.

В самом общем случае радиосигнал, несущий в себе информацию, мож­но представить в виде

a (t) = А (t) cos [ω₀t +θ(t)] = A (t) cos ψ (t), (1.85)

в котором амплитуда А или фаза θ изменяются по закону передаваемого со­общения.

Если A и θ — постоянные величины, то выражение (1.85) описывает про­стое гармоническое колебание, не содержащее в себе никакой информации. Если А и θ (следовательно, и гр) подвергаются принудительному изменению для передачи сообщения, то колебание становится модулированным.

В зависимости от того, какой из двух параметров изменяется — ампли­туда А или угол θ — различают два основных вида модуляции: амплитудную и угловую. Угловая молуляция, в свою очередь, подразделяется на два вида: частотную (ЧМ) и фазовую (ФМ). Эти два вида модуляции тесно связаны между собой, и различие между ними проявляется лишь в характере изме­нения во времени угла ψ при одной и той же модулирующей функции.

Модулированное колебание имеет спектр, структура которого зависит как от спектра передаваемого сообщения, так и от вида модуляции. То об­стоятельство, что ширина спектра модулирующего сообщения мала по срав­нению с несущей частотой ω₀ ,позволяет считать A (t) и θ (t) медленными функциями времени. Это означает, что относительное изменение А (t) или θ (t) за один период несущего колебания мало по сравнению с единицей.

Рассмотрим сначала вопрос об изменении амплитуды. При скорости из­менения амплитуды dA/dt приращение амплитуды за один период Т₀ можно приближенно приравнять (dA/dt) Т₀. Следовательно, относительное изме­нение за период

.

Можно считать, что условие медленности функции А (t) выполняется,если

или . (1.86)

Аналогично можно установить условие медленности функции θ.

Так как мгновенная частота колебания равна скорости изменения фазы (об этом подробнее будет сказано в следующих параграфах), то, дифферен­цируя аргумент выражения (1.85), находим

.

Производная d θ /dt определяет отклонение частоты ω(t) от частоты ω₀. Это отклонение может быть быстрым или медленным. Для того чтобы коле­бания а (t) можно было считать близким к гармоническому, нужно, чтобы изменение частоты за время Т было мало по сравнению с частотой ω(t) в любой рассматриваемый момент времени.

Таким образом, условие медленности функции θ (t) можно записать в виде следующих неравенств:

или.

Так как обычноω(t) очень мало отличается от ω₀, можно считать Т≈2π/ω₀ и исходить из условия

. (1.87)

Для большинства используемых в радиотехнике сигналов неравенства (1.86) и (1.87) обычно выполняются. Это означает, что при любом виде модуля­ции параметры радиосигнала: амплитуда, фаза или частота — изменяются настолько медленно, что в пределах одного периода Т₀колебание можно счи­тать гармоническим.

Эта предпосылка лежит в основе всего дальнейшего рассмотрения свойств радиосигналов и их спектров.