1.4.4 Аналитический сигнал

В электротехнике при анализе воздействия гармонического колебания (напряжение, ток) на линейную цепь его принято представлять в форме

, (1.126)

или

,

—комплексная амплитуда.

Часто символ Re или Im опускают и пишут просто

подразумевая действительную или мнимую часть этого выражения.

Такое представление позволяет использовать преимущества методов те­ории функций комплексной переменной с последующим возвратом в конце анализа к тригонометрической форме путем отбрасывания мнимой части.

В современной радиотехнике представление колебаний в комплексной форме распространено на негармонические колебания.

Если задан физический сигнал в виде действительной функции а (t), то соответствующий ему комплексный сигнал представляется в форме

z_a (t) = a(t) + ia₁(t), (1.127)

где а₁ (t) — функция, сопряженная по Гильберту сигналу а(t).

Заметим, что и в выражении (1.127) мнимая часть комплексной функции является функцией, сопряженной по Гильберту действительной части.

Главная особенность определенного таким образом комплексного сиг­нала заключается в том, что его спектральная плотность

(1.128)

содержит только положительные частоты. Действительно, согласно (1.122), (1.123) при ω > 0 S_a1 (ω) = -iS_a (ω), а при ω<0 S_a1 (ω) = iS_a (ω).

Следовательно,

Так, если узкополосному сигналу a(t) соответствует спектральная плот­ность S_a(ω), модуль которой изображен на рис. 1.17 штриховой линией, то сигналу z_a(t)= a(t) + ia₁(t) соответствует спектральная плотность Z_a (ω), модуль которой изображен на том же рисунке сплошной линией.

Рис.1.17. Соотношение между спектрами физического и аналитического сигналов

Интеграл Фурье для сигнала z_a(t) принимает следующий вид:

(1.129)

где S_a (ω) — спектральная плотность исходного (физического) сигнала a(t).

Комплексный сигнал, определяемый выражениями (1.127) и (1.128), на­зывается аналитическим сигналом.

Пусть задан физический сигнал a(t) = А(t) cos [ω₀t + φ(t) ]= A(t)cosψ(t)и требуется определить соответствующий ему аналитический сигнал z_a(t). Исходя из общего выражения для сопряженной функции а₁(t) можно написать

.

Точное определение a₁(t) при сложной функции А(τ)cosψ(τ) явля­ется трудной задачей, которую можно обойти, если исходный сигнал а(t), является достаточно узкополосным процессом. Можно показать, что в этом случае

а₁(t) = A(t)sin ψ(t)=A(t)sin [ω₀t + φ (t) + φ₀].

Таким образом, аналитический сигнал можно записать в следующем виде:

(1.130)

где

(1.131)

представляет собой комплексную огибающую узкополосного сигнала.

Соотношения между A(t), a(t) и а₁(t) иллюстрируются векторной диаграммой на рис.1.18. Модуль комплексной огибающей, равный А(t) [поскольку при любом законе изменения Ѳ(t)], содержит информацию только об амплитудной модуляции колебания, а фа­зовый множитель e^iθ(t) — только об угловой модуляции. В целом же про­изведение A(t)e^iθ(t) содержит полную информацию о сигнале а(t) (за ис­ключением несущей частоты ω₀, которая предполагается известной).

Рис.1.18.Соотношение между амплитудой аналитического сигнала

и функциями a(t), а₁ (t)

Это свойство комплексной огибающей, позволяющее при анализе уз­кополосных сигналов исключить из рассмотрения частоту ω₀, придает важ­ное значение понятию «аналитический сигнал».

Рассмотрим основные свойства аналитического сигнала и комплексной огибающей.

1). Произведение аналитического сигналаz_a(t) насопряженный ему сигналz*_a(t)равно квадрату огибающей исходного (физического) сигнала a(t).

Действительно,

.

Таким образом, модуль анали­тического сигнала z_a(t) равен про­сто огибающей сигнала A(t).

2). Спектральная плотность ко­мплексной огибающейA(t)совпадает со смещенной на ω₀ влево спектраль­ной плотностью аналитического сиг­нала z_a(t).

Основываясь на общей формуле, можно написать .

Вопросы для самопроверки

1. Что называется модуляцией сигнала.

2. Что называется коэффициентом модуляции.

3. Чему равна ширина спектра при амплитудной модуляции.

4. Как связаны фаза и мгновенная частота колебания с угловой модуляцией.

5. Чему равна ширина спектра при угловой модуляции .

6. Что называется аналитическим сигналом.