1.6.5.2 Систематические коды

Если обозначить информационные символы буквой С,а контрольные – е,то любую кодовую комбинацию, содержащую “k” информационных и “r”- контрольных символов можно представить в виде последовательности:

Процесс кодирования сводится к образованию контрольных символов,как линейно функции от информационных символов:

- коэффициенты, равные нулю или единице.

Значения этих коэффициентов выбираются по определенным правилам, установленным для данного вида кода. Декодирование принимаемых кодовых комбинаций может осуществляться разными методами. Например, из принятых информационных символов образуется ещё одна группа контрольных символов:

Затем производится сравнение принятых и полученных символов суммированием по модулю два.

-принятые

- вычисленные

Число- называетсяконтрольным числомилисиндромом.

Если ошибка принимаемых информационных символов отсутствует то все

χ=0 - если нет ошибок; χ≠ 0 - если есть ошибки.

Каждому сочетанию ошибок присваивается контрольное число. По известному контрольному числу определяют место ошибки. Если ошибка контрольный символ, то исправлять ничего не надо, если же ошибка в информационных символах, то по контрольному числу определяют место ошибки и исправляют её.

Контрольное число Х записывается в двоичной системе. Поэтому общее число различных контрольных чисел, отличных от нуля равно:

Эго количество должно быть не меньше числа различных сочетаний ошибочных символов, подлежащих исправлению. Например, если код предназначен для исправления одиночных ошибок, то число различных вариантов таких ошибок равно:

.

В этом случае должно выполняться условие:

_.

_{Эта формула позволяет определить необходимое число контрольных символов r при заданном числе информационных символов k для исправления одиночных ошибок.}

_{Код с четным числом единиц. Простейший систематический код, применяемый только для обнаружения ошибки. Каждая кодовая комбинация этого кода содержит один контрольный символ, который равен 0 или 1,выбираемый так, чтобы сумма единиц в комбинации всегда была четной.}

_{В декодирующем устройстве производится проверка на четность.}

_{Достоинство кода: простота кодирующих и декодирующих устройств, малая избыточность:}

;

_{Недостаток: низкая корректирующая способность, четные ошибки не обнаруживаются.}

_{Инверсный код. Предназначен для обнаружения ошибки, обладает лучшими корректирующими способностями по сравнению с кодом с четным числом единиц. Число контрольных символов равно числу информационных символов.}

_{Если количество единиц в информационных символах четное, то контрольные символы повторяют информационные символы, в противном случае контрольные числа являются инверсными и информационными.}

_{При декодировании происходит сравнение принятых информационных и контрольных символов, т.е производится r проверок на четность.}

_{, где .}

_{Ошибка обнаруживается, если хотя бы одна проверка на четность дает 1.Анализ}

_{показывает, что при наименьшая кратность необнаруженной ошибкиg=4.}

_{Достоинства: высокая обнаруживающая способность.}

_{Недостаток: сравнительно большая избыточность}

_{Причем не обнаруживаются только те ошибки четвертой кратности, которые искажают одинаковые номера информационных и контрольных символов}

_{Пример:}

_{передано: 10100,10100}

_{принято: 10111,10111}

_{то ошибка не будет обнаружена, т.к}

_{Вероятность необнаруженных ошибок четвертой кратности равна:}

_.

_{Дляg>4 вероятность необнаруженных ошибок ещё меньше. Поэтому при малых}

_{можно считать, что полная вероятность необнаруженных ошибок:}

.

Коды Хэмминга. К этому типу относятся систематические коды сd=3,которые позволяют исправить все одиночные ошибки. Достоинство кода - по распределению ошибок сразу можно записать коэффициенты.

Рассмотрим семизначный код, у которого 4 информационных и 3 контрольных символа (7.4). Избыточность:

Контрольные символы образуются по правилу суммы:

Декодирование осуществляется путем трех проверок на четность:

(1.172)

_{Так как х=0 или 1,то может быть восемь контрольных чисел :}

Установим связь между контрольными числами и скаженными символами.

Если искажен один из контрольных символов то контрольное число примет одно из трех значений 100 010 001(это следует из выражения ).Остальные четыре контрольных числа используются для определения ошибок в информационных символах. Порядок присвоения контрольных чисел ошибочным информационным символам может быть любой.

Например, такой ,как указано в табл.1.1.

Таблица 1.1

Искаженные символы	c1	c2	c3	c4	e1	e2	e3
Контрольное число	011	101	110	111	100	010	001

Этому распределению контрольных чисел соответствует коэффициенты для определения контрольных символов(табл.1.2).

Таблица 1.2

e1	α11=0	α12=1	α13=1	α14=1
e2	α21=1	α22=0	α23=1	α24=1
e3	α31=1	α32=1	α33=0	α34=1

Если подставить коэффициент в выражении для определения чиселполучим:

(1.173)

При искажении одного из информационных символов равны единице те суммы (1.173), в которые входит этот символ.

Нетрудно заметить, что первые четыре контрольных числа табл.1.1 совпадают со столбцами табл.1.2. Это свойство дает возможность при выбранном распределении контрольных чисел составить таблицу коэффициентов т.о. при одиночной ошибке можно вычислить контрольное числа и по табл.1.1 определить тот символ, который искажен.

Рассмотрим пример. Пусть .

Вычислим контрольные символы

..

Передаваемая комбинация будетПусть искажен символт.е. примем комбинацию:.

Найдем контрольное число согласно (1.173)

...

По табл. 1 находим, что искажен символ .

Существует более удобный метод отыскания одиночных ошибок, предложенный самим Хэммингом. При этом методе код строится так, что контрольное число в двоичной системе сразу дает номер искаженного символа. В этом случае контрольные символы необходимо располагать среди информационных, что усложняет процесс кодирования.

Коды с постоянным весом.В теории кодирования весом кодовых комбинаций принято называть количество единиц, которое они содержат. Если все комбинации кода имеют одинаковый вес , то код называется с постоянным весом. Эти коды относятся к классу блочных неразделяемых кодов. Из кодов этого типа наибольшее распространение получил обнаруживающий семизначный код ¾ (содержит

три 1 и четыре 0) 1011000, 0101010. Декодирование сводится к определению их веса. Если вес отличается от заданного, то ошибка. Этот код обнаруживает все ошибки нечетной кратности и часть ошибок четной кратности. Не обнаруживаются ошибки смещения, Когда числа искажения 1 равно числу искажения 0. В этом коде общее число комбинаций

.

а разрешенными являются лишь

Вероятность не обнаружения ошибок для кода ¾ равна

Циклические коды.Занимают важное место среди систематике кодов. Свойство цикличности состоит в том, что циклическая перестановка всех символов кодовой комбинациидает другую кодовую комбинацию, принадлежащую этому коду. При такой перестановке крайний правый символ переполнится налево.

Комбинации кода удобно представить в виде полинома фиктивной переменнойz.

При этом полином, описывающий кодовую комбинацию, делится на так называемый порождающий полином G(z) степени r = n - k, где k- значимость первичного кода без избытка, n - значимость циклического кода.