2.4.3 Оптимальная фильтрация случайных сигналов

На практике точная форма полезного сигнала часто зара­нее неизвестна. Поэтому реальный сигнал, поступающий в радиоканал от микрофона, передающей телевизионной камеры и т. д., можно в некотором приближении рассмат­ривать как типичную реализацию из стационарного эргодического ансамбля. Если плотность вероятности такого слу­чайного процесса известна (чаще всего ее считают гауссовой), то единственная информация о всей совокупности возможных сигналов заключена в спектре мощности или в функции корреляции.

В радиоканале, помимо случайных полезных сигналов, присутствуют помехи. Как правило, спектры мощности полез­ных сигналов и помех в той или иной степени различаются прежде всего своим расположением на частотной оси. Это позволяет найти стационарный линейный фильтр, который выделяет случайный полезный сигнал некоторым наилучшим образом.

Постановка задачи и критерий оптимальности. Предполо­жим, что на вход фильтра с частотным коэффициентом передачи К(jω) одновременно поданы два гауссовых случай­ных сигнала. Реализации этих сигналов обозначим символами и(t) и v(t). Пусть и(t) — полезный сигнал, в то время как v(t) — помеха. Эти сигналы являются реализациями стацио­нарных случайных процессов U(t) и V(t) соответственно. Допустим далее, что данные случайные процессы взаимно некоррелированы и заданы своими спектрами мощности W_u(ω), W_v(ω).

Реализация y(t) выходного сигнала фильтра не является точной копией полезного сигналаu(t), а отличается от него на величину случайного сигнала ошибкиe(t) = u(t)-y(t). (16.45)

Будем называть оптимальным фильтр, частотный коэффи­циент передачи которого выбран таким образом, что диспер­сия сигнала ошибки оказывается минимальной.

Если W_e(ω) — спектр мощности сигнала ошибки, то дисперсия этого сигнала

Свяжем функцию W_e(ω) со спектрами W_u(ω) и W_v(ω). Для этого рассмотрим структурную схему воображаемого устройства, позволяющего получать на выходе реализации сигнала ошибки e(t) (рис. 2.11).

Поскольку, по условию, случайные процессы U(t) и V(t) некоррелированы, мощности случайных сигналов, поступаю­щих на выход по каждому из двух возможных каналов, складываются, откуда

. (2.77)

Представим частотный коэффициент передачи фильтра в показательной форме:

и рассмотрим выражение |1 - К (jω)|², стоящее в правой части формулы (2.77). Очевидно, что |1 - К (jω)|²= | К (jω) |² — 2|К jω)|cos φ_к (ω) + 1.

Эта величина минимальна при φ_К(ω) = 0. Таким образом, оптимальный фильтр должен вносить нулевой фазовый сдвиг на всех частотах.

Рис. 2.11. Принцип получения сигнала ошибки

Приняв это во внимание, получим формулу,

определяющую дисперсию сигнала ошибки:

_(2.78)

Минимизация дисперсии ошибки. Выполнив простые тожде­ственные преобразования, представим формулу (2.78) так:

_(2.79)

Модуль частотного коэффициента передачи |К (jω)| вхо­дит только в одно из слагаемых подынтегрального выра­жения. Это слагаемое неотрицательно, поэтому минимум дисперсии ошибки будет обеспечен, если

.

Откуда

_{. (2.80)}

Полученная формула не только решает поставленную задачу, но и даёт возможность вычислить на основании выражения (2.79) предельно достижимую дисперсию сигнала ошибки:

или, переходя от W_u(ω), W_v(ω), к односторонним спектрам N_u(f), N_v(f),

_{. (2.82)}

Смысл полученного результата таков: модуль частотного коэффициента передачи оптимального фильтра, минимизирующего среднеквадратическую ошибку, должен быть значителен на тех частотах, где сосредоточена основная доля мощности полезного сигнала. Там, где велика спектральная плотность мощности помехи, коэффициент передачи опти­мального фильтра должен уменьшаться.