1.6 Квантование, дискретизация и кодирование сигналов

1.6.1 Дискретизация непрерывных сигналов по времени

Под дискретизацией непрерывного по временем сигнала s(t) понимают представление сигнала его мгновенными значениями (отсчётами)s(kT_д), гдеk= …, –1, 0, 1, 2, …;T_д– интервал дискретизации. Последовательность отсчётов изображают вертикальными линиями высотойs(kT_д) (рис. 1.21) и называют ее дискретным сигналомs_д(t).

В реальных устройствах отсчет сигнала s(kT_д) – это импульс с амплитудойs(kT_д) и длительностьюT_д, начинающийся в момент времениkT_д. Но, обычно,<<T_д(рис. 1.21). Устройство, которое формирует отсчеты, называется дискретизатором. В случае<<T_ддискретизатор – это ключ, замыкающий цепь от источника к нагрузке на время(рис. 1.22). Если=T_д, то используют устройство выборки-хранения, которое состоит из ключа, замыкающегося на очень короткое время, и конденсатора, запоминающего значение отсчета на время до следующего отсчета.

Аналитическое выражение дискретного сигнала s_д(t):

s_д(t) =s(t)(t) =s(t), (1.162)

где (t) – последовательность отсчетных импульсов, определяющих моменты времени, в которые берутся отсчёты сигнала,и длительность импульсов на выходе дискретизатора;

h(t) – отсчетный импульс:

h(t) =(1.163)

Спектр дискретного сигнала. Преобразование Фурье правой части выражения (1.161) определяет спектральную плотностьS_д(j2f) дискретного сигнала

S_д(j2f) =, –<f<, (1.164)

где f_д= 1/ T_д– частота дискретизации;

a_n=– (1.165)

коэффициенты разложения последовательности импульсовh(t) в ряд Фурье; поскольку << T_д, то для малых значенийnкоэффициенты практически не зависят отn, то естьa_n = /Т_д;

S(j2f) – спектральная плотность непрерывного сигналаs(t).

Из (1.164) следует, что спектр дискретного сигнала – это сумма спектров S(j2f) непрерывного сигналаs(t), смещенных один относительно другого на величинуf_ди убывающих с увеличениемnв соответствии с выражением (1.165).

Для первичных сигналов электросвязи характерно, что их спектры примыкают к нулевой частоте. На рис. 1.23, априведен амплитудный спектр произвольной формыS(f) первичного сигнала, который простирается до максимальной частотыF_max.

Далее на рис. 1.23 изображены амплитудные спектры сигналов, которые могут иметь место при дискретизации сигнала со спектром, приведенным на

рис. 1.23, а- амплитудный спектр произвольной формыS(f);

рис. 1.23, б– спектрS_(f) последовательности отсчетных импульсов(t), построенный на основе представления(t) рядом Фурье:

(t) =cos(2nf_дt);

рис.1.2 3, в– спектрS_д(f) дискретного сигнала, еслиf_д> 2F_max;

рис. 1.23, г– спектрS_д(f), еслиf_д= 2F_max;

рис. 1.23, д– спектрS_д(f), еслиf_д< 2F_max.

1.6.2 Представление сигналов с ограниченной полосой частот в виде ряда Котельникова

В теории и технике сигналов широко используется теорема Котельни­кова (теорема отсчетов): если наивысшая частота в спектре функции s (t) меньше, чем f_т, то функция s (t) полностью определяется последовательно­стью своих значений в моменты, отстоящие друг от друга не более чем на 1/2f_т секунд.

В соответствии с этой теоремой сигнал s(t),ограниченный по спектру наивысшей частотой, можно представить рядом

. (1.166)

В этом выражении 1/2f_m = Δtобозначает интервал между двумя отсчетными точками на оси времени, аs(n/2f_m) = s (nΔt)— выборки функцииs(t)в моменты времени t = nΔt.

Представление заданной функции s(t)рядом (1.166) иллюстрируется рис. 1.24.

Функция вида

(1.167)

обладает следующими свойствами:

Рис. 1.24. Представление сигнала рядом Котельникова

а) в точке t=nΔt - φ_n(nΔt) = 1,а в точкахt=kΔt,гдеk— любое целое положительное или отрицательное число, отличное отп,φ_n (kΔt)=0;

б) спектральная плотность функции φ₀(t)равномерна в полосе частот |ω|< ω_ти равна 1/2f_m— π/ω_m.

Так как функция φ_n(t)отличается отφ₀(t)только сдвигом на оси вре­мени напΔt,то спектральная плотность функцииφ_п (t)

. (1.168)

Модуль этой функции изображен на рис. 1.25, б.

То, что ряд (1.166) точно определяет заданный сигнал s(t) в точках от­счета, не требует дополнительных доказательств, поскольку коэффициен­тами ряда являются сами выборки из функции, т. е. величиныs(nΔt).Мож­но доказать, что ряд (1.166) определяет функциюs(t)в любой моментt, а не только в точках отсчетаt — nΔt.Воспользуемся для этого общими правилами разложения функции по ортогональной системе. В данном случае разложение производится по функциям вида (1.167), для которых интервал ортогональности равен бесконечности, а норма:

_.

Рис.1.25. Связь между спектром сигнала s(t) и спектром базисной функцииφ_n(t)

Не предрешая заранее значения коэффициентов ряда (1.166), применя­ем для их определения общую формулу, справедливую для обобщенного ряда Фурье

. (1.169)

При этом исходим из условия, что s(t)— квадратично-интегрируемая функ­ция (энергия сигнала конечна).

Для вычисления интеграла в выражении (1.169) воспользуемся форму­лой (1.170)

Пределы интегрирования здесь приведены в соответствии с заданной граничной частотой ω_m=2πf_mв спектре сигнала, а также в спектре функ­цииφ_n(t).

Интеграл в правой части (1.169) с коэффициентом 1/2π есть не что иное, как значение s(t)в моментt=nΔt.Таким образом,

Подставляя этот результат в (1.170), получаем окончательное выра­жжение

_,

из которого следует, что коэффициентами ряда (1.166) являются выборки функции s(t)в точкахt = nΔt.

Поскольку ограничение спектра конечной наивысшей частотой обеспе­чивает непрерывность функции s(t),ряд (1.166) сходится к функцииs(t) при любом значенииt.