3) Смещение спектра сигнала

Применим (1.48) к произведению s(t)cos(₀t+)

Первый интеграл в правой части есть не что иное, как спектральная плотность функции s(t)при частоте—₀, а второй интеграл — при ча­стоте +₀. Поэтому полученное выше соотношение можно записать в форме

, (1.58)

где S() — спектральная плотность сигнала s(t).

Из выражения (1.58) вытекает, что расщепление спектра S()на две части, смещенные соответственно на +₀и —₀, эквивалентно умножению функцииs(t)на гармоническое колебаниеcos₀t(при= 0).

4. Дифференцирование и интегрирование сигнала

Дифференцирование сигнала (t) можно трактовать как почленное диф­ференцирование всех гармонических составляющих, входящих в его спектр. Но производная функцииравна,из чего непосредственно вы­текают следующие соответствия:

, . (1.59)

К этому результату можно прийти также из общего преобразования Фурье

Первое слагаемое в правой части обращается в нуль, поскольку при (условие интегрируемости сигнала).

Аналогичным образом можно показать, что сигналу

соответствует спектральная плотность

. (2.60)

Следует, однако, подчеркнуть, что в отличие от операции iS₁() операция (1/i)S₂() законна только для сигналов, отвечающих условииS(0) = 0, т. е. для сигналов с нулевой площадью

.

4. Сложение сигналов

Так как преобразование Фурье, определяющее спектральную плотность заданной функции времени, является линейным, очевидно, что при сло­жении сигналов обладающих спектрамисуммарному сигналусоответствует .спектр

4. Произведение двух сигналов

Пусть рассматриваемый сигнал s(t) является произведением двух функ­ций времениf(t) иg(t).

Используя общую формулу (2.48), определяем спектр сигнала s (t)

.(1.61)

Каждую функцию f (t)иg(t) можно представить в виде интеграла Фурье.

Подставляя в (1.61) второй из этих интегралов, получаем

.

Заключенный в квадратные скобки интеграл по переменной tпредстав­ляет собой спектральную плотность функцииf(t) при частоте —х, т. е.F ( —x). Следовательно,

. (1.62)

Итак, спектр произведения двух функций времени f(t) и g(t)равен, (с коэффициентом 1/2π) свертке их спектровF()иG().

Из выражений (1.61) и (1.62) в частном случае ­­- 0 вытекает следую­щее равенство:

Заменяя в последнем выражении xна, получаем

(1.63)

где F* () =F(—) — спектральная функция, комплексно-сопряженная функцияF().

Аналогично можно показать, что произведению двух спектров F() х G() = S()соответствует функция времениs(t), являющаяся сверт­кой функцийf(t) и g(t):

. (1.64)

Последнее выражение особенно широко используется при анализе пе­редачи сигналов через линейные цепи. В этом случае функции времени f(t) и g(t)имеют смысл соответственно входного сигнала и импульсной ха­рактеристики цепи ,aF()и G()— спектральной плотности сигнала и передаточной функции цепи.

1.2.4 Геометрическое представление сигналов

Рассмотренные способы разложения произвольных сигналов по заданной системе ортогональных функций можно вывести из общей теории линейных пространств, составляющей один из разделов высшей алгебры.

Действительно, пусть сигнал s(t)с конечной энергиейЭпредставлен в виде обобщенного ряда Фурье (1.14):

(1.65)

Предполагается, что первые тслагаемых ряда обеспечивают требуемую точность представления сигналаs(t).

Ранее были установлены следующие соотношения между энергиейЭ, нормойфункцииs(t), обозначаемой ||s||, и спектральными коэффициентамис_п(действительного сигнала):

(1.66)

,

. (1.67)

В этих выражениях обозначает интеграл по интервалу времени T, а — норму базисной функции.

Выражение (1.67) ничем не отличается от известного из векторной ал­гебры определения нормы вектора Sвm-мерном линейном (векторном) пространстве. Это позволяет поставить в соответствие сигналуs(t)векторS, проведенный из начала координат в соответствующую точку пространст­ва. При этом слагаемое(t)должно трактоваться как проекция вектораSнаn-ю ось системы координат.

При использовании ортонормированной системы, когда . выражение (1.67) принимает вид

(1.68)

В этом случае является нормой единичного вектора (орта), опре­деляющего направлениеп-й оси системы координат, а вектор сигналаs(t) можно записать в виде вектора-строки

(1.69)

В этом смысле можно говорить о пространстве, каждый элемент кото­рого является вектором, представляющим определенный сигнал; можно так­же говорить, что каждая точка в пространстве сигналов, являющаяся кон­цом вектора, проведенного из начала координат, соответствует определен­ному сигналу.

Длина вектора (норма), как это вытекает из (1.68), равна .

Следовательно, всем сигналам с одинаковой энергией Э, независимо от их формы,соответствуют точки, расположенные на многомерной сфере радиуса.

Пространство сигналов является функциональным, поскольку каждый его элемент характеризуется не мгновенным значением s(t), а некоторым функционалом отs(t).К таким функционалам относятся, например, энер­гия сигналаtи спектральные коэффициенты

Для иллюстрации понятия «пространство сигналов» удобна базисная функция вида (ряд Котельникова), когда коэффициентами ряда (1.91) являются отсчеты самого сигналаs(t) в моменты времениt=nΔt , так что выражение (1.94) принимает вид

. (1.70)

Этот частный случай интересен тем, что координатами сигнальной точ­ки (конца вектора S) в пространстве сигналов являются отсчеты сигналаs(t)в дискретные моменты времени t=nΔt.

Множество функций s(t),для которых норма (1.67) ограничена (сигна­лы с конечной энергией), называются пространством. Если такие сиг­налы определены на интервалеТ, то используется обозначение(Т).

Для передачи сигналов по каналу с помехами, а также для разрешения сигналов основное значение имеет не положение сигнальной точки в про­странстве сигналов, а расстояние между точками, представляющими раз­личные сигналы. Для выяснения смысла термина «расстояние между сигна­лами» воспользуемся известными свойствами скалярного произведения век­торов.

Пусть имеются два вектора X, У,заданные своими координатами, со­ответственно

и;,

Скалярное произведение (X,Y) определяется выражением

(1.71)

С другой стороны, (X, Y) желательно выразить через функции времениx(t), y(t)соответствующие векторам X,Y.

Из векторной алгебры известно соотношени

. (1.72)

В справедливости этого соотношения нетрудно убедиться подстановкой в (1.72)

.

После перемножения сумм получим два вида слагаемых: с одинаковыми и с разными индексами. В силу попарной ортогональности базисных функций слагаемые второго вида после интегрирования обращаются в нуль. Интегри­рование слагаемых первого вида приводит к выражению (1.71).

Учитывая, что правая часть равенства (1.72) есть не что иное, как вза­имная корреляционная функция детерминированных сигналов х(t)иу(t) (при сдвиге) [см. (1.134)], приходим к важному результату

. (1.73)

Из этого соотношения следует, что если сигналы взаимно некоррелиро­ванны [В_ху(0) = 0], то соответствующие им векторы ортогональны [(X,Y) == 0].

В частном случае Y= X выражение (1.73) дает равенство

(1.74)

т. е. квадрат нормы вектора X совпадает с определением корреляционной фун­кции сигнала х(t)(при).

На основе приведенных выше соотношений нетрудно определить рас­стояние между двумя сигнальными точками в пространстве сигналов как норму разностного вектора X—Y:

.

Квадрат этой нормы равен скалярному произ­ведению вектора X—Yна вектор X—Y

.

Для скалярного умножения векторов верен распределительный закон, т. е.

.

Следовательно,

.

С учетом (1.73) и (1.74) получаем

(1.75)

где - «энергия взаимодействия».

Из (1.75) видно, что расстояние между сигнальными точками, соответ­ствующими сигналам х(t)иу(t), зави­сит как от энергии каждого из сигна­лов, так и от взаимной корреляционной функции.

Известно, что скалярное произве­дение можно записать в форме

где — угол между векторами X иY. Таким образом,

Используя формулы (1.73) и (1.74), записываем последнее равенство следующим образом:

Итак, расстояние между сигнальными точками и угол между соответст­вующими им векторами полностью определяются энергиями сигналов х(t),у(t)и энергией взаимодействия между ними.

Вопросы для самопроверки

1.Назовите основные свойства преобразования Фурье.

2.Что называется спектром детерминированного сигнала?

3.Какие базисные функции называются ортогональными, ортонормированными?

4.Что называется нормой базисной функции и чему она равна для тригонометрических функций?

5.Как выглядят спектры для одного и того же сигнала по системе экспоненциальных и тригонометрических функций?

6.Назовите физический смысл спектральной плотности для непериодического сигнала?