2.2 Анализ прохождения измерительных сигналов через нелинейные цепи

За­мечательной особенностью линейной цепи является справед­ливость для нее принципа суперпозиции. Из этого принципа и из условия стационарности вытекает простое и важное следствие — гармонический сигнал, проходя через ли­нейную стационарную систему, остается неизменным по форме, приобретая лишь другие амплитуду и начальную фазу.

Однако именно поэтому линейная стационарная система неспособна обогатить спектральный состав колебаний, по­данных на ее вход. Это обстоятельство в значительной степени сужает класс полезных преобразований сигналов, которое осуществляются линейными цепями с постоянными параметрами.

Гораздо большими возможностями в этом отношении обладают нелинейные системы, в которых связь между входным сигналом и выходной реакциейуста­навливается нелинейной функциональной зависимостью:

(2.8)

В настоящей главе будут рассмотрены общие законо­мерности, присущие простейшим нелинейным системам, приемы их математического исследования, а также некото­рые виды преобразований сигналов, осуществляемых с по­мощью нелинейных цепей и устройств.

2.2.1 Безынерционные нелинейные преобразования

Исследование нелинейной цепи в общем случае — задача весьма сложная в том отношении, что при математи­ческом описании функционирования такой системы мы стал­киваемся с проблемой решения нелинейных дифференциаль­ных уравнений. Известно, что здесь неприменимы боль­шинство приемов и методов, которые позволяют относи­тельно легко решать линейные дифференциальные уравне­ния с постоянными коэффициентами.

Тем не менее в ряде случаев исследование нелинейных систем удается довести до конца простыми способами. Для этого достаточно потре­бовать, чтобы нелинейная зависимость вида (2.10) не содер­жала явно времени.Физически такое требование означаетбезынерционностънелинейного элемента, т. е. мгновенное установление выходной реакции вслед за изменением внеш­него входного воздействия.

Безынерционных нелинейных элементов, строго говоря, не существует. Однако эта идеализация достаточно точна, если характерное время изменения входного сигнала зна­чительно превышает время установления процесса внутри самого нелинейного элемента.

В радиотехнике нелинейные элементы — это чаще всего полупроводниковые приборы — диоды, биполярные и полевые транзисторы. Современные полупроводниковые приборы до­статочно совершенны по своим частотным свойствам. Поэтому предположение о безынерционном характере внутренних процессов в нелинейных радиотехнических элементах часто бывает оправданным.

2.2.2 Внешние характеристики безынерционных нелинейных элементов

Функциональную зависимость вида (2.10) можно рассматривать как простейшую математическую модель не­линейного элемента. Особенность ее состоит в том, что здесь не фигурируют процессы, происходящие внутри элемента. Принято говорить, что здесь имеют дело с внешней характеристикой системы (рис.2 2).

Ниже для конкретности будут рассматриваться внешние характеристики нелинейных двухполюсников, когда входным сигналом служит напряжение и,а выходным — токiв двух­полюснике. Зависимостьi(и)обычно принято называтьволът-амперной характеристикой(ВАХ) нелинейного элемента.

Все методы и результаты можно перенести и на случай нелинейного четырехполюсника, например транзистора, рабо­тающего в нелинейном режиме при больших амплитудах входного сигнала.

Здесь выходная цепь представляется источником тока, управляемым входным напряжением; связь между мгновенными значениями напряжения и тока оказывается существенно нелинейной.

Используемые на практике нелинейные элементы имеют разнообразные внешние характеристики. Так, можно выде­лить класс элементов с однозначными вольт-амперными характеристиками (рис. 2.2, а) и класс элементов, характе­ристики которых содержат участки многозначности (рис. 2,2, б).

i, мА i, мА

Рис. 2.2. Типичные вольт-амперные характеристики нелинейных двухполюсников:

а— однозначная характеристика полупроводникового диода; б — характе­ристика туннельного диода, отличающаяся тем, что одному и тому же значению тока могут соответствовать три различных значения напряжения

Сопротивление нелинейного двухполюсника.Понятие сопро­тивления для нелинейного двухполюсника можно опреде­лить по-разному. Пустьi(u)— вольт-амперная характеристика. Приложив к двухполюснику постоянное напряжениеu=U₀, имеем в цепи токI₀=i(U₀).Отношение

(2.11)

называют сопротивлением элемента постоянному току.В от­личие от обычного сопротивления лилейного резистора значение величиныне постоянно, а зависит от прило­женного напряжения.

Часто приходится иметь дело с одновременным воз­действием на нелинейный элемент двух источников напря­жения: U₀и,причем |. Разложив вольт - амперную характеристику в ряд Тейлора в окрестности точкиU₀, находим ток.Отношение при­ращения напряжения к приращению тока в выбранной рабо­чей точке(,) называютдифференциальным сопротив­лениемнелинейного двухполюсника:

(2.12)

Иногда удобнее пользоваться дифференциальной крутизной ВАХ

, (2.13)

которая является тангенсом угла наклона касательной вольт - амперной характеристики в данной рабочей точке.

Подчеркнем, что, вводя понятие дифференциального сопро­тивления или дифференциальной крутизны, мы, по сути дела, линеаризуем реальную ВАХ, что справедливо лишь для ма­лых приращений сигнала относительно рабочей точки.

Способы описания характеристик нелинейных элементов. Как правило, вольт-амперные характеристики нелинейных элементов получают экспериментально; гораздо реже удается найти их из теоретического анализа. Для изучения процес­сов в радиотехнических цепях, содержащих такие элементы, необходимо прежде всего отобразить вольт-амперные харак­теристики в математической форме, пригодной для расчетов.

Простым и весьма точным способом может явиться представление характеристики в виде таблицы. Этот способ особенно удобен для анализа процессов в цепях с по­мощью ЭВМ; аргумент и функция образуют в запоми­нающем устройстве двумерный массив чисел.

Если исследование должно проводиться не численными, а аналитическими методами, то требуется подобрать такую аппроксимирующую функцию, которая, будучи довольно простой, отражала бы все важнейшие особенности экспе­риментально снятой характеристики с достаточной степенью точности.

В радиотехнике чаще всего используют следующие спо­собы аппроксимации вольт-амперных характеристик нелиней­ных двухполюсников.

Кусочно-линейная аппроксимация.Данный способ основан на приближенной замене реальной характеристики отрезками прямых линий с различными наклонами. В качестве при­мера на рис. 2.3 показана входная характеристика реаль­ного транзистора, аппроксимированная двумя, отрезками прямых.

Аппроксимация определяется двумя параметрами — напря­жением начала характеристики и крутизнойS,имеющей размерность проводимости. Математическая форма аппрокси­мированной ВАХ такова:

. (2.14)

Рис. 2.3. Входная характеристика транзистора КТ306 — зависимость тока базы

от напряжения промежутка база — эмиттер

Напряжение начала входных характеристик биполярных транзисторов имеет порядок 0.2-0.8 В; крутизна характе­ристики тока базы , как правило, около 10 мА/В. Если же говорить о крутизне характеристикитока коллектора в зависимости от напряжения база — эмиттер, то последняя цифра должна быть умножена на— коэффициент усиления тока базы. Поскольку=, указанная крутизна имеет порядок нескольких ампер, на вольт (сименсов).

Степенная аппроксимация.Этот способ основан на разло­жении нелинейной вольт-амперной характеристикив ряд Тейлора, сходящийся в окрестности рабочей точкиU₀:

. (2.15)

Здесь коэффициенты , , , ... — некоторые числа. Коли­чество членов разложения зависит от заданной точности расчетов.

Способ нахождения коэффициентов степенной аппрокси­мации иллюстрируется следующим простым примером.

Пример. Экспериментально снятая входная характеристикатранзистора КТ301 задана графиком (рис. 2.4). Найти коэффициенты, и , определяющие аппроксимацию видав окрестности рабочей точкиВ.

Выбираем в качестве узлов аппроксимации точки 0.5, 0.7 и 0.9 В. Как видно из построения, для нахождения неизвестных коэффициентов следует решить систему уравнений:

откуда мА,мА/В,мА/В².

Рис. 2.4. Степенная аппроксимация входной характеристики транзистора КТ301

Подчеркнем, что степенная аппроксимация есть способ преиму­щественно локального описания характеристик; пользоваться ей при значительных отклонениях мгновенных значений входного сигнала от рабочей точки нецелесообразно из-за существенного ухудшения точности.

Показательная аппроксимация.Из теории работы р-n-переходов следует, что вольт-амперная характеристика полупро­водникового диода в областии> 0 описывается выражением

. (2.16)

Здесь —обратный ток насыщения,—температурный по­тенциал, равный 25 мВ для кремниевых приборов при стандартной температуре 300 К.

Показательную зависимость вида (2.16) часто используют при изучении нелинейных явлений в радиотехнических цепях, содержащих полупроводниковые устройства. Аппроксимация вполне точна при значениях тока, не превышающих несколь­ких миллиампер. При больших токах экспоненциальная ха­рактеристика плавно переходит в прямую линию из-за влия­ния объемного сопротивления полупроводникового мате­риала.