Применение диалектического материализма к математике и истории естествознания

В эти же годы Маркс и Энгельс занимаются философскими проблема ми математики. Энгельс усматривал специфику математики как науки в том, что она отражает не какую-либо одну качественно опре­деленную форму движения материи, а «пространствен­ные формы и количественные отношения действитель­ного мира...» ( К. Маркс и Ф. Энгельс. Соч., т. 20, стр. 37).

Особо важное значение имеют труды Маркса и Эн­гельса для понимания философской сущности высшей математики. Бурное развитие естествознания, начав­шееся с конца XV в., потребовало открытия новых ме­тодов в математике. Декартом была введена в матема­тику переменная величина, а вслед за этим Ньютон и Лейбниц создали дифференциальное и интегрально исчисление, которые и поныне часто называют «высшей математикой». Вместе с переменной, функцией и анали­зом бесконечно малых в математику стихийным образом вошла диалектика.

Маркс и Энгельс вопреки утверждениям идеалистического материалистов типа Дюринга показали, что и эта область математики имеет дело не с «чистыми свобод­ными творениями человеческого духа», а отображает реальные процессы. В статье «О прообразах математического бесконечного в действительном мире» Энгельс писал, что «молекула обладает по отношению к соответствующей массе совершенно такими же свойства; какими обладает математический дифференциал по отношению к своей переменной, с той лишь разницей, что то, что в случае дифференциала, в математической абстракции, представляется нам таинственным и непонятным, здесь становится само собой разумеющимся и ,так сказать, очевидным»( Там же, стр. 583).

Маркс и Энгельс выяснили также внутреннюю диалектику математических операций дифференцирования и интегрирования. Так, Маркс в своих математических рукописях доказал, что сущность дифференцирования последующего интегрирования состоит в диалекти­ческом двойном отрицании, которое отличается от прос­того перехода от одной функции к другой (производная) обратно, поскольку дает возможность решить задачу. «Вся трудность в понимании дифференциальной опера­ции (как и всякого отрицания отрицания вообще),— отмечал Маркс,— и состоит как раз в том, чтобы уви­деть, чем она отличается от такой простой процедуры и как ведет поэтому к действительным результатам». («Под знаменем марксизма» № 1, 1933, С.15 ).

Наконец, они показали, что в истории этой науки действует весьма общая закономерность развития науч­ного знания, открытая Марксом первоначально при рас­смотрении истории политической экономии: «...историче­ское развитие всех наук приводит к их действительным исходным пунктам лишь через множество перекрещива­ющихся и окольных путей. В отличие от других архитек­торов, наука не только рисует воздушные замки, но и возводит отдельные жилые этажи здания, прежде чем заложить его фундамент» (К. Маркс и Ф. Энгельс. Соч., т. 13, стр. 43).

Действительно, у Ньютона и Лейбница здание мате­матического анализа еще было лишено теоретического фундамента. Строгости в доказательствах не было, по­скольку не было доказано, почему в одних случаях бесконечно малые величины должны приниматься в расчет, а в других случаях могут быть отброшены. Виднейшие математики XVIII и первой половины XIX в. настойчиво трудились над обоснованием дифферен­циального исчисления, но эта работа еще не была закончена ко времени Маркса, и его математические рукописи представляют в этом отношении большую ценность. Лишь успехи теории множеств в конце XIX в. подвели фундамент под многочисленные «жилые этажи» анализа бесконечно малых.

Следует добавить, что рассматриваемая закономерность развития науки справедлива и для истории геометрии. Лишь через два с лишним тысячелетия после Евклида, в трудах создателей неевклидовых геометрии Лобачевского, Гаусса и других, а затем в общей теории относительности Эйнштейна аксиомы геометрии, лежащие в основе всего ее здания, получили свое логическое физическое обоснование.