2.5 Веса измерений и их свойства. Веса функций

измеренных величин. Средняя квадратическая

погрешность единицы веса

Обработку неравноточных измерений данных нельзя производить по формулам равноточных измерений, т.к. более точные измерения, очевидно, должны оказывать и большее влияние на окончательный результат.

Различная точность измерений учитывается при совместной обработке их результатов путем введения вспомогательных величин, называемых весами. Чем надежнее результат измерения, тем меньше соответствующая ему средняя квадратическая погрешность и тем больше его вес. Вес – это величина, обратно пропорционалъная квадрату средней квадратической погрешности, характеризующей результат данного измерения:

р = (32)

где k – произвольно выбранное число.

Свойства весов:

1 Вес – понятие относительное, т.е. он не имеет размера.

2 Все веса можно увеличивать или уменьшать в одно и то же количество раз.

3 Веса можно учитывать только сравнивая их друг с другом.

Понятие веса применимо и для любой функции F измеренных величин. Вес р_F функции F при известной её средней квадратической погрешности m_F вычисляют по формуле

р_F = (33)

Средние квадратические погрешности неравноточных результатов не дают общей характеристики точности полученных результатов. В этом случае пользуются средней квадратической погрешностью единицы веса , т.е. погрешностью результата с весом, равным единице

р₀ = 1 = (34)

Установим связь между средней квадратической погрешностью единицы веса  и средней квадратической погрешностью m результата измерения с весом р = . Отношение весов , откуда

, (35)

т.е. средняя квадратическая погрешность единицы веса  равна средней квадратической погрешности результата измерения, умноженной на квадратный корень из его веса. Если имеется ряд неравноточных измерений с весами р₁, р₂, …, р_n и средними квадратическими погрешностями m₁, m₂, … , m_n, то для каждого результата погрешности единицы веса будут:

,

,

. . . . . . . . . . . . . . .

.

Среднее квадратическое значение из этого ряда будет

² = , откуда

 = (36)

Если заменить квадраты средних квадратических погрешностей m квадратами истинных  или квадратами вероятнейших ошибок V, то формула (36) примет вид

 = (37)

2.6 Математическая обработка неравноточных

измерений одной и той же величины

При неравноточных измерениях в качестве вероятнейшего значения принимают среднее весовое. Вероятнейшее значение величины, полученное из ряда неравноточных результатов, называют общей арифметической серединой.

Для определения в этом случае в качестве общего результата арифметической середины пользуются формулой

L₀ = (38)

где l₁, l₂, … , l_n - отдельные результаты измерений с весами р₁, р₂, … , р_n.

Порядок математической обработки следующий.

1. Определяют веса результатов измерений. Если уравнивают превышения, то веса определяют по формуле: р_i = , где L_i – длина ходов в км. Если же уравнивают приращения координат, то р = , где  S - длина хода в км.

2. Имея веса, находят наиболее надежное значение измеренной величины, т.е. среднее весовое из результатов измерений по формуле (38). Для упрощения вычислений используют приближенное значение l₀ (фиктивное среднее). Тогда среднее весовое находим по формуле

L_B = l₀ + (39)

где _i = l_i – l₀ – уклонение от фиктивного среднего.

3. Вычисляют поправки V:

V_i = L_B – l_i (40)

Контроль вычислений рV = 0 (41)

4. Определяют рV² и рV.

Контроль рV² = - рV (42)

5. Вычисляют среднюю квадратическую погрешность единицы веса, т.е. того результата, вес которого равен единице

(43)

6. Находят СКП общей арифметической середины (среднего весового)

М_В = (44)