9.2 Цель и содержание уравнительных вычислений в триангуляции

Конечной целью построения триангуляции является определение координат её пунктов, длин сторон и дирекционных углов. Эта задача может быть выполнена при наличии двух измеренных элементов в каждом треугольнике сети и необходимого числа исходных данных, т.е. координат хотя бы одного пункта сети и дирекционного угла и длины стороны на другой пункт или координат двух пунктов. В этом случае координаты получаются бесконтрольно. Для контроля, повышения точности определения элементов сети и оценки точности измеренных величин обычно измеряют больше элементов, чем это необходимо, т.е. производят избыточные измерения.

Каждое избыточное измерение вместе с необходимыми образует математическую зависимость – условие. Например, сумма измеренных углов в треугольнике минус 180есть невязка .

1 + 2 + 3 - 180 =  (157)

Наличие невязок вносит неопределенность в результаты вычислений искомых величин. Поэтому, прежде чем получить окончательные значения координат пунктов, необходимо устранить все возникающие в сети невязки за те или иные условия путем введения поправок V в измеренные углы, при которых соблюдалось бы равенство:

V₁ + V₂ + V₃ +  = 0 (158)

В данном уравнении три неизвестных. Чтобы однозначно его решить, необходимо ввести дополнительное условие. Таким условием является, чтобы сумма квадратов поправок была минимальной, т.е. V² = min.

Таким образом, чтобы произвести уравнивание, необходимо:

- подсчитать вид и число условий, возникающих в данной сети;

- за каждое условие вычислить невязки и допустимую их величину;

- вычислить поправки под условием V² = min;

- ввести эти поправки в измеренные углы и получить уравненные углы;

- по уравненным углам вычислить дирекционные углы, длины сторон сети и координаты всех пунктов;

- произвести оценку точности уравненных величин.

9.3 Виды условных уравнений. Условные уравнения фигур

Условия фигур выражают геометрическое требование, чтобы сумма уравненных значений плоских углов в треугольниках была равна точно 180°. Но практически имеем

1 + 2 + 3 - 180° =  (159)

Чтобы устранить невязку , необходимо в измеренные углы ввести поправки V и получить уравненные углы. Тогда

1 + V₁ + 2 + V₂ + 3 + V₃ - 180° = 0 (160)

Учитывая уравнение (159), напишем

V₁ + V₂ + V₃ +  = 0 (161)

Это и есть условное уравнение поправок фигур.

Допустимая невязка вычисляется

w_доп = 2,5 × m_b × (162)

где m_b - СКП измерения углов в данном классе сети (задается инструкцией): 3 класс - m_b =1,5² ; 4 класс - m_b =2,0² ;

1 разряд - m_b =5² ; 2 разряд - m_b =10²

Число условных уравнений фигур подсчитывается по формуле

f = N – р – q + 1 (163)

где N – число измеренных углов; р – число всех сторон в сети (исходных и определяемых); q – число условий горизонта.

q = N + t – D (164)

где t – число всех пунктов, включая и исходные;

D – число измеренных в сети направлений.

Условие горизонта

Рисунок 28 Центральная система

Данное условие возникает в тех сетях, где вокруг одного пункта измерены все углы. Оно выражает геометрическое требование, чтобы сумма уравненных углов, располо-женных вокруг одной общей вершины, была равна 360°. Сумма же измеренных углов минус 360° есть невязка. Согласно рисунку 28 имеем:

1 + 5 + 8 - 360° = _Г (165)

Условное уравнение поправок будет выглядеть так:

V₁ + V₅ + V₈ + _Г = 0 (166)

Допустимая величина невязки вычисляется по формуле:

 _{Г доп.} = 2,5×m_b× (167)

где n – число углов.

Число условий горизонта в сети вычисляется по формуле (164).

Условие дирекционных углов

Данное условие возникает в тех сетях, где исходных дирекционных угла два и более. Оно выражает геометрическое требование, чтобы значение избыточно заданного дирекционного угла, вычисленное по исходному дирекционному углу и уравненным значениям углов, точно равнялось данному значению этого дирекционного угла. Поясним это на рисунке 29.

Для вычисления невязки намечают ходовую линию (отмечена пунктиром). Тогда:

_a = a_АВ - a_ЕF – 3 + 6 – 9 + 12 (168)

Условное уравнение поправок будет:

V₆ + V₁₂ – V₃ – V₉ + _a = 0 (169)

Рисунок 29 Цепочка треугольников между двумя сторонами

с исходными дирекционными углами

Допустимая величина невязки вычисляется по формуле:

 _{a доп.} = 2,5 (170)

где m_{a исх.}– средняя квадратическая погрешность исходных дирекционных углов.

Число условий дирекционных углов подсчитывается по формуле:

r_ = K_ - 1 (171)

где K_ - число исходных дирекционных углов.

Условие полюса

Условие полюса возникает в сетях, имеющих замкнутую цепь треугольников, т.е. где имеется ряд смежных треугольников с общей вершиной, основания которых образуют замкнутую фигуру. Общая вершина называется полюсом.

Геометрическое условие полюса выражает требование, чтобы в замкнутой сети треугольников длина любой стороны, вычисленная от произвольно выбранной, но одной и той же стороны по уравненным углам различными путями имела одинаковое численное значение.

Например, (рисунок 28), решая треугольники по теореме синусов, получим:

S₃ = S_АВ × через треугольники АОВ и АОС (172)

S₃ =S_АВ × через треугольники АОВ и ОВС (173)

Тогда S_АВ  =S_АВ × (174)

Решая пропорцию, получим:

= 1 (175)

Это же условие можно записать в логарифмическом виде

(lg sin 2 + lg sin 4 + lg sin 7) – (lg sin 3 + lg sin 6 + lg sin 9) = 0 (176)

Данное условие должно соблюдаться по уравненным значениям углов. По измеренным углам данное выражение примет вид:

[(lg sin 2 + lg sin 4 + lg sin 7) – (lg sin 3 + lg sin 6 + lg sin 9)] 10⁶ = _П (177)

Условное уравнение поправок за условные полюса примет вид:

b₂ V₂ + b₄ V₄ + b₇ V₇ - b₃ V₃ - b₆ V₆ - b₉ V₉ + _П = 0 (178)

где b₂ , b₄ - это изменения логарифмов синусов углов, соответствующие изменениям самих значений углов на одну секунду в шестом знаке логарифма.

Знаки коэффициентов b берутся положительными, если угол меньше 90° и отрицательными при углах более 90°.

_{П доп.} = 2,5 m_b (179)

Число условий полюса вычисляем по формуле:

с = р – 2n + 3 (180)

где р – число всех сторон в сети (исходных и определяемых);

n – число всех пунктов в сети ( исходных и определяемых).

Условие базисов

Рисунок 30 Вставка пункта D

в жесткий угол

Условие базисов возникает в сетях, где имеется исходных сторон (базисов) более одного. Геометрическое условие базисов выражает требование, чтобы значение избыточно заданной стороны, вычисленное по исходной стороне и уравненным значениям углов, точно равнялось заданному значению этой стороны (рисунок 30). При вычислении по измеренным углам получится

невязка.

По теореме синусов получим:

S_ВС = S_ВD ×,S_ВD = S_АВ × (181)

Тогда

S_ВС = S_АВ ;

или = 1 (по уравненным углам) (182)

или (lg S_АВ + lg sin 3 + lg sin 6) – (lg S_ВС + lg sin 1 + lg sin 4) = 0 (183)

По измеренным же углам данное выражение примет вид:

[ (lg S_АВ + lg sin 3 + lg sin 6) – (lg S_ВС + lg sin1 + lg sin 4) ] 10⁶ = _S (184) Условное уравнение поправок за условие базисов примет вид:

b₃ V₃ + b₆ V₆ - b₁ V₁ - b₄ V₄ + _S = 0 (185)

 _{S доп.} = 2,5 (186)

где ;- относительная погрешность исходных сторон (задается «Инструкцией…..»).

Число условий базисов подсчитывается по формуле

r_S = К_S –1 (187)

где К_S – число исходных сторон (базисов).

Условие координат возникает в геодезических сетях при наличии в них избыточных исходных пунктов, не связанных между собой непосредственно сторонами сети. Каждый такой избыточный пункт (сверх одного необходимого) доставляет два условных уравнения координат: абсцисс и ординат.

Условие координат выражает требование равенства координат исходных пунктов, вычисленных через уравненные углы по цепочкам треугольников, их заданным значениям. Данное условие учитывают только при уравнивании триангуляции 1 и 2 классов.

Контрольные вопросы

1. Цель и содержание предварительных вычислений в триангуляции.

2. Цель и содержание уравнительных вычислений в триангуляции.

3. Какое геометрическое требование выражает условие фигур?

4. Напишите условное уравнение поправок за условие горизонта.

5. В каких сетях возникает условие дирекционных углов?

6. Объясните геометрический смысл условия полюса.

7. В каких сетях возникает условие базисов и какое геометрическое требование оно выражает?

8. Какое геометрическое требование выражает условие координат?