1 Умножение на постоянный множитель

Пусть зависимость между истинными значениями аргумента Х и функции U имеет вид

U = k X (6)

где k – постоянное (безошибочное) число; Х – измеряемая величина.

Тогда, применяя общее правило, получим

U = k  X, (7)

По определению (2), квадрат средней квадратической погрешности есть среднее арифметическое из квадратов истинных погрешностей. Поэтому

m_U² = k²  m_x² (8)

или m_U = k  m_x. (9)

2 Алгебраическая сумма нескольких измеренных величин

Рассмотрим алгебраическую сумму трех измеренных величин

U =  x  y z (10)

U =  x  y z (11)

m_U =  m_x  m_y  m_z (12)

m_U² =  m_x² m_y²  m_z² (13)

m_U =  m_x² m_y²  m_z² (14)

3 Линейная функция

Пусть зависимость между истинными значениями аргументов Х₁, Х₂, …, Х_n выражается линейной функцией вида

U = k₀ + k₁ x₁ + k₂ x₂ + … + k_n x_n (15)

где k₀, k₁, k₂, … k_n – постоянные безошибочные числа, которые могут быть и отрицательными;

, x₂, … x_n – измеренные величины со СКП соответственно m_x1, m_x2, … m_xn.

Используя общее правило, напишем

U = ( k₀ ) + ( k₁ x₁ ) + ( k₂ x₂ ) + … +( k_n x_n ) (16)

m_U = k₁ m_x1 + k₂  m_x2 + … + k_n  m_xn (17)

m_U² = k₁² m_x1² + k₂²  m_x2² + … + k_n²  m_xn² (18)

m_U = k₁² m_x1² + k₂²  m_x2² + … + k_n²  m_xn² (19)

3. Математическая обработка результатов

равноточных измерений одной и той же величины

Если получен ряд результатов равноточных измерений одной и той же величины, то производят их математическую обработку, при которой вычисляют:

1. Среднее арифметическое значение измеренной величины (как наиболее вероятнейшее).

2. Поправки (разность между средним арифметическим и результатом измерения).

3. Среднюю квадратическую погрешность одного измерения.

4. Среднюю квадратическую погрешность среднего арифметического.

Среднее арифметическое значение из результатов равноточных измерений l₁; l₂; l₃ …, l_n определяется по формуле

(20)

Для упрощения вычисления среднего арифметического вводят её приближенное значение l₀. В качестве l₀ удобно взять наименьший из результатов l₁; l₂; l₃ …, l_n.

Вычисляют остатки _i = l_i – l₀ ( i = 1, 2, 3, … n), тогда

(21)

При большом числе измерений среднее арифметическое приближается по вероятности к точному значению измеренной величины.

Поправки вычисляют по формуле V_i = L – l_i. Это есть разность между средним арифметическим и результатом измерения.

Отметим два свойства поправок равноточных измерений одной и той же величины: 1)  V  = 0 и 2)  V²  = min.

Вычисляем среднюю квадратическую погрешность отдельного измерения и среднего арифметического по поправкам к результатам измерений. Пусть произведено n равноточных измерений одной и той же величины, точное значение которой a неизвестно. В этом случае оценку точности результатов измерений l₁; l₂; l₃ …, l_n производят по поправкам к ним по формуле Бесселя

(22)

где m – СКП отдельного измерения.

СКП среднего арифметического находят по формуле:

(23)

3. Оценка точности по разностям двойных

равноточных измерений

Вгеодезической практике каждую величину измеряют независимо не менее двух раз, так как одно измерение бесконтрольно. Такие измерения называютдвойными. К ним относятся, например: определение превышений геометрического нивелирования при двух горизонтах инструмента или по двум сторонам реек; измерение углов двумя полуприёмами и т.д. Из каждой пары полученных результатов берется среднее, а оценка точности производится по совокупности всех разностей двойных измерений. В этом случае, вычислив разности по каждой паре измерений, находим

d₁ = x₁ - x₁

d₂ = x₂ - x₂ (24)

. . . . . . . . .

d_n = x_n - x_n

Значения d_i являются истинными погрешностями разностей двойных измерений, поэтому, используя формулу Гаусса (2), получим

m_d = (25)

где n – число всех разностей.

Средняя квадратическая погрешность одного измерения

m_xi = (26)

За окончательное, более надежное значение принимают

(27)

При m_xi = m_xi имеем

(28)

Формулы (26) – (28) применяют, когда ряд двойных измерений не имеет систематических ошибок. Если результаты измерений содержат систематические ошибки, то в значениях разностей d_i они значительно ослабляются и в d_i войдут остаточные систематические ошибки. Учитывая свойство компенсации случайных ошибок, величину остаточной систематической ошибки определяют как среднее арифметическое по формуле

(29)

Критерием допустимости  является неравенство d 0,25 d.

Рассматривая разности d_i = d_i -  как уклонения от арифметической середины, по формуле Бесселя (22) находим

(30)

Средние арифметические погрешности: m_xi – одного измерения и m_xi – арифметической середины вычисляют по формулам

m_xi = m_xi = (31)

Следует заметить, что средние квадратические погрешности, полученные по разностям двойных измерений, обычно дают преуменьшенные результаты.