10 Уравнивание центральной системы

10.1 Уравнивание центральной системы

10.2 Уравнивание геодезического четырехугольника

10.1 Уравнивание центральной системы

Исходные данные:Х_А и Y_А; Х_В и Y_В.

Измерены все углы в треугольниках.

Необходимо определить координаты пунктов С, D и Е, а также дирекционные углы и длины сторон сети (рисунок 31).

Порядок уравнивания:

1. Подсчитать вид и число условий, возникающих в данной сети:

условий фигур – 4;

у

Рисунок 31 Центральная система

словие горизонта – 1;

условие полюса – 1.

Всего: 6; r = 6.

2. В каждом треугольнике подсчитывают невязки по формулам:

₁ = 1 + 2 + ₁ - 180;

₂ = 3 + 4 + ₂ - 180; (188)

₃ = 5 + 6 + ₃ - 180;

₄ = 7 + 8 + ₄ - 180;

Допустимая невязка определяется по формуле

_доп = 2,5  m_  3; (189)

Невязку в каждом треугольнике распределяют с обратным знаком поровну во все углы, получая первичные поправки V:

V₁ = V₂ = V_1 = - ;V₃ = V₄ = V_2 = - ;

V₅ = V₆ = V_3 = - ;V₇ = V₈ = V_4 = - ; (190)

Введя первичные поправки в измеренные углы, получим первично исправленные углы за условие фигур. Сумма первично исправленных углов в каждом треугольнике должна равняться ровно 180.

3. Невязку за условие горизонта вычисляют по первично исправленным углам по формуле:

_Г = ₁ + ₂ + ₃ + ₄ (191)

_{Г доп} = 2,2 m_ n, (192)

где n – число углов.

Вторичные поправки за условие горизонта вычисляют:

V_1 = V_2 = V_3 = V_4 = - ; (193)

Чтобы не нарушать условия фигур, выполненные введением первичных поправок, надо и в другие два угла каждого треугольника ввести вторичные поправки, которые равны половине вторичной поправки к углам  с обратным знаком с таким расчетом, чтобы сумма вторичных поправок во все три угла в каждом треугольнике равнялась нулю:

V₁ = V₂ = - ;V₃ = V₄ = - ;

V₅ = V₆ = - ;V₇ = V₈ = - ; (194)

Введя вторичные поправки в первично исправленные углы, получают вторично исправленные углы за условие горизонта. Сумма вторично исправленных углов в каждом треугольнике должна равняться ровно 180.

4. Невязка за условие полюса вычисляется по вторично исправленным углам по формуле:

_П = [ ( lg sin1 + lg sin3+ lg sin5 + lg sin7) –

– ( lg sin2 + lg sin 4+ lg sin6 + lg sin 8) ] ×10⁶ (195)

или _П = (_нечетн - _четн)  10⁶ (196)

 _{П доп} = 2,5 m_ (197)

Затем вычисляют коэффициенты . Это изменение логарифма синуса угла при изменении самого угла на одну секунду в шестом знаке логарифма. Коэффициент  положителен, если угол менее 90 и отрицателен, если угол более 90.

Для того, чтобы вычислить третьи и окончательные поправки V за условие полюса, сначала надо вычислить коррелату К

К = - (198)

Тогда третьи поправки V будут вычислены по формулам:

V₁ = - V₂ = К (₁ +₂); V₅ = - V₆ = К (₅ +₆);

V₃ = - V₄ = К (₃ +₄); V₇ = - V₈ = К (₇ +₈); (199)

Введя третьи поправки во вторично исправленные углы, получим окончательно уравненные углы, сумма которых в каждом треугольнике должна равняться 180.

5. По окончательно уравненным углам вычисляют длины сторон сети по теореме синусов. Так, в первом треугольнике вычисляют S_АВ и S_ВС .

Длину исходной стороны S_АВ вычисляют из решения обратной геодезической задачи по формуле:

S_АВ =  (Х_В – Х_А)² + (Y_В – Y_А)² (200)

; тогда S_ВС = q sin₁; а S_АС = q sin1. (201)

Во втором треугольнике за исходную сторону принимают вычисленную длину стороны S_АС из первого треугольника

; тогда S_DС = q sin₂; а S_АD = q sin3 и так далее. (202)

Контролем правильности вычисления длин сторон будет служить равенство вычисленной стороны S_АВ в четвертом треугольнике и значения этой стороны, вычисленной из решения обратной геодезической задачи.

6. Вычисление координат пунктов сети выполняют решением прямых геодезических задач. Например:

Х_С = Х_А + S_АС соs_АС ; Y_С = Y_А + S_АС sin_АС ; (203)

Для этого из решения обратной геодезической задачи вычисляют исходный угол исходной стороны _АВ

tg _АВ = (204)

Тогда _АС = _АВ +  ₁ (уравненный угол)

Вычислив координаты пункта С, вычисляют координаты пункта D.

Х_D = Х_C + S_{С D} соs_СD ; Y_D = Y_C + S_СD sin_СD ; (205)

_СD = _АC  180 - 3. (206)

Контролем правильности вычисления координаты будет служить равенство вычисленных координат пунктов А и В и их исходных данных.

7. Производится оценка точности по уравненным углам

m_ = ; (207)

где V – суммарная поправка в угол

V_i = V_i + V_i+ V_i (208)

r – число всех условий, возникающих в данной сети.