Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Щиренко собранная.doc
Скачиваний:
302
Добавлен:
13.03.2016
Размер:
7.46 Mб
Скачать

6.2 Прямая засечка (формулы Гаусса)

Если при решении задачи окажется, что видимости между исходными пунктами нет, то применяют формулы Гаусса. Для этого на пунктах А и В измеряют соответственно углы 1 и 2, а для контроля правильности определения координат пункта Р измеряют угол 3 на пункте С (рисунок 17).

Исходные данные: ХА, YA; XB, YB; XC, YC.

Измеренные углы: 1; 2; 3.

Определить: XP и YP.

Порядок решения задачи:

1

Рисунок 17 Прямая засечка (формулы Гаусса)

. Вычисляют дирекционные углы1, 2, и 3

1 = АР = АК + 1;

2 = ВР = BL - 2;

3 =  = CN - 3

Два дирекционных угла необходимы для решения задачи, третий – для контроля и повышения точности.

2. Формулы Гаусса выводятся из известного соотношения

tg 1 = (87)

откуда:

YP – YA = (XP – XA) tg 1 (88)

Аналогично получим: YP – YВ = (XP – XВ) tg 2 (89)

Эти два равенства представляют систему двух уравнений с двумя неизвестными ХР и YP. Вычтем из уравнения (88) уравнение (89), получим

YВ – YA = XP (tg 1 - tg 2) - XA tg 1 + XВ tg 2, откуда

XP = (90)

Значение ординаты вычисляют в этом случае по формулам:

YP = YA + (XP – XA) tg 1 или (91)

YP = YВ + (XP – XВ) tg 2

Формулы Гаусса (90) и (91) служат для непосредственного вычисления значений координат пункта Р.

3. Вычтем из обеих частей равенства (90) XA и приведя правую часть к общему знаменателю, будем иметь

XP – ХА = (92)

Подобно этому найдем

XP – ХВ = (93)

Полученные два равенства вместе с равенствами (88) и (89) представляют собой формулы Гаусса для приращения координат. Вычислив их, координаты пункта Р определяют дважды:

XP = ХА + (ХР – ХА) = ХВ + (ХР – ХВ)

YP = YА + (YР – YА) = YВ + (YР – YВ) (94)

4. Используя координаты другой пары данных пунктов В и С и соответствующие им дирекционные углы 2 и 3, второй раз вычисляют координаты пункта Р.

Например, формулы Гаусса для непосредственных вычислений значений координат пункта Р по второй паре

XP = (95)

Значение ординаты вычисляют в этом случае по формулам:

YP = YВ + (XP – XВ) tg 2 или (96)

YP = YС + (XP – XС) tg 2

5. Оценка точности. Допустимость расхождения между значениями координат, полученными при двух решениях задачи, может быть определена по тем же формулам, что и при решении задачи по формулам Юнга.

6.3 Обратная засечка (формулы Кнейссля)

Привязку ходов можно осуществить, решив задачу по нахождению координат пункта Р по трем исходным А, В, С (рисунок 18), расположенным на значительном расстоянии от определяемого.

Д

Рисунок 18 Обратная засечка

ля контроля измерений производят наблюдения на пунктD. Таким образом, для решения задачи с контролем необходимо с определяемого пункта Р видеть четыре исходных пункта и измерить при определяемой точке три угла. Наиболее просто эта задача решается с использованием формул Кнейссля.

Исходные данные: ХА, YA; XB, YB; XC, YC, XD, YD.

Измеренные углы: 1; 2; 3.

Необходимо определить:

XP и YP.

Порядок решения задачи:

Введем обозначения:

АР = 1 ;

ВР = 2 ;

CР = 3 ;

ctg 1 = a; ctg 2 = b.

Из рисунка 18 видно, что 2 = 1 + 1

Поэтому можно написать:

tg 2 = tg (1 + 1) = (97)

2. Для сокращения записей при дальнейшем выводе перенесем начало координат в точку А. Тогда в новой системе координат будет:

ХА = 0; YA = 0;

XB = ХВ - ХА; YB = YB – YA ;

XC = XC - XA; YC = YC – YA.

3. Известно, что tg ВР = (98)

а tg 1 = . Тогда имеем

= (99)

Так как ХА = 0 и YA = 0, то получим

= ,

или (YB - YP)(aXP + YP) = (XB - XP)(aYP + XP)

Раскрыв скобки и заново сгруппировав члены, будем иметь

(aYВ - XВ) XP - (aXВ + YВ) YP = -( Х) 2 –( Y) 2

(bYC - XC) XP - (bXC + YC) YP = -( Х) 2 –( Y) 2 (100)

Обозначив коэффициенты при Х и Y в первом из двух равенств через К1 и К2, а во втором – через К3 и К4, будем иметь систему двух уравнений с двумя неизвестными.

I К1  XP - К2  YP = - Х 2 - Y 2

II К3  XP К4  YP = - Х 2 - Y 2 (101)

Вычтем из первого уравнения второе, получим

1 – К3)  XP -(К2 – К4)  YP = 0, откуда следует, что

4. Обозначим (102)

тогда илиXP = С  YP (103)

Подставив это выражение в уравнения I и II, получим

YP = (104)

5. Определив YP, находят XP, подставив это значение в уравнение

XP = С  YP

6. ХР = XP + ХА; YP = YP + YA. (105)

7. сtg РД = ; контрольРД - РА = 3 выч (106)

 3 выч - 3 изм  3 m , где m - СКП измерения углов 1; 2; 3.

Графическая оценка точности по формулам Г.Е. Сомова определения положения пункта Р, полученного из решения обратной засечки, производится в следующей последовательности.

По известным и полученным координатам наносят пункты А, В, С, D и Р в таком масштабе, чтобы не было направлений меньше 5 - 6 см. Измеряют расстояния от пункта Р до исходных пунктов S1, S2, S3 и S4. Вычисляют градиенты направлений по формуле qi = ;  = 206265. В принятом масштабе градиенты откладывают от пункта Р по соответствующим направлениям, соединяют концы градиентов и получают два инверсионных треугольника А1В1С1 и В1С1Д1 (рисунок 21). Из вершин А1 и С1 первого инверсионного треугольника проводят высоты h1 и h3 на противоположные стороны и измеряют их. Из вершин В1 и Д1 второго инверсионного треугольника аналогично находят h2 и h4.

Для графической оценки точности по формулам Г. Е. Сомова определяют средние квадратические погрешности положения пункта Р, полученного соответственно при первом и втором решениях:

M1 = ; (107)

M2 = ; (108)

M = ; (109)

где m - средняя квадратическая погрешность измерения углов.

Рисунок 19 Графическая оценка точности по Г.Е. Сомову

Контрольные вопросы

1. Необходимые исходные данные для определения координат дополнительного пункта прямой засечкой по формулам Юнга.

2. В какой последовательности решается прямая засечка по формулам Гаусса?

3. Последовательность решения обратной засечки по формулам Кнейссля.

4. Каким образом производят определение графической оценки точности по формулам Г.Е. Сомова?

5. Напишите формулу для определения градиентов направлений.