- •Геодезия
- •1 Теория погрешности измерений
- •1.2 Погрешности измерений, их классификация
- •1.3 Основные задачи теории погрешностей и статистические свойства случайных погрешностей результатов измерений
- •2 Оценка точности результатов измерений и их функции.
- •2.1 Числовые характеристики точности измерений
- •2.2 Оценка точности функций измеренных величин
- •1 Умножение на постоянный множитель
- •2 Алгебраическая сумма нескольких измеренных величин
- •3 Линейная функция
- •2.5 Веса измерений и их свойства. Веса функций
- •2.6 Математическая обработка неравноточных
- •2.7 Оценка точности по разностям двойных
- •3 Государственная плановая геодезическая сеть
- •3.1 Виды геодезических сетей
- •3.2 Государственная геодезическая сеть
- •Триангуляция 1класса
- •Триангуляция 2 класса
- •Триангуляция 3 класса
- •Астрономический пункт
- •3.3 Геодезические сети сгущения
- •3.4 Съёмочная геодезическая сеть (съёмочное обоснование)
- •4 Высотные геодезические сети
- •4.1 Государственная нивелирная сеть (гнс)
- •4.2 Высокоточное нивелирование
- •4.3 Нивелирование IV класса
- •4.4 Закрепление нивелирных линий на местности
- •5 Определение дополнительных геодезических пунктов
- •5.1 Цель и методы определения дополнительных пунктов
- •5.2 Передача координат с вершины знака на землю
- •5.3 Определение координат точки для привязки хода к геодезическим сетям высшего класса
- •6 Прямая и обратная засечки
- •6.1 Прямая засечка (формулы Юнга)
- •6.2 Прямая засечка (формулы Гаусса)
- •6.3 Обратная засечка (формулы Кнейссля)
- •7 Уравнивание съёмочных геодезических сетей
- •7.1 Построение съёмочных ходов
- •7.2 Уравнивание системы нивелирных ходов с одной
- •7.3 Уравнивание системы теодолитных ходов с одной узловой точкой
- •8 Проекция и плоские прямоугольные
- •8.1 Общие сведения о картографических проекциях
- •8.2 Сущность проекции Гаусса – Крюгера
- •8.3 Плоские прямоугольные координаты Гаусса-Крюгера
- •8.5 Искажение площадей в проекции Гаусса
- •9 Уравнивание геодезических сетей сгущения, построенных методом триангуляции
- •9.1. Цель и содержание предварительных вычислений в триангуляции
- •9.2 Цель и содержание уравнительных вычислений в триангуляции
- •9.3 Виды условных уравнений. Условные уравнения фигур
- •10 Уравнивание центральной системы
- •10.1 Уравнивание центральной системы
- •10.2 Уравнивание геодезического четырехугольника
- •11.1 Уравнивание цепочки треугольников между двумя
- •12 Оптический теодолит 3т2кп. Угловые измерения в геодезических сетях сгущения
- •12.1 Оптические теодолиты, применяемые при построении геодезических сетей сгущения
- •12.2 Устройство теодолита 3т2кп
- •12.3 Приведение теодолита 3т2кп в рабочее положение
- •12.4 Общие правила наблюдений
- •12.5. Измерение горизонтальных углов и направлений
- •12.6 Определение элементов приведения графическим способом
- •13. Уравнивание съёмочных полигонов
- •13.1 Уравнивание нивелирных полигонов
- •13.2 Уравнивание сети теодолитных полигонов
- •14 Перенесение проекта в натуру
- •14.1 Сущность и методы перенесения проектов в натуру
- •14.2 Подготовительные работы при перенесении проекта в натуру
- •14.3 Составление разбивочного чертежа
- •14.4 Элементы разбивочных работ
- •Горизонтального угла
- •Проектной длины линии
- •14.5 Способы перенесения проектов в натуру
- •Полярных координат
- •Прямоугольных координат
- •14.6 Способы построения геодезических сетей
- •15 Спутниковые методы в геодезии
- •15.1 Глобальные спутниковые системы
- •15.2 Принципы определения местоположения пунктов
- •15.3 Порядок выполнения геодезической съемки gps
- •15.4 Современные геодезические приборы
- •Геодезия
6.2 Прямая засечка (формулы Гаусса)
Если при решении задачи окажется, что видимости между исходными пунктами нет, то применяют формулы Гаусса. Для этого на пунктах А и В измеряют соответственно углы 1 и 2, а для контроля правильности определения координат пункта Р измеряют угол 3 на пункте С (рисунок 17).
Исходные данные: ХА, YA; XB, YB; XC, YC.
Измеренные углы: 1; 2; 3.
Определить: XP и YP.
Порядок решения задачи:
1
Рисунок
17 Прямая засечка (формулы Гаусса)
1 = АР = АК + 1;
2 = ВР = BL - 2;
3 = CР = CN - 3
Два дирекционных угла необходимы для решения задачи, третий – для контроля и повышения точности.
2. Формулы Гаусса выводятся из известного соотношения
tg 1 = (87)
откуда:
YP – YA = (XP – XA) tg 1 (88)
Аналогично получим: YP – YВ = (XP – XВ) tg 2 (89)
Эти два равенства представляют систему двух уравнений с двумя неизвестными ХР и YP. Вычтем из уравнения (88) уравнение (89), получим
YВ – YA = XP (tg 1 - tg 2) - XA tg 1 + XВ tg 2, откуда
XP = (90)
Значение ординаты вычисляют в этом случае по формулам:
YP = YA + (XP – XA) tg 1 или (91)
YP = YВ + (XP – XВ) tg 2
Формулы Гаусса (90) и (91) служат для непосредственного вычисления значений координат пункта Р.
3. Вычтем из обеих частей равенства (90) XA и приведя правую часть к общему знаменателю, будем иметь
XP – ХА = (92)
Подобно этому найдем
XP – ХВ = (93)
Полученные два равенства вместе с равенствами (88) и (89) представляют собой формулы Гаусса для приращения координат. Вычислив их, координаты пункта Р определяют дважды:
XP = ХА + (ХР – ХА) = ХВ + (ХР – ХВ)
YP = YА + (YР – YА) = YВ + (YР – YВ) (94)
4. Используя координаты другой пары данных пунктов В и С и соответствующие им дирекционные углы 2 и 3, второй раз вычисляют координаты пункта Р.
Например, формулы Гаусса для непосредственных вычислений значений координат пункта Р по второй паре
XP = (95)
Значение ординаты вычисляют в этом случае по формулам:
YP = YВ + (XP – XВ) tg 2 или (96)
YP = YС + (XP – XС) tg 2
5. Оценка точности. Допустимость расхождения между значениями координат, полученными при двух решениях задачи, может быть определена по тем же формулам, что и при решении задачи по формулам Юнга.
6.3 Обратная засечка (формулы Кнейссля)
Привязку ходов можно осуществить, решив задачу по нахождению координат пункта Р по трем исходным А, В, С (рисунок 18), расположенным на значительном расстоянии от определяемого.
Д
Рисунок
18 Обратная засечка
Исходные данные: ХА, YA; XB, YB; XC, YC, XD, YD.
Измеренные углы: 1; 2; 3.
Необходимо определить:
XP и YP.
Порядок решения задачи:
Введем обозначения:
АР = 1 ;
ВР = 2 ;
CР = 3 ;
ctg 1 = a; ctg 2 = b.
Из рисунка 18 видно, что 2 = 1 + 1
Поэтому можно написать:
tg 2 = tg (1 + 1) = (97)
2. Для сокращения записей при дальнейшем выводе перенесем начало координат в точку А. Тогда в новой системе координат будет:
ХА = 0; YA = 0;
XB = ХВ - ХА; YB = YB – YA ;
XC = XC - XA; YC = YC – YA.
3. Известно, что tg ВР = (98)
а tg 1 = . Тогда имеем
= (99)
Так как ХА = 0 и YA = 0, то получим
= ,
или (YB - YP)(aXP + YP) = (XB - XP)(aYP + XP)
Раскрыв скобки и заново сгруппировав члены, будем иметь
(aYВ - XВ) XP - (aXВ + YВ) YP = -( Х) 2 –( Y) 2
(bYC - XC) XP - (bXC + YC) YP = -( Х) 2 –( Y) 2 (100)
Обозначив коэффициенты при Х и Y в первом из двух равенств через К1 и К2, а во втором – через К3 и К4, будем иметь систему двух уравнений с двумя неизвестными.
I К1 XP - К2 YP = - Х 2 - Y 2
II К3 XP – К4 YP = - Х 2 - Y 2 (101)
Вычтем из первого уравнения второе, получим
(К1 – К3) XP -(К2 – К4) YP = 0, откуда следует, что
4. Обозначим (102)
тогда илиXP = С YP (103)
Подставив это выражение в уравнения I и II, получим
YP = (104)
5. Определив YP, находят XP, подставив это значение в уравнение
XP = С YP
6. ХР = XP + ХА; YP = YP + YA. (105)
7. сtg РД = ; контрольРД - РА = 3 выч (106)
3 выч - 3 изм 3 m , где m - СКП измерения углов 1; 2; 3.
Графическая оценка точности по формулам Г.Е. Сомова определения положения пункта Р, полученного из решения обратной засечки, производится в следующей последовательности.
По известным и полученным координатам наносят пункты А, В, С, D и Р в таком масштабе, чтобы не было направлений меньше 5 - 6 см. Измеряют расстояния от пункта Р до исходных пунктов S1, S2, S3 и S4. Вычисляют градиенты направлений по формуле qi = ; = 206265. В принятом масштабе градиенты откладывают от пункта Р по соответствующим направлениям, соединяют концы градиентов и получают два инверсионных треугольника А1В1С1 и В1С1Д1 (рисунок 21). Из вершин А1 и С1 первого инверсионного треугольника проводят высоты h1 и h3 на противоположные стороны и измеряют их. Из вершин В1 и Д1 второго инверсионного треугольника аналогично находят h2 и h4.
Для графической оценки точности по формулам Г. Е. Сомова определяют средние квадратические погрешности положения пункта Р, полученного соответственно при первом и втором решениях:
M1 = ; (107)
M2 = ; (108)
M = ; (109)
где m - средняя квадратическая погрешность измерения углов.
Рисунок 19 Графическая оценка точности по Г.Е. Сомову
Контрольные вопросы
1. Необходимые исходные данные для определения координат дополнительного пункта прямой засечкой по формулам Юнга.
2. В какой последовательности решается прямая засечка по формулам Гаусса?
3. Последовательность решения обратной засечки по формулам Кнейссля.
4. Каким образом производят определение графической оценки точности по формулам Г.Е. Сомова?
5. Напишите формулу для определения градиентов направлений.