Кобрунов А_Мат методы модел в прикл геоф 2

поля. При этом, в соответствии с теоремой Гаусса-Остроградского div E v 4 q v , где q v –

плотность всех Кулоновых источников (зарядов) потенциального поля (объемных, поверхностных,

линейных). Таким образом, физический смысл дивергенции векторного поля состоит, в частности в том, что эта величина пропорциональна (равна с точностью до множителя 4 ) плотности кулоновых источников поля. Таким образом, если имеются источники поля с плотностью q v , то им обязательно соответствует некоторое потенциальное поле, напряженность которого есть

div grad U v 4 q v ,

которое называется уравнением Пуассона, переходящее в области вне ненулевых источников (вне

V) в уравнение Лапласа div grad U v 0 . Комбинация производных, символьно записываемая

ввиде div grad одна из самых распространенных в математическом моделировании физических

процессов и явлений. Для нее введено специальное обозначение div grad и название –

оператор Лапласа или Лапласиан. В декартовой системе координат он имеет вид:

В других – криволинейных системах координат, как оператор Лапласа, так и введенные операторы дивергенции, градиента и ротора легко находятся с помощью соответствующих координатных преобразований.

1.4.2 Криволинейные координаты

Прямоугольная декартова система координат является выделенной лишь в том отношении, что большая часть конкретных формул и соотношений теории поля выписываются в явном координатном представлении для этого частного случая. При работе с такими объектами,

как вектор, тензор эта система координат более наглядна. Однако во всем остальном все системы координат равноправны. Как правило, выбор системы координат при решении практических задач определен спецификой самой задачи. От уравнений и утверждений, записанных в одной системе, легко можно перейти к аналогичным утверждениям и уравнениям в другой путем обычных координатных преобразований. Законы теории поля зависят от структуры самого поля, а

не от того, в какой системе координат они записаны.

161

Произвольные криволинейные координаты в трехмерном пространстве задаются своими координатными поверхностями, пересечение которых образует координатные линии.

Наибольший интерес представляют ортогональные координаты, у которых эти поверхности и линии пересекаются под прямыми углами.

Наряду с прямоугольными декартовыми, распространенными являются сферические и цилиндрические системы координат.

Цилиндрическая система координат задается тремя своими координатными элементами

r, , z , которые связаны с традиционными прямоугольными координатами {x, y, z}

соотношениями: x r cos( ); y r sin( ); z z .

z

(r; ; z)

O y

r

x

Рисунок 1.17 – Цилиндрическая система координат

Цилиндрическая система координат часто используется при расчете полей в скважинах,

трубах или других телах с характерной цилиндрической формой. Для скважины, например, ось OZ

совпадает с осью скважины. Радиус r и угол определяют положение точки в плоскости,

ортогональной оси OZ.

Сферическая система координат является естественной системой, связанной с Землей как планетой. Ее координатными элементами являются два угла и радиус R. С координатными элементами прямоугольной системы они связаны соотношениями:

162

z

(R; ; )

R

O

y

x

Рисунок 1.18 – Сферическая система координат

x R sin cos ; y Rsin sin ; z R cos .

Будем считать, что значения координат криволинейной системы (q1 , q2 , q3 ) выражаются через декартовы прямоугольные с помощью функций:

q1 q1(x, y, z); q2 q2 (x, y, z); q3 q3 (x, y, z) .

Элемент длины dl может быть выражен через дифференциалы прямоугольных координат:

Для элемента длины имеем: dli Hi dqi . Соответственно, для элементов площадок dSi и

объема dV элементарного параллелепипеда:

163

Для вычисления коэффициентов Нi, которые называются коэффициенты Ламе, можно воспользоваться следующим приемом.

Тогда получим15:

Прямым вычислением по формуле (1.4.6) нетрудно убедиться в том, что для сферической системы координат H1 1, H2 R , H3 R sin . Для цилиндрической соответствующие коэффициенты Ламэ равны {1;r;1}.

Выведем выражение для расходимости векторного поля F , взяв за основу формулу Гаусса-Остроградского:

Соотношение (1.4.7) записано безотносительно к выбранной системе координат.

Используем его при получении выражения для расходимости.

15 Суммирование по дважды повторяющимся индексам, подразумеваемое в (4), записано в явном виде,

через знак суммы. Это связано с существованием второго слагаемого в (5), для которого использование этого правила усложнило бы запись.

164

Выберем в качестве элементарного объема V параллелепипед с гранями,

перпендикулярными координатным линиям qi . Тогда поток векторного поля F : dN Fn dS

V

складывается из суммы потоков по всем шести граням:

dN dN1 dN2 dN3 .

Здесь dNi – поток, проходящий через грани, перпендикулярные оси qi . Нормаль будем считать направленной наружу. При этом в каждой паре гране, противолежащих друг другу,

нормали имеют противоположное направление. Тогда dNi складывается из разности того потока,

который проходит через переднюю и заднюю грани перпендикулярно оси qi . Учитывая выражение (1.4.4) для элемента площади поверхности, получим:

dNi H2 q1, q2 , q3 H3 q1, q2 , q3 F1 q1, q2 , q3

H2 q1 q1, q2 , q3 H3 q1 q1, q2 , q3 F1 q1 q1, q2 , q3 dq2dq3

Здесь Fi – компонента вектора F в направлении оси qi .

Аналогично получаем выражения для:

dN2 (H1H3F2 ) dq1dq2dq3;

q2

dN3 (H1H2 F3 ) dq1dq2dq3;

q3

Теперь, принимая во внимание выражение (1.4.7) и (1.4.4) для элемента объема, получим:

Отсюда, в частности для прямоугольных декартовых координат H1 H2 H3 1 легко получаем:

165

Рассмотрим теперь выражение для вихря векторного поля в криволинейных координатах.

Будем исходить из формулы Стокса:

Здесь С – ориентированная площадка, имеющая нормаль n. C – ее контур. Отсюда, в

частности, получаем:

Fl dl

.

Здесь индексами у скобок отмечены стороны элементарной площадки. Учтено, что при обходе выбранного элементарного контура вклад от противоположных сторон имеет

166

противоположный знак в силу противоположной положительной ориентации компоненты вектора F.

Тогда:

Для оператора Лапласа , действующий на скалярную функцию U (q1, q2 , q3 ) :

U div gradU .

167

Легко теперь простроить вид этого оператора в различных системах координат.

Подставляя в выражение для оператора Лапласа найденные ранее выражения для расходимости и градиента в произвольной системе координат получим:

H2 H1 Uq3 H3 q3 .

В частности в прямоугольной декартовой системе координат:

U 2U 2U 2U ;x2 y2 z2

В сферической:

В цилиндрической:

Функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа U v 0 , называется гармонической и может пониматься как потенциал некоторого векторного поля, напряженность которого вычисляется как минус градиент потенциала. Она обладает целым рядом замечательных свойств,

важнейшее из которых называется теоремой о среднем и состоит в равенстве значения гармонической функции в любой точке ее среднему значению по любой сфере (или окружности в пространстве двух измерений) окружающей точку, при условии, что всюду в области, куда входит внутренность сфера и ее внутренность функция гармонична. Теорема о среднем следует из известной формулы Грина, в соответствии с которой значение произвольной функции U v

внутри области V выражается через интегралы по объему и поверхности V , ограничивающей объем V следующим образом:

168

Второе слагаемое тождественно равно нулю так как есть поток через замкнутую поверхность V напряженности поля, не имеющего источников внутри области V ограниченной этой поверхностью. В итоге оказывается справедлива сформулированная выше теорема о среднем:

U 4 1R2 V U v ds .

Отсюда, в частности следует и другой результат, называемый принципом максимума модуля. Он состоит в том, что максимальные и минимальные по модулю значения гармонической функции в некоторой области достигаются только на границе этой области, но никак не внутри нее. Таким образом, условие U v 0 означает некоторую уравновешенность в пространстве

системы, описываемой функцией U v . Вес в центре равен в точности среднему весу по сфере вокруг этого центра. Но что же происходит в том случае, если функция негармонична? Можно использовать факт отличия от нуля величины U v для характеристики меры неравновесия системы и, как следствие, оценки силы выводящей систему из состояния покоя. В этом собственно

169

и состоит главная причина повсеместного возникновения лапласиана в уравнениях математической физики – эволюционных, волновых. Величина лапласиана в точке определяет меру неуравновешенности системы в окрестности этой точки и, тем самым связана с механизмами, определяющими динамику системы.

Если U v 0 то U v меньше своего среднего значения в окрестности этой точки.

Возникают «процессы движения» извне к точке v .

Если U v 0 то U v больше своего среднего значения в окрестности этой точки.

Возникают «процессы движения» от точки v во внешнюю область.

Если U v 0 то U v равно своему среднему значению в окрестности этой точки.

Система находится в равновесии. Никаких экспансий ни из вне, ни вовнутрь не происходит.

Простой пример демонстрирует приведенное. Уравнение теплопроводности для

отрицателен – тепло поглощается T 0 и тепло из вне распространяется внутрь – к точке где оно выравнивает температуру до окружающей среды. Вот так механизм процесса виден через свойства Лапласиана. Однако движения как такового не происходит, поскольку рассматривается стационарный режим – установившееся состояние с постоянно действующими источниками

(положительными или отрицательными).

Рассмотрим теперь неустановившейся тепловой режим (уравнение (2.1.16) из раздела

2.1.4.3), описываемый уравнением:

170