Кобрунов А_Мат методы модел в прикл геоф 2

S x1 , x2 ,...xN max{ A x1 , x2 ,...xN , M x1 , x2 ,...xN } .

функцией принадлежности S x1 , x2 ,...xN max[{ A x1 , x2 ,...xN M x1 , x2 ,...xN } .

Симметрической разностью нечетких отношений A и M называется новое отношение

S с функцией принадлежности

S x1 , x2 ,...xN A x1 , x2 ,...xN M x1 , x2 ,...xN .

Дополнением к нечеткому отношению A называется нечеткое отношение A с функцией принадлежности

A x1 , x2 ,...xN 1 A x1 , x2 ,...xN .

Особую роль играет решение задачи об установлении отношения между двумя нечеткими множествами, если имеются отношения их с некоторой третей величиной – нечетким множеством, в частности, нечеткой переменной.

Композиция двух бинарных отношений A и M , определенных на универсумах X1 , X2 и

X2 , X3 соответственно, есть нечеткое отношение

Композиция отношений направлена на расчет отношения между первой и третьей НЧВ

(нечеткой величиной), если известно отношение между первой и второй, и второй и третьей. Или иначе, композиция позволяет рассчитывать для НЧВ функции принадлежности от функций принадлежности, избавляясь от параметрических величин. Такой расчет композиции называется

произведением отношений. В данном случае, это минимаксное произведение или произведение Мамдани.

Из определения композиции следует, что она ассоциативна, –

A M S A M S ,

диструбтивна относительно операции объединения:

192

A M S A M M S ,

но не диструбтивна относительно пересечения:

A M S A M M S .

Поясняющий пример. Бинарное отношение x, y между нечеткими величинами X и

Y установлено матрицей A , в которой на пересечении i -ой строки и j -го столбца находится значение aij xi , y j . Это матрица размера N M . Бинарное отношение между нечеткими величинами Y и Z установлено матрицей B , в которой на пересечении j -ой строки и столбца находится значение bi k y j , zk . Это матрица размера M L . Отношение между X

и Z может быть установлено по правилу обычного перемножения матриц (элементы строк одной умножаются на элементы столбцов другой, а результат складывается), с заменой операции умножения на операцию min , а сложения – на операцию max . Эта операция называется также вычислением произведения.

Может быть введена альтернативная операция композиции, или max* композиция, в

которой роль символа «*» может играть некоторая операция, например, умножение. Функция принадлежности в этой альтернативной композиции двух бинарных отношений определена

условием:

Это определение, задающее каждой однозначной функции из X Xi в X нечеткое отображение на нечеткое множество X , называется принципом обобщения.

Достаточно важной задачей является расчет функции принадлежности для нечеткого множества (в роли которого может выступать высказывание о значениях нечеткой переменной) в

193

том случае, если известно нечеткое отношение двух переменных и функция принадлежности одной из них. Например, заданы нечеткие отношения A x, y для переменных x, y , и задана функция принадлежности Ax x . Следует дать оценку для функции принадлежности Ay y .

Сделать это можно многими способами. Вот некоторые из них.

Максиминная нечеткая свертка (композиция):

Max-prod композиция

Min-max композиция

Max-max композиция

Min-min композиция

Min-average композиция

Ay y 0.5 * max Ax x A x, y .

Sum-prod

Ay y f Ax x A x, y .

Частными случаями нечетких множеств служат:

194

Нечеткие величины. Нечеткая величина определяется как тройка, состоящая из имени A ,

трехмерном пространстве. При N 1 – это привычные числа. Например, < A Пологая граница;

-10 0 < <100 ; A > Здесь – угол наклона границы.

Нечеткий интервал – это нечеткая величина с выпуклой функций принадлежности.

Нечеткое число – это нечеткое величина с выпуклой и унимодальной функцией принадлежности.

Нечеткий нуль имеет в качестве функции принадлежности унимодальную выпуклую функцию, мода которой равна нулю.

1.5.4.Операции над нечеткими числами.

Операции над нечеткими числами определяются с помощью принципа обобщения (1.5.1).

Пусть A и M – два нечетких числа с функциями принадлежности A x и M y

соответственно.

Существует два способа введения операций над нечеткими числами. Первый основан на

рассмотрении сечений A , второй на принципе расширения, продолженного Заде.

Любое сечение имеет свое минимальное a1 и максимальное a2 значения, представляя

полностью характеризуют нечеткое число. Операции над нечеткими числами выполняются как операции

трапециевидного.

195

Принцип расширения представляет собой расширение произвольных функций на нечеткие

функция из декартова произведения X в Y . Если Ai ,i 1 n нечеткие подмножества в X i , а B нечеткое подмножество в Y , то B f A1, A2 ,...An то функция принадлежности для B определена так:

функцию принадлежности:

Если g A, B бинарная операция, то

g A, B x, g A,B x ; x g a,b , a su pp A ,b su pp B .

Примеры вычислений унарных операций минус, умножить, возвести в степень по принципу расширения:

A : A ( x);

A : A (x / ); Ap : A (x1/ p ).

Для бинарных операций сложения, вычитания умножения и деления получаем:

То же самое, но в других, возможно, поясняющих обозначениях,

196

1.5.5 Основы нечеткой логики

Логические заключения, основанные на использовании нечетких множеств, отличаются,

как уже указывалось от логики обычной, тем, что для них несправедлив закон исключения третьего – закон тождества для обычной логики и множеств:

A A = ,

A A = A

которые в случае множеств заменяются на

A A

A A A

допустимость третьего высказывания, не принадлежащего ни самому высказыванию, ни его отрицанию. Такое высказывание есть не истина и не ложь, а «возможность». Таково, например,

высказывание «В следующем году будут открыты значительные месторождения нефти и газа на территории Печорской впадины». Здесь, прежде всего, нечеткой величиной являются запасы,

относимые к категории «значительные». Об истинности этого высказывания можно судить лишь с долей уверенности, которая формально может быть определена как нечеткий интервал [0–1].

Значение 0 соответствует ложности высказывания (Л), значение 1 – Истина (И). Промежуточные значения – оценка возможности.

Нечеткое высказывание I – это повествовательное предложение, для которого определено отображение истинности высказывания T I [0,1] .

Основными логическими операциями с нечеткими высказываниями являются следующие:

197

Логическое отрицание I высказывания I . Отображение истинности для отрицания:

T I 1 T I .

Логическая конъюнкция A M нечетких высказываний A и M (нечеткое логическое

«И») имеет отображение истинности T A M min T A ,T M . Легко усмотреть в этой формуле принцип обобщения (1.5.1).

Логическая дизъюнкция A M нечетких высказываний A и M (нечеткое логическое

«ИЛИ») имеет отображение истинности T A M max T A ,T M .

TA M max min T A ,T M ,1 T A

2.Классическая нечеткая импликация для случая

T A T M :

TA M max T A ,T M max 1 T A ,T M .

3.Нечеткая импликация Мамдани:

TA M min T A ,T M .

4.Нечеткая импликация произведения:

T A M T A *T M .

Существует целый ряд других формул расчета отображения истинности для высказывания типа включения. Их можно найти в справочной литературе.

Нечеткая эквивалентность A M высказываний A и M есть высказывание с отображением истинности

T A M min max T A, T M , max T A ,T M .

Также как и в обычной логике, в нечеткой логике с помощью рассмотренных логических связок могут быть составлены достаточно сложные нечеткие высказывания, анализ которых на

198

формальную истинность состоит в расчете отображения истинности. Это делается с помощью формализованных алгоритмов в рамках компьютерных технологий и технологий баз знаний.

1.5.6 Алгоритмы нечеткого вывода

Этапами нечеткого вывода (нечетких заключений) являются:

Формирование базы правил.

Нахождение функций принадлежности для входных данных (фазификация входных данных).

Оценку степени истинности вводимых условий (агрегирование переменных)

Оценку степени истинности каждого из подзаключений (Активация подзаключений)

Аккумулирование заключений (нахождение функции принадлежности для каждой из выходных переменных)

Переход от нечетких к обычным переменным (дефазификация).

База правил формируется в виде структурированного текста типа:

ПРАВИЛО_1: ЕСЛИ «Условие_1» ТО «Заключение_1» (F1)

ПРАВИЛО_2: ЕСЛИ «Условие_2» ТО «Заключение_2» (F2)

.

…

.

ПРАВИЛО_N: ЕСЛИ «Условие_N» ТО «Заключение_N» (Fn)

где Fi – весовые коэффициенты соответствующих правил. Агрегирование, активация и аккумулирование основано на описанных выше методах оценки функции принадлежности и отображения истинности для нечетких множеств и высказываний. Приведем поясняющий пример. Пусть нечеткая величина, имя которой A , имеет в качестве универсума X значения{8,

8.3, 8.6, 9}, а другая нечеткая величина, имя которой M , имеет в качестве области своих допустимых значений (универсум Y ) {3, 3.5, 4}. Сами нечеткие величины заданы функциями принадлежности:

199

одной из приведенных выше композиций между нечетким отношением двух переменных и

конкретное значение y из универсума Y и сравниваются попарно и выбирается меньшее из двух

величин A x и S x, y . (это соответствует логическому умножению) В результате получается для каждого y из универсума Y последовательность значений. Выбирая из них наибольшее (что соответствует операции сложения), получим требуемое значение функции принадлежности

Далее функцию принадлежности можно использовать для принятия тех либо иных решений. Делать это можно многими способами, например, рассчитывая функцию риска или полезности на основе определенной принадлежности. В том числе с этой целью может быть использована операция дефазификации.

Дефазификация необходима для того, чтобы результаты аккумулирования,

представленные как рассчитанные функции принадлежности, перевести к обычным переменным,

на основании которых формируются управленческие или иные решения. Этот этап называют

200