Кобрунов А_Мат методы модел в прикл геоф 2

означает переход от (1.1.6) к решению задачи A* y A* A x A* y , решение которой x уже всегда существует (поскольку A* y Im A* ), хотя возможно и не будет единственным.

Однако проблема с неединственостью решается введением нормальных решений. Таким образом, для переопределенных и противоречивых систем проблема существования решения преодолевается заменой строгого решения задачи на квазирешение. Обратим внимание на то,

что построение квазирешения по приведенной схеме эквивалентно процедуре решения задачи:

A x yY min, x X .

Собственно отсюда и происхождение термина «квазирешение» – приближенное, почти решение. Одновременный переход к нормальным решениям ведет к понятию квазинормальных решений, которые определены как решения задач;

A x yY min, x A, X .

Поскольку A A, X Im A то приведенные выше рассуждения остаются

справедливыми и в этом случае. Однако понятие квазирешения может быть распространено и на более общий случай – поиск наилучшего приближения уравнения (1.1.6) на произвольном множестве Q:

A x yY min, x Q.

Разнообразие свойств этой последней задачи определенное соотношением свойств самого оператора A , и вида множества Q , делает неоправданными рассмотрения этих свойств во всех их многообразиях. Их следует изучать в рамках конкретных постановок и требующих решения конкретных задач.

Решение уравнений с сильно положительным самосопряженным оператором.

Воспользуемся приемом, основанном на полноте системы собственных элементов оператора Гильберта-Шмидта, доказанную в теореме о спектре самосопряженного вполне непрерывного оператора

Пусть fi , i 1, 2,.... полная система собственных элементов, образующая ортогональный

базис в X . Тогда искомый элемент f можно представить в виде: f i fi . Тогда:

i 1

81

Af A i fi i i fi . Умножив правую и левую часть последнего равенства

i 1 i 1

среди собственных чисел есть числа, имеющие очень малые значения, то компоненты собственных элементов, соответствующих этим числам оказываются несравнимо большими, чем

все остальные, притом, что их роль в значении оператора A очень мала. Таким образом, мало

проявляющиеся в правой части компоненты собственных элементов (малые собственные числа)

очень сильно «выпячиваются» при конструировании решений. Такие уравнения являются

«плохими» в интуитивно понимаемом смысле, при попытке их решения. В этой связи целесообразно ввести меру «плохизны» такого сорта уравнений или, что-то же самое меру их

«хорошести»11. Здесь важно иметь в виду, что значение имеют не абсолютные числа – значения по модулю минимального из собственных чисел, а их отношения к максимальным значениям.

Такой мерой служит число обусловленности k( A) A A1 . Принимая во внимание связь

нормы оператора с максимальным собственным числом и связь нормы обратного оператора с

Для унитарного оператора число обусловленности равно 1.

Прикладное значение понятия числа обусловленности определяется следующим

результатом.

Если A оператор, имеющий ограниченный обратный (отсутствуют нулевые собственные

значения) и Af y , то для любого g и Ag u справедливо неравенство:

11 Приношу извинения за такие нелитературные обороты. Я не нашел более подходящего словосочетания.

82

возникающую за счет использования приближенных данных (вместо y использовано u Ag ).

Приближенно дело обстоит так – чем меньше число обусловленности (а оно всегда больше единицы), тем меньшая погрешность возникает при использовании приближенных данных при решении уравнения (1.1.6).

Однако приведенное неравенство – это не погрешность, а ее двухсторонняя оценка.

Приведем еще два соотношения, имеющих большое значение для конструирования решений уравнений Af y . Приводимые ниже результаты справедливы и для более широкого класса операторов, чем самосопряженные операторы Гильберта Шмидта. Однако эта общность требуется в очень редких ситуациях.

Обозначим An результат n – кратного применения линейного непрерывного оператора A

с нормой, не превосходящей M 1.

Записанное – это метод последовательных приближений, используемый при решении уравнения Af y – метод простой итерации. Последнее эквивалентно:

i 0

83

Нетрудно заметить, что если A рассматривать просто как символ, обозначающий

некоторую переменную, то разложение функцию A 1 в ряд Тейлора в окрестности единицы I в

точности есть (I A)i . Таким образом, и эта формула, и формула (1.1.8) наводят на мысль о

i 0

том, что из операторов можно конструировать сходящиеся ряды, представляющие некоторые функции от операторов. Например, в (1.1.9) и (1.1.10) это обратные функции. Вконструировать можно и другие функции, и такие приемы дают мощный способ анализа и решения уравнений.

Однако развитие этого аппарата требует введения иных понятий из области теории непрерывных групп.

1.1.7 Элементы теории банаховых пространствах

Приведенные результаты на самом деле справедливы не только для гильбертовых, но и банаховых пространств. Напомним, что это полные нормированные пространства, включающие в себя как частный случай гильбертовы. Важнейшими из них служат:

Пространство C V непрерывных функций f v заданных в области V с нормой

f v C sup f v ; v D f

Пространство L V функций f v с ограниченной верхней гранью за исключением множества меры ноль (sup vrai )

84

Это базовые банаховы пространства. Из них легко получить обобщения, вводя требования,

чтобы соответствующие нормы вычислялись с использованием производных в предположении их существования за исключением, возможно, областей с мерой ноль, а сами функции были

должное число раз дифференцируемы и обращались в ноль на границе области V (условие

финитности). Однако эти частности лежат за пределом рассмотрений в настоящей работе.

Для того чтобы показать тождество результатов необходимо определить аналог теоремы Ф. Риса об общем виде линейного ограниченного функционала в банаховых пространствах.

Автоматически переопределится понятие сопряженного оператора, хотя конструктивно ничего и

не поменяется. Наиболее существенные отличия возникнут в характере нормальных решений.

линейных ограниченных функционалов на X . Аналогом приведенной выше теоремы Ф. Риса об общем виде линейного ограниченного функционала в гильбертовых пространствах, в

соответствии с которой линейный непрерывный функционал есть скалярное произведение,

служит обобщенная теорема Ф. Риса для пространств Банаха. В соответствии с ней каждый

Как и выше, подразумевается, что в случае комплексно-значных функций второй сомножитель рассматривается со знаком комплексного сопряжения. Но в вычислительных приложениях это достаточно редкая ситуация. Запись (1.1.11) близком тому, как записывается скалярное произведение в гильбертовых пространствах: ( f ) q f X . Множество линейных ограниченных функционалов на пространстве X называется сопряженным к X пространством и

обозначается X . На нем может быть введена норма по уже стандартному правилу:

85

Множество функционало-образующих элементов образует двойственное к X

пространство, и обозначается X * . Его элементы находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами из сопряженного пространства. В этой связи разницы между ними не делают и сами

множество элементов двойственного и сопряженного пространства будучи линейными многообразиями оказываются также банаховыми пространствами, элементы которых имеют одну и ту же норму и находятся во взаимно однозначном соответствии между собой. Поэтому употребляя термин – сопряженное пространство следует иметь в виду его представление в виде двойственного пространства. Таким образом внешне ситуация с видом линейных непрерывных

Для множества непрерывных на D f функций с нормой

86

Для пространств L1 , с определенной выше нормой, сопряженным служит пространство

L V , состоящее из функций с ограниченной нормой

исключением подмножеств меры ноль (точек для линии, линий и точек слоя поверхности, точек,

линий и поверхностей для объема и так далее).

Поскольку сопряженное пространство (и двойственное) само есть банахово, то к нему в свою очередь может быть построено двойственное X * и ему соответствующее сопряженное

X ** , служащее вторым сопряженным к исходному пространству X . Понятно, что X ** X . Если

X ** X , то банахово пространство называется рефлексивным. Все приведенные пространства

Lp D f при 1 p рефлексивны. Но сопряженное к L1 D f не совпадает с C D f

но есть L D f с нормой. В такой записи двойственным к Lp D f пространству будет

Lq D f при 1 p и 1/ p 1/ q 1.

Определение сопряженного оператора к линейному замкнутому оператору из X Y с

плотной областью значений в Y , действующего в паре банаховых пространств, повторяет

87

1.2 Оптимизация

1.2.1 Введение

Трудно представить более распространенную при моделировании в науках о земле

задачу, чем задача оптимизации. Только одно лишь перечисление приложений, где используются методы оптимизации, привело бы, по сути, к всеохватывающему перечню задач моделирования.

Все же приведем в укрупненном виде некоторые из них.

Аппроксимационный принцип. Модель M изучаемого объекта, характеризуется набором некоторых параметров. Обозначим их m mi ,i 1 N . Каждый элемент из M имеет свой

набор значений m и отождествляется с ними. Эти параметры входят в уравнение F m ,

определяющее некоторый отклик, создаваемый моделью. Например, это предсказываемые с помощью уравнения F m параметры y y j , j 1, L , характерные для m . Такая ситуация

возникает, например, в том случае, когда F m заданные или искомые уравнения связи между m и y . Эти уравнения могут иметь разнообразный характер. От алгебраических кривых, в

уравнения которых входят параметры m (задачи построения уравнений регрессии), до интегро-

дифференциальных уравнений, в которых роль y играет отклик системы, на вход которой подано возбуждение, описываемое с помощью параметров m . Пусть известен реально измеренный набор параметров y y j , j 1, L . Следует выбрать соответствующий этим данным набор параметров m . Чаще всего решать для этого уравнение нельзя потому, что:

1.Это уравнение в строгом смысле решения не имеет.

2.Решение этого уравнения если и есть, то оно неединственное.

3.Решение неустойчиво по отношению к определяемым параметрам.

Последнее означает, что небольшие изменения входных данных, связанных например, с

F m Fh m h . Однако в значительном числе случаев ошибки этого рода могут быть сведены к ошибкам в задании правой части в Fh m y .

В этой связи вместо решения задачи

89

Необходимо искать в некотором смысле оптимальное к нему приближение. Это означает,

что должен быть сформирован критерий качества J F m , y и вместо (1.2.1) рассмотрена

задача:

J F m , y min,

(1.2.2)

m M.

Задача (1.2.2) представляет собой достаточно общую задачу оптимизации и к этой записи будем обращаться как к основной конкретизируя при необходимости компоненты в нее входящие. Например, если определяются параметры m алгебраической кривой по данным y y j , j 1, L , таким критерием может служить:

Это – традиционный метод наименьших квадратов – не единственный и не самый лучший,

но наиболее распространенный.

Величина F m в качестве значения может иметь компоненту измеряемого физического

поля. Например, гравитационного. В этом случае задача (1.2.2) представляет собой нахождение оптимальных параметров модели, соответствующих заданному полю (подробней см. 5.2.1). Этот класс задач распространен повсеместно и составляет вычислительную основу интерпретационных приемов анализа геофизических данных, известных под названием методы подбора.

Минимизируемое выражение – это функционал, который наряду с названием

«минимизируемый функционал» имеет названия: «критерий оптимальности», «критерий качества», «целевая функция». Введенные понятия суть синонимы и различные имена используются в соответствии с традициями, принятыми в алгоритмах минимизации или для того чтобы подчеркнуты выделенное свойство. Однако в детальных конкретных рассмотрениях им может придаваться и различный смысл. В зависимости от того, какими свойствами обладает критерий качества J F m , y , каков вид множества M и каким образом входят параметры m

в уравнения F m задача (1.2.2) обладает различными специфическими свойствами и допускает решение специально ориентированными методами. Нет универсальных методов, с равной эффективностью решающих все эти задачи. Некоторые названия конкретных задач происходят от

свойств компонент, входящих в (1.2.2). Если критерий J F m , y суть сильно выпуклый

функционал от переменных m , и M – выпуклое множество, то задача (1.2.2) называется задачей выпуклого программирования. Свойство выпуклости полезно в связи с тем, что на выпуклом

90