Кобрунов А_Мат методы модел в прикл геоф 2

1.2.5 Принцип оптимальности Беллмана

Приведем некоторые типичные задачи, возникающих в геофизических методах и

имеющих смысл нахождения наилучшей траектории, выходящей из заданной точки x0 и

заканчивающейся в точке xend .

Первая задача это корреляция границы между системой скважинами с использованием фрагментов отражений на временном разрезе. Надо найти такой путь, чтобы он имел наименьшее число изгибов, проходя через фиксированные реперы, и имел, например,

минимальную длину захватывая как можно больше участков регулярных компонент волнового поля. Это задача нахождения корреляции разрезов сведенная к нахождению оптимальной

траектории. Траектория описывается кривой s параметр. Имеется критерий

который оценивает оптимальность участка траектории соответствующего значению параметра s

от 0 до величины равной s . Траектория заканчивается при значении параметра s send . Строго говоря, необходимо решить задачу:

J x send min, x 0 x0 .

Если критерий оптимальности допускает аналитическое представление в виде

дифференцируемого функционала, то ее решение сводится к построению уравнения Эйлера для этой задачи и последующего его анализа и решения. Но уже в простейших случаях построение уравнения Эйлера оказывается не самым эффективным приемом.

Другой пример это движение точки вдоль траектории в поле скоростей V x, y, z

подчиняющееся принципу Ферма – время движения из начальной в конечную точку должно быть минимальным. Это приводит к задаче:

end

dl

0 V x s min ,

где dl – дифференциал длинны дуги кривой x s . Последнее выражение переписывается:

121

По сути это задача расчета траектории луча в задачах сейсморазведки и сейсмологии.

В практически значимых ситуациях функция скорости достаточно сложна и уравнение Эйлера для нее достаточно сложно разрешимо. Дело становиться почти безнадежным, если функция скорости – клеточно задана своими значениями. Здесь прямые вычисления на основе уравнения Эйлера или перебор значений с целью сравнения вариантов и поиска наилучшего приводят к грандиозным размерам вычислений.

Еще один типичный пример – это задача корреляции временных разрезов в сейсморазведке, которая моделирует более общую задачу корреляции приведенную в первом примере

Приведенные примеры иллюстрируют общую задачу динамического программирования,

состоящую в нахождении оптимальной траектории, каждый фрагмент которой сам по себе есть оптимальная траектория.

Общий алгоритм ее решения, называемый принципом Беллмана, проиллюстрируем на примере решения частной задачи.

Рассматривается алгоритм решения двухточечной задачи оптимизации, состоящей в нахождении траектории, минимизирующей заданный функционал (рис. 1.1):

Двухточечной она называется, потому что две точки – начало и конец траектории,

закреплены и известны. Это точки x0 и x ,

Задача (1.2.35) выражает аналог принципа Ферма, записанного с использованием минимизации интеграла, играющего роль интеграла Ферма для движения точки перегиба кривой

122

изменения давления во времени. Отличительной чертой (1.2.35) от стандартной, записанной выше двухточечной задачи поиска оптимальной траектории, обеспечивающей минимальное время движения, служит вхождение самой этой траектории под интеграл или, что то же самое,

зависимость «скорости движения луча» V 3к от длинны пройденного пути. Скорость

l

убывает пропорционально длине пройденного «лучом» пути и это приводит к существенным изменениям кинематики движения. Таких модификаций и аналогов минимизируемого функционала может быть много. Конкретно задача (1.2.35) более общая, чем стандартная модель поиска траектории с минимальным временем с заранее заданной скоростью движения. Именно на этом примере и рассмотрим основные принципы Беллмановского алгоритма для решения задачи.

Переходим к дискретной сети: направив ось индекса i вправо, как дискретного аналога переменной X , ось индекса j вниз, как дискретного аналога переменной Y (рис. 1.10)

X

L x0 , x x

x0

Y

Рисунок 1.10 – Дискретная модель задачи оптимизации

Для простоты можно считать, что сеть прямоугольная с размером N M и интервал между точками равен x и y соответственно. Сети соответствует дискретный набор точек –

узлов сети имеющих координатное x, y и двух индексное i, j представление i, j .

Начальная пара индексов 1, n характеризует начальную точку x0 1, n . Конечная точка

x N, m .

123

Пусть искомая траектория L x0 , x в своем дискретном представлении (обведено

жирным) имеет вид последовательности 1, n , которая имеет последовательность индексов

Пусть i, j произвольный узел сети (рис. 1.12), фиксирующий точку i, j .

Это оптимальная последовательность, начатая из точки (i, j) и завершенная в

x m, N .

i, j i , i 1,j i 1

Рисунок 1.11 – Дискретная модель

124

X

Y

i, j i

i 1, j i 1 i, j i , i 1, j i 1

Рисунок 1.12 – Пояснение к обозначениям

Задача (1.2.36) существенно отличается от (1.2.35) тем, что в (1.2.36) используется лишь часть общей длинны пройденного пути в то время как при расчете вклада того же сегмента в

(1.2.35) учитывается весь путь пройденный в том числе и до точки i, j . Таким образом,

каждый узел l, k имеет продолжение по оптимальности до конечной точки x m, N

начало l, k может быть произвольным из диапазона допустимых индексов. Для каждой точки

125

дискретной сети алгоритм вычисления интеграла (1.2.38) почти очевиден и состоит в следующем.

Пусть i, j i последовательность узлов сетки, определяющую L i, j , r l i, j i , N, m и

Обозначим:

126

i 1, k .

Справедливо следующее из (1.2.37) утверждение:

Шаг 3. Рассчитывается M значений

Ji 1, j J i 1, j

;

Шаг 4. i i 1; Если i 1 перейти к 2. В противном случае:

Шаг 5. Рассчитываем M значений

Величина интервального времени распространения возмущения между точками 1, n и N, m

равна

127

1.2.6 Основные понятия о нейронных сетях [2]

Нейронные сети – условное название способа нахождения выходных значений некоторой

произвольной системы по входным и настраиваемым параметрам системы. Основной теоретической предпосылкой, лежащей в основе того, что принято называть нейронной сетью служит следующая теорема Фунахаши (Funahashi).

Для этого необходимо определить число N и веса i ,i 1 N и ij ,i 1 N, j 1 n .

Процесс такого нахождения называется обучением. Это тоже условное название как и геометрическая интерпретация аппроксимационного соотношения (1.2.45) как некоего

«нейрона». Если внимательно посмотреть на соотношение (1.2.45), то нетрудно заметить, что речь

128

идет об обычной аппроксимации функции f x линейной комбинацией интервальных

n

значений функции f x . Требуемый интервал рассчитывается в члене ij x j . Матричные

j 1

элементы ij ,i 1 N, j 1 n это и есть коэффициенты для расчета новых значений

yi . Число этих переменных N может быть (и есть на самом деле) меньше чем число

переменных n участвующих в аппроксимируемой функции. Однако удобной оказалась образная интерпретация процесса, моделируемого правилом (1.2.45) как процесса, происходящего в реальных элементах мозга живых существ. Эта же образная интерпретация облегчает манипулирование с рассматриваемыми элементами. Приведем ее.

Рисунок 1.13 – Искусственный нейрон

В качестве функций активации выбираются, например:

129

n значений и образует на выходе

Рисунок 1.14 – Фрагмент нейронной сети

число сигналов (значений) равное

числу нейронов в слое, которые (значения) передаются окончательному выходному нейрону.

Условно это изображено на рис. 1.14 .

Эта последовательность из слоев может быть продолжена и сформирована система из M

слоев. Нейроны каждого слоя получают сигналы с предыдущего и образуют вход для следующего слоя. Так устроены нейронные сети, которые называются сеть прямого распространения

состоящей из M в числе которых M 1 скрытых, и каждый слой содержит Nm , m 1, 2,...M

нейронов. Тогда аналитическим описанием действия нейрона в такой сети служит:

Соотношение вход – выход слоя запишется так:

ym f m (Wm ym 1 ) ,

где Wm – матрица весов слоя с номером m и ym 1 – вектор значений выхода слоя с номером

которое обозначим:

130