Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Кобрунов А_Мат методы модел в прикл геоф 2

.pdf
Скачиваний:
40
Добавлен:
02.03.2016
Размер:
10.74 Mб
Скачать

в объеме, читаемом при подготовке специалистов геофизиков. Сюда входят: элементы дифференциального и интегрального исчисления, курс теории вероятностей и математической статистики, уравнения математической физики, понятие о преобразовании Фурье. Близкая к излагаемой является дисциплина «Теоретические основы обработки сигналов» и «Теория поля».

Поэтому в нашей книжке эти вопросы хотя и присутствуют, но в форме дополняющей стандартный курс и интегрированной к остальному изложению.

Эта книжка ни в коем случае не может рассматриваться как учебник. Это учебное пособие для старшекурсников, занимающихся специальной подготовкой и аспирантов. При ее написании я

«видел» перед собой моих аспирантов и магистрантов, возможно и молодых исследователей занимающихся проблемами математического моделирования в геофизике. Она может служить основой для конспекта лекций, хотя сама таковой не является. Это – учебная книжка. В то же время она «выводит на передний край» вопроса и в некоторых разделах подводит к черте, после которой далее следует самому проводить исследования.

Я благодарен своим ученикам: Петровскому А. П., Шиловой С. В., Кулешову В. Е.,

Мотрюк Е. А., Урбан А. В., Куделину С. Г., Барабанову М. Н., Хозяинову Р., Григорьеву А. В., и

многим другим за то интересное общение, которое состоялось по предмету. Я пользовался неизменной поддержкой зав. кафедрой Зыкова В. А. и Смирнова Ю. Г., ректора Цхадая Н. Д. Этот список очень большой. Он включает в себя и академика Страхова В. Н., оказавшего на начальном этапе решающее влияние на мое становление, профессора Никитина А. А., чьей поддержкой и добрым отношением я постоянно пользовался, моего коллеги Блоха Ю. И., дискуссии с которым утвердили меня в моих убеждениях и очень многих других. Я искренне им признателен.

11

Список наиболее употребительных обозначений

n

Bi

i 1

/

M

mes(V)

E_

E0

E+

П

D f

Im f

d f1, f2

P x

E f x

[ y x ,W y x ]

,

RN

i

f g

f g

пустое множество;

принадлежит;

не принадлежит;

пересечение;

пересечение множеств Bi, i=1+n;

включение;

дополнение;

квантор всеобщности;

квантор существования;

замыкание множества M (если не оговорено противное);

мера множества V (площадь, объем);

область нижнего полупространства (z>0);

горизонтальная плоскость z=0;

верхнее полупространство (z<0);

горизонтальная полоса в E_;

область определения элемента (функции, оператора, функционала) f;

область значений элемента f;

расстояние между элементами f1, f2 ;

интегральный закон распределения;

Дисперсия;

случайная функция;

хаотическое преобразование;

скалярные числа;

комплексные числа;

N -мерное Евклидово пространство;

– читается так: для любых чисел i из ;

скалярное произведение;

f ортогонально g f g 0 ;

12

H1 H2

H

P (N, y)

Y

P (N, y)

PX (N, M )

P(N, M )

P ( f x )

V

ортогональные подпространства H1 и H2;

ортогональное дополнение к Н;

операция проектирования элемента y Y

на множество N Y в

 

норме пространства Y ;

 

то же, что и P (N, y) при ясном из контекста виде пространства Y ;

 

Y

 

образ множества M при проектировании на множество N в норме пространства X ;

то же что и PX (N, M ) при ясном из контекста виде пространства X ;

оператор проектирования функции f(x) имеющей носитель V1 на функцию с носителем V V1 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

осреднение по мере x ;

y M f

 

x

 

f

x d

 

x

 

 

f

 

x P

 

x

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D x

 

 

 

 

 

D x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для пространственно-временных координат используются обозначения:

x{x0 , x1 , x2 , x3} t, v t, x, y, z

x{x0 ,r} {x0 , x1 , x2 , x3}.

vx, y, z x1 , x2 , x3 .

Втом случае когда следует подчеркнуть, что точки x, y, z фиксируют координаты конца

вектора, исходящего из начала координат эту же тройку обозначаем r x, y, z . Отличие между r и v состоит в том, что v точка в координатном пространстве, а r -вектор исходящий из начала координат и заканчивающийся в этой точке. Как вектор он имеет своими компонентами на координатные оси величины x, y, z .

x {t, v}

e e1 ,e 2 ,e3 ei : r xi ei , xi r ei единичные орты.

i 1..3

Правило суммирования Эйнштейна состоит в том, что по дважды повторяющимся индексам осуществляется суммирование по всему диапазону его значений. Тогда:

rxi ei xi ei . i 1..3

Для произвольной последовательности параметров:

x {xi ,i 1, 2,...N}

x1 {x11, x12 ,...x1N }

Для компонент скорости:

13

v t, x, y, z v t, v vx , vy , vz

u vx dxdt ; v v y dydt ; w vz dzdt .

sup vrai f (x) – существенная верхняя грань (верхняя грань по множеству M за исключением

x M

подмножества меры нуль);

inf { f (x)} –нижняя грань значений выражения

f (x)

по всем x принадлежащим множеству M

x M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Употребительные типы норм:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X – норма в пространстве X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2dv

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f v

 

 

 

2L V

 

 

 

f

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f v

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

sup vrai

 

f v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v D f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f v

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

f v

 

dv

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

D f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f v

 

 

 

 

 

C sup

 

f v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v D f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1/ p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f v

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

v

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

D

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

l2

 

xi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

; x

 

 

 

y xi yi*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

Пространство C V непрерывных функций

f

v заданных в области V с нормой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f v

 

 

 

C sup

 

 

f v

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v D f

Пространство L V функций

f v с ограниченной верхней гранью за исключением

множества меры ноль (sup vrai )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14

 

 

f v

 

 

 

 

L

sup vrai

 

f v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v D f

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пространство L1 V абсолютно интегрируемых функций

f v с нормой

 

 

 

f v

 

 

 

L

 

 

f v

 

 

dv;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

D f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пространство Lp V абсолютно интегрируемых в степени

p функций f v с нормой

 

 

f v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f v

 

 

p

1/ p

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

D

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Область определения оператора А обозначается DА DA ;

Область значений оператора А обозначается Im A ;

Множество элементов из области определения, отображающиеся в ноль, есть ядро оператора и обозначается Ker A.

* – означает комплексное сопряжение – комплексное для чисел;

A* – сопряжение по Гильберту для операторов;

X * – сопряженное к X пространство.

Тот факт, что пространство H представимо в виде системы слагающих его взаимно-

ортогональных подпространств записывается так: H H1 H2 .....

Для функционала f :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sup

 

 

 

 

sup

 

 

 

 

 

f

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f D

 

 

X

 

 

 

f D ,

 

 

 

 

f

 

 

 

X 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для оператора A f :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

sup

 

 

 

A f

 

 

 

Y

 

 

 

sup

 

 

 

 

 

 

A f

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f D A

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f D ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

f

 

 

 

 

X 1

 

 

 

I

единица – единичный оператор;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A 1 : A 1 A I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x – производная Фреше оператора

A x в точке x ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1: f (x) 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sign

 

f (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 : f (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1: f (x) 0;

 

 

 

M – замыкание множества M ;

15

X Y – множество линейных операторов из пространства X в пространство Y

 

X ,Y – подмножество ограниченных операторов из X Y ;

 

 

A 1

обратный к A оператор, определенный на Im A

 

условием A 1 A( f ) f ;

 

H H / H дополнение H до H ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ker A h X : Ah 0 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Im AM

 

 

область значений оператора A

на множестве М (образ М при отображении A

;

 

 

A , ( A, X ) x D A : A x u класс эквивалентности для оператора A на X .

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u (A, X )

– область практической -эквивалентности;

 

 

 

X / KerA – фактор пространство X по подпространству KerA ;

 

 

x X / KerA – класс смежности – элемент фактор пространства

X / KerA (относительно ядра

оператора A , относительно оператора A );

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

inf

 

 

 

x

 

X

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A, X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

x x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

– экстремальный класс – класс нормальных решений для оператора A в норме

пространства X ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( A, X , F)

 

 

 

 

экстремальный класс для

оператора A в

норме пространства X

с

трансформирующим оператором F ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( A, L2 , F)

– плотное в ( A, X , F) подмножество;

 

 

 

 

 

 

 

A

 

v – погрешность задания оператора A ж

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ur – векторное произведение векторов;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

1

 

 

( A A

 

) ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ji

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[ij ]

 

 

2

 

 

 

 

ij

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

kl

 

 

 

 

 

klj

 

 

 

 

 

 

 

 

klj

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ti

 

Cij

 

 

 

Cij

– правило суммирования по дважды повторяющемуся индексу;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Di

 

 

 

1

 

 

 

v

i

-

v j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

– тензор скоростей деформации;

 

 

 

 

 

j

 

2

 

 

x j

xi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

ui

r

 

 

u j r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

– тензор деформаций;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ij

 

 

2

 

 

 

 

x j

 

 

 

 

 

 

xi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

A

 

– производная по переменной с индексом n ;

 

 

 

 

 

 

xn

 

 

 

,n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

A

k

 

 

A

– ковариантная производная по переменной с индексом n ;

 

 

 

 

 

 

 

 

;n

 

 

 

xn

 

 

n

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

grad f r

f r

f ,i r ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi

 

 

 

 

 

dxi dx j

– антисимметричная композиция дифференциалов;

 

 

 

a

 

 

(x)dxi1

^ dxi2

^ .. ^ dxik – внешняя дифференциальная форма степени k ;

k

i ,i ,..i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

a

(x)dxi

^ dxi1 ^ dxi2 ^ .. ^ dxik

– внешний дифференциал k формы;

 

xi

 

 

k

 

 

 

i1 ,i2 ,...ik

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fx v , Fy v , Fz v – компоненты напряженности поля F v ;

 

В прямоугольных декартовых координатах:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

divF v

Fx v

 

 

 

Fy v

 

 

Fz v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

y

 

z

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

rotF rotxF, roty F, rotz F ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

F

 

 

Fy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

rot

 

z

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

y

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

rot

F Fx

Fz ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

z

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

Fy

 

 

F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

rot

 

 

 

 

 

x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

x

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

div grad

2

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

– оператор Лапласа;

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

y2

z2

 

 

 

 

 

 

 

 

( ) – дельта функцию Дирака;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(i)

1 при i 0,

– символ Кронекера;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 при i

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v : (M , v ) min

 

 

 

v m

 

 

 

– погрешность аппроксимации;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

max (M , ) (M , ) – аппроксимационная способность М;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(M , X ) – нормальное решение на М в норме пространства Х;

 

 

 

ФГМ – физико-геологическая модель среды;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ОФГМ – обобщенная физико-геологическая модель среды

 

 

 

 

 

СФГМ – содержательная физико-геологическая модель среды.

 

 

 

17

Введение

Моделирование одна из наиболее распространенных ветвей деятельности в науке. В

прикладной геофизике чаще всего изучаемый объект недоступен прямому измерению.

Наблюдаются лишь его косвенные проявления. Моделирование оказывается, в таких случаях, по сути своей единственным способом познания и прогноза явлений и событий.

Модель – первичное понятие. Оно применяется для обозначения того факта, что реальный объект с его многочисленными свойствами и связями с другими объектами заменяется упрощенной системой допущений и предположений для описания выделенных и значимых для конкретного вопроса свойств реального объекта. Модель это всегда только часть, неизбежно упрощенная и неполная. Моделирование это изучение следствий из принятой модели объекта. В

науках о Земле используется два подхода к моделированию. Первый – это натурное или физическое моделирование. Второй – это математическое моделирование.

Моделирование

Физическое

 

Математическое

 

 

 

Рисунок 1

Физическая модель – это некоторый физический объект, свойства которого, как кажется создателю модели, подобны свойствам реального объекта. Например, для изучения складкообразования в процессе эволюции Земли может быть построена модель участка Земной коры из пластилина. Далее к пластилину применяются нагрузки, имитирующие возможные силы природы – напряжения сжатия, растяжения и наблюдаемый результат – реакция пластилиновой модели фрагмента Земной коры служит основой для дальнейших рассмотрений. Этот этап и есть собственно физическое моделирование. Здесь есть важное обстоятельство. Физическая модель должна быть подобна объекту, который моделируется. Это означает, что должны сохраняться пропорции и в масштабах всех используемых величин – пространственных размеров, временных интервалов, силы и пр. Об этом подробнее будет сказано ниже. Таким образом, физическое моделирование это эксперименты над физической моделью, которые сопровождаются математической обработкой результатов. Рассмотрение результатов физического моделирования чаще всего направлено на решение вопроса о том, а могли ли факторы, имитированные в физической модели (например, пластилиновой) служить причиной реально наблюдаемых объектов и событий (складчатости горных сооружений, специальных видов деформации Земной коры – разломов, сбросов и т.д.)

18

Математическая модель объекта (состояния, явления, процесса) это приближенное формализованное его описание с помощью математических понятий и объектов, включающих в себя геометрические образы, уравнения, логические соответствия, алгоритмические правила и др.

Математическое моделирование – это вывод следствий из принимаемых математических моделей. Чаще всего эти следствия носят характер заключений о виде зависимостей между различными параметрами модели, изучении процессов предсказываемых выбранной моделью,

прогнозе возможных событий и принятие на этой основе наилучших решений. Итогом математического моделирования могут служить геофизические поля соответствующие изучаемым моделям геологических объектов, модели строения геологических объектов адекватных экспериментальным данным. Языком математического моделирования является язык математики, а способом моделирования – математический анализ и компьютерное моделирование описываемых объектов.

Разнообразие математических моделей, используемых в науках о Земле, делает невозможным их анализ или даже просто обзор. Так, например, математическое моделирование гравитационных и магнитных полей составляет значительную часть Гравиметрии и Магнитометрии. Моделирование свойств среды по результатам измерения гравитационных и магнитных полей составляет значительную часть теории интерпретации данных гравиразведки и магниторазведки. То же самое можно сказать о волновых сейсмических полях, полях температур,

фильтрации и движения нефти в пласте в процессе эксплуатации нефтяных и газовых месторождений и многого другого. Поэтому целью и задачей настоящей работы служат внесение ясности в принципиальные и обще методические вопросы построения математических моделей в некоторых распространенных разделах науках о Земле. При многообразии задач, возникающих при моделировании в науках о земле, можно выделить три их класса, которые называются первой, второй и третей задачами моделирования.

1.Моделирования следствий из принятых моделей среды и моделей процессов,

управляющих изучаемыми следствиями;

2.Моделирование среды – создания моделей среды по известным следствиям и моделям процессов, управляющих наблюдаемыми следствиями;

3.Моделирование процессов по известным моделям среды и наблюдаемыми

следствиями этих процессов.

Это главные задачи моделирования, которые будут рассматриваться в этой работе. В

настоящей работе не затрагиваются проблемы физического моделирования, и моделирование понимается как математическое.

К проблеме моделирования следует относиться с должным вниманием и тщательностью.

Моделирование требует не только владения математическим аппаратом, но и, прежде всего,

19

умением оценивать адекватность реальности построенной физико-математической модели.

Искусство моделирования это искусство конструирования моделей.

Недавно мне на глаза в интернете попалась заметка некоторого автора (видимо молодого человека) который писал о том, что сегодняшняя астрономия делается уже не астрономами, а

программистами за счет разработки программ моделирующих процессы в астрофизике. И далее,

почти дословная цитата «дело это не хитрое (построение модели). Берем законы сохранения,

дополняем их начальными условиями и все …». После этого обсуждаются вопросы выбора языка программирования, распараллеливания вычислений и другие. Это все легко переносится на любую другую область и, в частности, весьма близкую – геофизику. На самом деле, конечно, это не так. Самое основное при построении моделей – моделировании это создание законов,

например, в виде уравнений, описывающих изучаемый объект, и здесь законов сохранения мало.

Необходимо еще глубокое понимание взаимосвязи между параметрами, входящими в законы сохранения и собственно составляющие основное содержание модели, которые называются уравнениями состояния. Профессионализм и глубокое проникновение в физику процесса и свойств изучаемого как раз и проявляется в правильном подборе этих уравнений состояния.

Только после этого могут быть построены уравнения, описывающие некоторые процессы,

допускающие введение краевых условий и сконструированы алгоритмы их решения. Алгоритмы и программирование – дело математиков и программистов, а вот выбор уравнений состояния,

адекватно и в главном описывающий требуемые характеристики изучаемого объекта – дело профессионалов геофизиков. Только после этого начинается программирование. Об этом мы поговорим позже. Я бы не стал обращать внимания на эту заметку – да мало ли чего пишут в интернете, если бы не ее симптоматичность для современного мышления. Суть проблемы этого мышления состоит в чрезмерном преувеличении роли самого компьютерного счета и недостаточном внимании к анализу задачи. Эта философия «компьютерного романтизма» ведущая к пренебрежению тщательным исследованием начальных, теоретических основ моделирования конкретных объектов, оптимизацией изучаемой модели и созданием системы согласованных и не противоречивых ее параметров основана на том, что в процессе счета все поправиться само по себе. Главное это с должной скоростью и надлежащим объемом параметров посчитать. В итоге могут возникать и возникают ошибочные результаты, которые далее мигрируют в параметры принятия дорогостоящих решений. Поэтому процесс моделирования должен быть основан на тщательном содержательном изучении предмета, всех основных его особенностей,

научном подходе к моделированию, в частности изучению вопроса об адекватности,

единственности и устойчивости реконструируемой модели.

В полном объеме курс методов математического моделирования содержит большой арсенал разноплановых средств. Здесь и традиционные для решения задач выявления закономерностей статистические методы, и относительно новые методы нелинейной динамики.

20

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.