Кобрунов А_Мат методы модел в прикл геоф 2

Если температура в точке v меньше чем в ее окрестности, то это означает T t, v 0 и

t T t, v 0 . Скорость движения положительна и тепло движется к точке v . В противном случае

все происходит наоборот. Изменение температуры отрицательно и тепло уходит во вне.

Таким образом, отличие от нуля лапласиана от функции пространственных координат свидетельствует о ее «неравновесном» состоянии в тем большей мере, чем больше от нуля это отличие. Это обстоятельство служит хорошим ориентиром при осмыслении физической сущности явлений, описываемых уравнениями математической физики.

1.4.3 Метод функций Грина в теории моделирования процессов в

сплошных средах

Особенностью задач моделирования в науках о Земле служит то, что моделируемые объекты имеют пространственно-распределенные параметры и описываются, как правило,

уравнениями относительно функций, зависящих от пространственных и временной координаты.

Это могут быть параметры состояния среды – скорости фильтрации жидкости в различных точках или распределение напряжений в пласте. Это могут быть физические поля – гравитационное,

электромагнитное, поле времен прихода сейсмических возмущений в данную точку. Все они описываются с помощью уравнений, в качестве коэффициентов которых участвуют распределенные в пространстве параметры, характеризующие свойства среды. Это – распределение параметров упругости и следующих из них скорости распространения упругих волн, распределение плотности горных пород, распределение электропроводности и так далее.

При этом одни и те же уравнения, с точностью до названия входящих в них коэффициентов,

зачастую используются для описания различных физических процессов. Так, например явление теплопроводности и диффузии, а также некоторые уравнения фильтрации жидкости в пористых средах описываются уравнением, в которое входит производная по времени от изучаемой величины, выраженная через лапласиан от этой же величины. Кроме того даже различные на первый взгляд уравнения, используемые в различных задачах после некоторых подстановок сводятся к однотипным уравнениям, которых совсем не так уж много и которые допускают некоторые унифицированные подходы к решению. Еще раз подчеркнем, что главной особенностью задач моделирования в науках о Земле служит наличие пространственно-

распределенных параметров, входящих в уравнения.

тензорной. Это может быть, например, распределение напряжений в среде, вызванное сейсмическим возмущением, и тогда это распределение тензоров напряжений зависящих от

171

пространственных координат и времени. Это может быть распределение температуры и тогда это

скалярная величина. Это может быть напряженность гравитационного поля, и тогда это

стационарная векторная величина. Здесь мы не рассматриваем теорию для этой величины.

Например, теорию электромагнитного или гравитационного поля. Это предмет специальных

дисциплин. Важно лишь то, что эти величины подчиняются некоторому дифференциальному

уравнению, следующему, например, из законов сохранения, так как это демонстрировалось в

разделе 2.1. Это дифференциальное уравнение линейно относительно моделируемой величины

Q x и справедливо в некоторой области V , n -мерного евклидова пространства имеющего

границу V , начиная с некоторого момента времени t0. Дифференциальный оператор,

соответствующий уравнению обозначаем L Q x а само уравнение записывается в виде:

L Q t, v f t, v , v V , t t0. (1.4.13)

Здесь f t, v имеет смысл источника величины. Таков, например, источник в уравнении теплопроводности для установившегося теплового режима:

div k v grad T t, v f t, v .

условиями, где , N – линейные операторы.

Одним из основных результатов теории дифференциальных уравнений в частных производных, обеспечивающих возможность унифицированного подхода к их рассмотрению,

состоит в том, что в задаче (1.4.13–1.4.15) можно краевые и начальные условия свести к стандартной форме – нулевым значениям. При этом функция f t, v , входящая в (1.4.13),

изменится на w t, v , вид которой зависит от g t, v и Q0 v [5]. Точнее справедлив такой результат:

Задача (1.4.1–1.4.3) эквивалентна задаче

172

где w t, v линейно зависит от f t, v , g t, v , Q0 v . Эта функция называется

стандартизующей функцией задачи (1.4.13–1.4.15), а ее запись (1.4.16–1.4.18) называется стандартной формой для (1.4.13–1.4.15).

Используем далее дельта функцию Дирака ( ) , которая определяется двумя условиями:

1. d 1, где S 0 – произвольный элемент объема для переменной для

S 0

которого начало координат – точка «0» служит внутренней (содержит шар некоторого ненулевого радиуса). Например, это шар сколь угодно малого радиуса, охватывающий начало координат.

2. Для любой (например, непрерывной) определенной на множестве, включающем S 0

функции f s :

f d f 0 .

S 0

Отсюда, в частности, следует, что любую функцию q s можно представить в виде:

f s f s d .

S 0

Это разложение аналогично представлению сигнала q si в виде последовательности его

Из теории линейных систем известно, что если откликом на единичный импульс (i)

описывающих поведение непрерывных функций как решений линейных уравнений в частных

173

производных. дельта функции Дирака обладают рядом важных свойств, следующих из свойств 1–

2:

f k x d f k x

S 0

где k – символ k -ой производной;

ax 1a x , a 0 ;

То решение задачи (1.4.16–1.4.18) имеет вид:

174

соответствует решению уравнения (1.4.1) с нулевыми краевыми и начальными условиями для импульса внешних сил, сконцентрированных в точке в момент времени .

Тот факт, что уравнения (1.4.13–1.4.15) инвариантны относительно сдвига во времени означает, что переменные t и входят в функцию Грина в виде разности. Инвариантность уравнений относительно пространственных сдвигов влечет зависимость функции Грина от переменных v и только в виде их разности v . Сдвиговые симметрии представляют собой весьма распространенный вид симметрий. Поэтому в обозримых для приложений случаях переменные t, , v, в функции G t, , v, организованы так, что она зависит от разности t и

, v и , и имеет вид G t , v .

Некоторые частные случаи.

Если задача (1.4.13–1.4.15), стационарна, что означает независимость от времени всех ее компонент, то и начальные данные в ней отсутствуют. Тогда ее стандартной формой служит

Функция Грина G v, естественно также не зависит от времени и аналогом (1.4.10)

служит:

Аналогичен и другой частный случай. Если задача не зависит от пространственных координат, а только от времени (таким образом, речь идет об обыкновенном дифференциальном уравнении), то отсутствуют уже краевые условия и стандартной формой служит:

175

Функция Грина G t, такой задачи не зависит от пространственных координат, а

решение (1.4.26–1.4.27) имеет вид:

Q t G t, w d

Представление решений с помощью интегралов от функции Грина и эффективных источников w t, v называется истокообразным или интегральным представлением решения. Это весьма наглядная, физически осмысленная форма представления решений, дающая определенные преимущества в вычислительном отношении при конструкции численных схем моделирования, но еще более важная при постановке и исследовании свойств обратных задач,

состоящих в реконструкции источников по наблюдаемым распределенным параметрам физического поля.

В справочной литературе (см., например [5]) приведены достаточно подробные таблицы функций Грина для широкого класса дифференциальных операторов.

Вот некоторые примеры.

Рассмотрим уравнение Пуассона, используемого, например, для описания распределения потенциала электрического, магнитного полей, стационарного распределения температуры под действием постоянного источника тепла и многие другие физические эффекты:

Функция Грина G v, v0 такой задачи равна (Бутковский А. Г., стр. 148):

Теперь, пользуясь (1.4.25) легко записать решение задачи (1.4.28):

Как и следовало ожидать, это хорошо известный в теории потенциала интеграл Пуассона.

Другой очень важный случай – это параболические уравнения второго порядка,

описывающие процессы поглощения, рассеяния, диффузии, теплопереноса и многие иные явления эволюционного типа. Наиболее распространенная их форма такова:

176

v , t 0.

Наблюдая изменения температуры на некоторой поверхности S , можно ставить задачу реконструкции первоначального распределения температуры во всей области, либо, если последняя известна, задачу реконструкции коэффициента температуропроводности и связанного с ним плотностного распределения.

Следующий пример относится к гиперболическому уравнению, описывающему процессы распространения волн. Это уравнение таково:

177

С использованием функции Грина достаточно просто построить формулу Даламбера для решения волнового уравнения, уравнение Кирхгоффа для продолжения волновых полей и весь тот арсенал средств, которые используются в современных линейных теориях распространения сейсмических волн. Это предмет специальных рассмотрений. Приведем лишь некоторые конечные формулы, выражающие в интегральной форме значение функции Q t, v в точке v по

известным значениям на некоторой поверхности S , охватывающей точку v и ее самой Q t, v S

источники присутствуют и локализованы в области V , не включающей в себя точку v , в которой

178

Ее решение доставляется следующей формулой:

179

1.5 Методы нечеткого моделирования

1.5.1 Функции принадлежности

Моделирование в условиях неопределенности весьма распространенная задача.

Рассмотрена во многих учебных пособиях как общего так и специализированного типа. Из общих отметим [6]. В геофизических приложениях стартовая работа [7], посвященная созданию метода нечеткого моделирования при изучении взаимосвязей между геофизическими параметрами послужила основой для дальнейшего развития этого подхода в метод нечетких петрофизических композиций [8] при прогнозировании петрофизических параметров, его адаптацию к условиям конкретных месторождений [9] и, в конечном итоге, созданию технологии прогноза подсчетных параметров при оценке запасов углеводородов на основе метода нечётких петрофизических композиций [10]. Мы следуем этому пути при изложении материала.

В основе методов изучения закономерностей в науках о земле лежит, прежде всего,

анализ экспериментального материала, например петрофизических измерений, который представляет собой сопоставление и установление причинных связей между объектами различной природы. Так, например, при геофизических исследованиях в скважинах,

экспериментально в лабораториях устанавливаются связи между измеряемыми электрическими параметрами – удельным сопротивлением горных пород, и величинами коэффициента пористости. При моделировании процессов разработки нефтяных и газовых месторождений устанавливаются связи между гидродинамическими параметрами, продуктивностью и проницаемостью, при моделировании строения осадочных бассейнов по геофизическим данным устанавливаются связи между скоростью распространения продольных волн и плотностью горных пород. Далее, установленные, как правило, методами статистической обработки, эти связи используются для прогнозирования одних параметров (например, пористости или плотности) по другим (например, электрическому удельному сопротивлению или скорости продольных волн).

Эти связи носят чаще всего корреляционный характер, и реальный экспериментальный материал заменяется полученными законами, которые после оценки меры тесноты связи (например,

коэффициента корреляции для линейных связей или дисперсионного отношения для нелинейных), переносится на изучаемый объект. Этот путь является общим и является источником очень многих ошибочных заключений, которые «стоят» достаточно дорого, от неверно выбранных условий вскрытия и режимов эксплуатации скважины до ошибок в точках заложения скважин и представлений о запасах и ресурсах регионов. Источники этих ошибок состоят, во-первых, в

ошибочном переносе связей, полученных в одном районе (территории, скважине, интервале) на другой, а во-вторых, в необходимости при использовании статистических методов обработки пользоваться достаточно спорными предположениями. Эти предположения состоят, например, в

том, что заранее, «на основе изучения характера измеренных величин», допускается возможность

180