Кобрунов А_Мат методы модел в прикл геоф 2

представителями этих приёмов служат метод полного нормированного градиента В. М. Березкина и метод яркого пятна при решении задач выделения аномальных зон в геологической модели.

Эффективный параметр не имеет размерность конкретного физического параметра, а даже если и имеет, то рассчитанное от него с помощью уравнений математической физики поле не соответствует исходному. Это принципиально важное свойство эффективных моделей. Этот параметр подобен изображению объекта в инфракрасном диапазоне излучения – несёт о нем полезную информацию, но отличается от того, что видно в обычном – видимом диапазоне спектра. Эту аналогию можно продолжить, считая модели эффективного параметра некоторыми специального вида изображениями реальной среды, возможно и в некотором «экзотическом» свете.

Формально эквивалентные модели представляют собой особый класс моделей среды.

Как уже указывалось при обсуждении интерпретационной модели, характерной чертой обратных задач геофизики является неоднозначность их решения. Это фундаментальное свойство,

называемое эквивалентностью, состоит в том, что одному и тому же полю соответствует бесконечно много распределений физического параметра, различающихся существенно между собой, но эквивалентных по полю. Это формально эквивалентные модели. Их бесконечно много,

даже в том случае, если конкретная вычислительная технология построения распределения физического параметра приводит лишь к одному решению. Это может достигаться особенностями алгоритма либо выбором аппроксимирующей модели. Технология, приводящая к построению единственного решения, не сопровождающаяся тщательным геолого-геофизическим осмыслением и увязкой принципов, приводящих к выделению единственного решения, приводит к формально эквивалентной модели. Получаемая в результате решения обратной задачи формально эквивалентная модель, ни в коем случае не должна рассматриваться как итоговая, но должна быть рассмотрена как трансформация поля в распределение параметра с размерностью физического свойства, результат расчёта поля от которого приводит к исходному полю.

Формально – эквивалентная модель, в отличие от модели эффективного параметра, даже визуально может не напоминать «истинную» и отличаться от неё принципиально во всех отношениях, кроме эквивалентности по полю.

Комплексные модели представляют собой симбиоз различных моделей, приведённых к единому параметру (правильно говорить об интегрированной модели) либо систему содержательных и эффективных моделей.

3.9.2 Модели поля

Модели поля в содержательном отношении определены связями между моделью среды и полем. Что же касается формы, то модель поля может быть дискретной, что включает в себя описание поля в виде дискретных массивов значений, либо аппроксимационной.

281

Дискретная модель это простейшая модель, требующая уточнения лишь в том, что означают дискретные отсчёты и куда они отнесены. Параметрами этой модели служат область задания значений, координаты точек.

Аппроксимационная модель поля это способ его описания с помощью некоторого набора элементарных объектов – например элементарных полей. Исходное поле, заданное массивом своих значений заменяется набором элементарных объектов, с небольшим числом параметров – меньшим, чем число элементов массива, но так, что эта совокупность аппроксимирует исходные значения с точностью не хуже заданной. Этим приёмом достигается решение трёх задач: сжатие информации – описание большого числа элементов с помощью небольшого числа параметров;

анализ структуры поля по распределению значений параметров аппроксимирующих элементарных полей (это может быть полезным для формирования модели среды); фильтрация и борьба с помехами.

Приведённые способы описания поля могут быть применены для описания собственно модели физического поля или наблюдаемой, некоторой трансформанты – преобразования поля,

которое используется в уравнениях связи и в последующих процедурах реконструкции моделей среды либо атрибутов.

Атрибуты поля – понятие, более всего используемое в сейсморазведке [15]. К атрибутам поля относятся специального типа наблюдаемые, пересчитываемые в параметры модели среды по заданным экспериментально зависимостям. Это собирательное понятие. Для сложных многокомпонентных наблюдаемых атрибуты – это выделенные характеристики поля или его трансформант, которые составляют лишь часть наблюдаемых, используемых далее в специализированной для этих атрибутов технологии анализа. Цель этого анализа – оценка некоторых параметров введённой эффективной модели среды. Именно для характеристики этой части используется понятие атрибут с последующим его наименованием – например, атрибуты преобразования Гильберта

3.9.3 Модель связей

Модель связей представляет собой стержень конструируемого процесса для реконструкции параметров физико-геологической модели по моделям физических полей – решении обратных задач или решения задач моделирования параметров среды. Эти связи предопределяют суть процедур обработки, решения обратных задач и реконструкции модели среды – содержательной либо эффективной. Связи могут быть детерминированными,

статистическими и эвристическими.

Детерминированные связи имеют вид интегральных, дифференциальных уравнений. Это связи между физическими моделями среды и моделями физического поля – уравнения

282

математической физики. Они составляют вычислительную основу при реконструкции физических моделей и построении формально эквивалентных моделей.

Статистические связи основаны на выявленных корреляционно-регрессионных зависимостях между параметрами среды и, чаще всего, атрибутами поля. Статистические связи используются для построения моделей эффективного параметра, а при дополнительных условиях проверки и корректировки результата моделированием могут использоваться и для получения содержательных моделей.

Эвристические связи дают широкий простор для конструирования эффективных моделей среды. Типичным и, по видимому, непревзойдённым по эффективности примером эвристических связей служит метод полного нормированного градиента В. М. Берёзкина. Он основан на том, что эффективный параметр, называемый полным нормированным градиентом гравитационного поля,

отображает характеристики среды. Эта эвристическая связь основана на экспериментально установленном факте, состоящем в том, что экстремумы полного нормированного градиента пространственно-приурочены к аномальным зонам в изучаемой физико-геологической модели среды.

Другими примерами эвристических преобразований могут служить многочисленные процедуры параметрической фильтрации поля, основанные на таком же постулируемом предположении.

3.9.4 Синтез интегрированной ФГМ

Как указывалось ранее, Синтез результатов решений задач инверсии как элементов декомпозиции задачи системной инверсии основан на изучении сходимости процедур и наряду с формальным анализом контроля сходимости включает в себя и неформальный, основанный на группировании результатов. Группирование результатов это реконструкция интегрированной физико-геологической модели на основе решения системы частных обратных задач для геофизического метода или, что то же самое, задачи инверсии для соответствующей прямой задачи (уравнению математической физики). Этот этап описан как синтез моделей при системной инверсии в 3.6. Системный принцип реконструкции состоит в учёте взаимосвязи между элементами ФГМ и использовании её связи с геологической моделью в процессе инверсии. В

отличие от системного подхода, реконструкция конкретного элемента ФГМ по соответствующему отдельно взятому физическому полю не является реализацией системного принципа. Системный подход состоит в рассмотрении и учёте в процессе инверсии (системной) всех доступных связей между компонентами ФГМ. Например, в качестве системной постановки задачи синтеза ФГМ может рассматриваться задача нахождения системы содержательных элементов ФГМ, каждый из которых соответствует своей наблюдаемой, но в совокупности они обеспечивают максимальную связь с некоторым элементом геологической модели. Если последний неизвестен, то таким

283

системообразующим требованием может выступать требование максимального подобия между собой реконструируемых элементов ФГМ, среди всех теоретически допустимых комбинаций для наблюдаемых.

Рассматривая физико-геологическую модель среды как систему объектов в совокупности с их взаимосвязями, каждый элемент которой, в свою очередь есть также сложное образование на более дробном уровне рассмотрения, процесс извлечения информации из наблюдаемых данных о элементах этой системы (моделей сред) следует рассматривать адекватным аппаратом – интерпретационной системой. Интерпретационная система представляет собой совокупность взаимоувязанных элементарных методов синтеза (то же самое реконструкции) компонент модели среды, направленных на получение целостной картины строения среды в рамках выбранных её модельных представлений. Интерпретационная система включает в себя несколько различных методов инверсии, «настраиваемых» на особенности используемых модельных представлений по всему перечню приведённых классов моделей среды, моделей поля и моделей взаимосвязи между ними. Компоненты интерпретационной системы объединены логическими и технологическими связями, обеспечивающими взаимодополняемость результатов инверсии и технологическую совместимость процедур в едином интегрированном информационном пространстве системы. Объединение элементов инверсии для реконструкции компонент модели среды в единую интегрированную среду, представляющую собой интерпретационную систему,

осуществляется на основе единых соглашений о составе и форматах используемой входной выходной и промежуточной информации и методических рекомендаций о графе использованию технологий входящих в состав интерпретационной системы. Интерпретационные системы направлены на реконструкцию одной из компонент физико-геологической модели среды,

например плотностной или скоростной. В некоторых случаях происходит расширение интерпретационной системы за счет включения методов инверсии для других данных. Например,

к интерпретационным системам, направленным на реконструкцию скоростных моделей подключаются модули инверсии для скважинных данных, гравитационных или электрических полей. Такие расширенные интерпретационные системы называются интегрированными.

284

Глава 4. Моделирование системы прохождения сигнала

4.1 Модель информационного канала

Данные, которые получаются в результате экспериментов, к числу которых относятся все измерения в науках о Земле, являются фундаментальной основой для последующего анализа и выводов о строении как Земли в целом и происходящих в ней процессов, так и решения конкретно прикладных задач. Диапазон этих измерений велик и характер измеряемых величин разнообразен. Это сигналы, ассоциируемые с сейсмическими колебаниями, происходящими в Земле, и сигналами, приходящими из космоса – интенсивность солнечного ветра и других факторов, характеризующих влияние Солнца, геофизические поля Земли, такие как электромагнитное, гравитационное и многие другие. Это измерения физических свойств образцов горных пород и наблюдаемых в скважине или горных выработках физических параметров, таких,

как температура, дебит скважине и так далее. Поскольку все выводы делаются на основании получаемых результатов измерений то требования к объективности измерений, учету всех влияющих на результат факторов высоки. В противном случае все здание процесса познания оказывается «на глиняных ногах». В подавляющем большинстве случаев наивно было бы полагать, что результатом практического измерения какого либо параметра – например,

величины гравитационного поля в данной точке, служит само это поле. На самом деле величина силы притяжения в данной точке есть лишь одна из величин, влияющих на показания измерительного прибора. Обратившись, например, к схеме устройства кварцевого гравиметра,

предназначенного для измерения относительных приращений силы тяжести легко понять, что наблюдаемой величиной служит не приращение гравитационного поля, а угол на который следует закрутить винт, соединенный с пружиной, для того, чтобы натяжение пружины компенсировало отклонение коромысла, к которому прикреплен измерительный грузик (маятник). На этот угол влияет много факторов, которые учитываются разного рода поправочными коэффициентами и калибровками прибора. Но даже после всего этого сила притяжения – это только одна компонента силы тяжести. Есть еще центростремительная сила, влияние луны и других небесных и планетарных факторов. Аналогично дело обстоит и при записи сейсмических колебаний,

которые на самом деле представляют собой не амплитуду колебаний Земли, а величину электродвижущей силы, возникающей в катушке при ее перемещении относительно сердечника,

вызванного ускоренным движением прибора, называемого сейсмоприемником.

Выделяя основное в этапах измерения можно представить его схему следующим образом.

На вход информационного канала поступает сигнал f x . Далее он подвергается

преобразованиям, связанным с прохождением канала, после чего на этапе измерений происходит его искажение в измерительной системе.

285

Преобразующая система Измерительная система

Рисунок 4.1 – Информационный канал

y x – реально измеряемый – исходный для анализа сигнал;

y0 x – идеальный измеряемый сигнал, который был бы получен при отсутствии каких либо зашумляющих факторов;

x – оцениваемый сигнал;

f x – возбуждающий сигнал;

x – параметры изучаемой системы.

n – аддитивные помехи;

*N – мультипликативные помехи;

x G f x – неконтролируемые искажения связанные с неучтенными

эффектами.

Информационный канал это условное название всей совокупности преобразований происходящих с сигналом возбуждения f x в изучаемой и измерительной системах, до наблюдаемого на выходе измерительной системы сигнала y x . Измеряемый сигнал y x – это реально получаемые исходные данные для оценки поданного на вход измерительной системы сигнала x необходимого, в конечном итоге для оценки параметров x возбуждаемой изучаемой системы. Возбуждающим систему является сигнал, f x , переводящий изучаемую

систему, характеризующуюся пространственно-временным распределением параметра x ,

условно называемым «параметры среды», в состояние u x известным способом, описываемым

286

возбуждаемого сигнала f x . Одновременно с этим система приобретает и еще некоторое качество x формально описываемым способом x G f x , но вид оператора G

остается неопределенным. Например, в результате возбуждения сейсмических волн ( f x )

происходит не только процесс формирования и распространения заданных типов волн ( u x ) по известным уравнениям их распространения, но и накачка всей системы энергией, которая излучается в виде некоторого эмиссионного излучения x . Строгие уравнения и законы здесь пока отсутствуют, но факт формирования фонового излучения акустической или сейсмической эмиссии известен. Именно это обстоятельство учитывается компонентой x G f x . Эти две компоненты смешиваются и взаимодействуют между собой, передавая часть энергии от одной к другой, формируя итоговый параметр x . Это уже практически не контролируемый процесс, который между тем следует иметь в виду при интерпретации результатов экспериментов. Далее в процессе движения по информационному каналу поступающая суперпозиция x сигналов u x и x поступает на вход измерительной системы (канала),

где, во-первых, искажается за счет несовершенства измерительной аппаратуры, что описывается мультипликативной операцией *N , а во-вторых, осложняется аддитивным шумом – помехой n .

Можно представить себе действие *N как результат воспроизведения хорошей пластинки с музыкой (кто еще помнит виниловые пластинки) с помощью старенького, видавшего виды граммофона. Действие n – это шум проходящих мимо автомобилей и звуки из соседней квартиры. Это – достаточно общая, хотя и не универсальная схема измерения, в которой практически следует вводить упрощающие предположения. Их характер зависит от задач,

которые ставятся при анализе реально измеряемого анализируемого сигнала y x .

4.2 Основные понятия теории сигналов

4.2.1 Типы сигналов

Регистрируемые сигналы классифицируются в зависимости от своего происхождения, по характерным особенностям. В зависимости от этого применяются различные способы описания сигналов, и следующие отсюда особенности аппарата их анализа.

Первоочередными характерными особенностями сигнала служат:

1. Размерность.

287

2.Область задания.

3.Детерминированность.

Размерность сигнала это число переменных, с помощью которых он описывается Если таких переменных одна, то сигнал одномерен и общее условное имя этой переменной – время – t . Другим названием для таких сигналов служит «временной ряд». Роль времени может играть как собственно время, например, в случае регистрации сейсмических импульсов, так и

пространственная координате – например, глубина при записи каротажной кривой.

Если таких переменных больше чем одна, то сигнал называется многомерным, а сами переменные обозначаются мультисимволом x {xi ,i 1, 2,...N}. Число переменных от которых зависит сигнал называется размерностью сигнала. Сам сигнал представляется как значение

некоторой величины y в зависимости от значения переменных

записывается в виде y x . Возможны случаи, когда сама величина y при фиксированном x

представляет собой некоторый сложный, например многомерный объект – вектор либо тензор.

Она может оказаться и оператором на соответствующем пространстве функций и тогда y x есть

семейство операторов, зависящих от параметров x {xi ,i 1, 2,...N}. Для таких сигналов

употребляется термин, характеризующий пространство значений сигнала, например:

векторнозначный; тензорнозначный; или операторнозначный сигналы. Если уточнение об области значения сигнала отсутствует, то областью значений служит обычные вещественные или комплексные числа, что уточняется.

В частном случае, когда роль переменных играют пространственно-

временные координаты используется и более частное обозначение x {t, x, y, z} либо x {t, v} ,

где v x, y, z x1 , x2 , x3 . Для переменной t также зарезервирован символ x0 , так, что x {x0 , x1 , x2 , x3} Совокупность {v, t} записываем x {v,t} .

Дискретность и непрерывность сигнала характеризует область его задания – возможные значения переменных, описывающих сигнал. Если сигнал задан своими отсчетами в дискретном множестве точек, то такой сигнал называется дискретным. Количество точек задания сигнала может быть конечным либо бесконечным (например, во всех значениях пронумерованных натуральным числовым рядом). В первом случае говорят о сигнале, состоящем из конечного числа отсчетов. Во втором – из бесконечного. Если сигнал задан для всех точек области допустимых значений переменных и эта область такова, что имеет хотя бы одну внутреннюю точку22, то сигнал задан континуально или, употребляют не совсем точное название – непрерывно. На самом деле свойство непрерывности сигнала строго говоря относится к аналогичному свойству функции, с

22 Внутренняя точка это точка, содержащая начиная с некоторого малого все шары радиуса меньше .

288

помощью которой происходит описание сигнала. Сигнал может иметь конечную длительность – область значения переменных сигнала конечна и бесконечную – сигнал определен для бесконечной области задания переменной. Непрерывные (континуальные) сигналы задаются по образцу задания функций и характеризуются всем тем аппаратом, который развит для теории функций. Дискретные сигналы задаются своими значениями в точках установленных перечнем аргументов, индексированных натуральным рядом, в частности так: сигнал y x j задан в точках

дискретный аналог y j y x j просто выбрав соответствующие значения непрерывной функции.

Эта процедура называется «дискретизация». Она несомненно ведет к искажению и потере информации. Они связаны с тем, что в дискретном аналоге могут быть пропущены некоторые важные характеристики исходного сигнала, попавшие в интервал между двумя точками дискретизации. Но могут наблюдаться и просто искажения, если дискретная природа возникла в результате осреднения значений или функций от них в некотором интервале. Например,

показания многих приборов измеряющих интенсивность радиоактивного излучения представляют собой усредненные значения интенсивности за некоторый промежуток времени. Поэтому отсчеты следуют один за другим через интервалы времени, равные интервалу осреднения. Но для целей анализа по ряду причин бывает удобно оперировать с непрерывными сигналами. В числе этих причин возможность использования аппарата теории функций и интегральных преобразований.

Перейти от дискретного сигнала y j к его непрерывному аналогу y x можно многими

разными способами, приводящими к различному результату. Если переход осуществляется так,

исходный дискретный абсолютно точно совпадают: y j y x j , то такой переход называется

интерполяцией. Если допустимо приближенное равенство: y j y x j , то такой переход

называется аппроксимацией.

Примеры дискретных сигналов.

Импульсы Кронекера j представляет собой единичный импульс для нулевого

отсчета и нулевой импульс для всех остальных отсчетов:

289

Детерминированность сигнала. По своей природе сигналы могут быть детерминированными и случайными. В первом случае они описываются с помощью зависимостей, однозначно ставящих в соответствие аргументу – значение. Это могут быть разные зависимости – периодические или нет, заданные на конечном или бесконечном интервалах. Во втором с помощью случайных функций. Напомним, что случайной функцией мы называем

D y . Если случайная функция одномерна и зависит только от времени, то случайная функция

y x называется случайным процессом или случайным временным рядом. Таким образом,

случайный процесс – это частный случай случайной функции, имеющей только один аргумент.

СИГНАЛ

Квантованные сигналы

Рисунок 4.2 – Классификация сигналов

290