Кобрунов А_Мат методы модел в прикл геоф 2

флюидов, тепломассоперенос и конвекция. Целью такого изучения служит создание взаимоувязанных, разноплановых моделей сред и моделей происходящих в них процессов.

Рассмотрение объектов моделирования как систем обеспечивает их более глубокое изучение за счёт эффекта синергизма, состоящего в получении большего объёма информации от изучения объекта как системы, чем информации от изучения суммы его частей. Это происходит за счёт того,

что связи между элементами системы обеспечивают более жёсткую привязку разноплановых моделей. В этом случае, за счёт связей, вариации каждой из моделей ведут к изменениям и в остальных моделях, которые должны быть непротиворечивы с той информацией, на основе которой они построены. Этот вопрос будет обсуждаться отдельно при моделировании сред по геофизическим полям.

В науках о Земле задачи моделирования можно условно расчленить на три главных компоненты.

Моделирование сред

Моделирование полей

Моделирование процессов

Это тесно связанные между собой задачи, определение каждой из которых опирается на другие задачи, переплетающиеся в комплексные задачи моделирования и, в конечном итоге познания, однако всегда сохраняющие свою специфику.

Задачей моделирования сред служит, прежде всего, изучение этих сред. Способом такого изучения служит построение системы элементов геологической или физико-геологической модели совместно с взаимосвязями между их параметрами и соответствующими физическими полями. Построенная непротиворечивая система моделей среды взаимоувязанной по параметрам с различными своими компонентами и соответствующими физическими полями принимается за результат моделирования среды. Процесс такого моделирования включает в себя решение частных обратных задач пометодного моделирования среды. Обратная задача или задача инверсии состоит в нахождении модели среды по известной ей соответствующей модели физического поля. Используя термин «обратная задача» или «инверсия» следует уточнить, для какого физического поля эта процедура реализуется. Употребляется термин – обратная задача

(задача инверсии) для соответствующего уравнения математической физики или соответствующего оператора прямой задачи. Это эквивалентные термины. Например,

построения плотностной модели как компоненты физико-геологической модели,

соответствующей заданному гравитационному полю – обратной задачи гравиметрии. Или задача инверсии для оператора прямой задачи гравиметрии.

Задачи моделирования полей, как правило, носят подчинённый характер и состоят в расчёте модели поля для конкретного содержательного элемента физико-геологической модели среды. Например, это задача расчёта компонент гравитационного поля по заданной

251

предполагаемой плотностной модели. Такой тип задач носит также название решение прямой задачи. Этот этап является промежуточным для решения задачи моделирования среды и, в

частности решения пометодных обратных задач или задач инверсии.

Задача моделирования процессов служит, как правило, для изучения, уточнения, и

предсказания результатов процессов, происходящих с элементами геологической и физико-

геологической модели среды. Например, моделирование процессов образования соляных диапиров под влиянием силы тяжести вышележащих пород на основе решения уравнения вязких течений, служит, прежде всего, проверкой гипотезы о возможном механизме формирования подобных структур. Точно также моделирование процессов движения под действием прилагаемых сил используется для изучения и уточнения геодинамических факторов, приведших к современным наблюдаемым структурам. Моделирование процессов изменения дебита скважины под действием закачки теплоносителя, служит решению задачи предсказания этого дебита при различных параметрах и выработки оптимальной стратегии разработки месторождений высоковязких нефтей.

Предмет моделирования называется моделируемый объект, или просто объект и всегда является элементом системы.

Термин «Система» происходит от греческого слова, означающего целое, составленное из частей. Другое понимание этого термина: порядок, определённый правильным расположением частей и их взаимосвязями.

Система – это совокупность элементов, находящихся в отношениях и связях друг с другом и внешней средой, образующих определённую целостность, единство.

Понимание того обстоятельства, что моделируемые в науках о Земле объекты суть элементы системы есть по сути главное отличие высокопрофессиональной деятельности инженера и научного работника от исполнителя, выполняющего конкретные действия по заданным технологиям.

Основополагающим принципом системного анализа служит то, что всякий моделируемый объект является элементом взаимодействующих между собой элементов системы. Этот принцип эквивалентен принятию Системного подхода в задачах моделирования в науках о Земле.

Он включает в себя:

Принцип всеобщей связи – система выступает как проявление универсального взаимодействия всех своих элементов.

Принцип иерархии – система представляет собой соподчинённое образование.

Принцип формализации – любая система может быть представлена формальными логическими и математическими моделями.

252

Система по определению не может быть сведена к совокупности независимых друг от друга элементов, но есть образование объектов с установленным порядком – взаимосвязями и взаимозависимостями между ними. В задачах моделирования в науках о Земле принят

конструктивный подход к системе, который предполагает построение структуры системы на основании заданных требований к её элементам – объектам моделирования.

В зависимости от конкретной задачи объектом моделирования может выступать среда, и

связанные с ней физические поля, например геологическая среда на разных уровнях – литосфера,

зоны нефтегазонакопления, пластовые системы, им соответствующие физические поля, которые носят подчинённый характер. Другим компонентом объекта моделирования служат процессы,

которые происходят в среде. Таковы, например тектонические движения, осадконакопление,

движение флюидов в пластовых системах.

Свойства среды, которые называются её состоянием, объективно неразрывно связаны с процессами, происходящими в среде включая прямое влияние на характер происходящих процессов. Так, например, в зависимости от фазового состояния вещества «включаются» совершенно разные процессы его движения. При этом само разделение объекта на состояние и происходящие в нем процессы субъективно, достаточно условно, приближённо, и есть упрощающий приём в рассмотрении объекта как системы взаимосвязанных состояний и процессов. Моделируемый объект всегда является элементом чего-то более общего, и это более общее оказывает на него влияние. Это влияние называется внешними факторами, которые оказывают действие и на состояние среды и на происходящие в ней процессы. В свою очередь это более общее может быть (и обязательно является) элементом чего-то ещё более общего и так далее. Однако учёт всего этого иерархического многообразия включений возможен на уровне уже введённых внешних факторов к моделируемому объекту. Влияние разных уровней может быть сведено к внешним факторам для рассматриваемого уровня. Сами внешние факторы складываются из действий многих внешних систем, но по своему влиянию на рассматриваемый уровень эти этажи можно заменить одним уровнем. В этом состоит Принцип локализации задачи:

влияние всех уровней определяющих поведение моделируемого объекта может быть сведено к унифицированному внешнему фактору вне зависимости от сложности подсистем, формирующих эти факторы.

Этот приём обеспечивает возможность конструктивного подхода к моделированию полей сред и процессов, поскольку взаимодействие элементов системы при моделировании каждого из них на своём масштабном уровне заменяется влиянием унифицированных внешних факторов. Он носит универсальный методологический характер обеспечивающих конструктивность решения задач моделирования сложных систем. Направлен на то, чтобы сложную систему, состоящую из многих уровней привести к более простой форме – выполнить своего рода агрегирование различных уровней к одному уровню системы – заменив влияние различных компонент других

253

этажей одним влиянием внешних факторов на избранный уровень. Это обеспечивает преобразование взаимодействий в модели к меньшему числу параметров, за счёт объединения и приведения разноуровневых внешних факторов к меньшему числу и единой форме.

В качестве примера приведём модель формирование соляного диапира. Основным механизмом этого процесса служит выдавливание соли под действием веса вышележащих пород.

На приводимом рисунке (по материалам Измаил Заде) демонстрируются этапы создания соляного диапира в последовательные моменты времени (А, Б, В, Г, Д, Е).

В то же время зона формирования диапира могла находиться в обстановке возрастающих тектонических нагрузок, а в число последних входили и движения плит как системы, включающей в себя внешние относительно сил формирования соляного диапира, факторов. Однако все они включены как единые силы, распределённые в пространстве и внешние относительно гравитационных сил, выделенных как основной компонент процесса формирования соляного диапира. Второй принцип системного анализа в определённом смысле ассоциируется с утверждением для эволюционирующих систем о том, что будущее состояние системы полностью предопределено её состоянием в настоящем, вне зависимости от предыстории – того, как она оказалась в этом настоящем положении. Аналогично – имеют значение лишь суммарные внешние факторы, а не то, откуда они взялись, и какую имеют природу.

Рисунок 3.1 – Модель процесса формирование соляного диапира по Измаил Заде

254

3.2 Принципы системного анализа при моделировании геологических сред.

Первый принцип системного анализа комплекса данных состоит в том, что геологический объект рассматривается как система своих образов – содержательных физико-геологических моделей с присущими им наблюдаемыми функциями геофизических полей, параметрами,

отображениями параметров в наблюдаемые, и связями с параметрами между собой и параметрами других физико-геологических образов изучаемого объекта. Этот объект можно рассматривать как обобщённую физико-геологическую модель, а её частные образы – содержательными элементами физико-геологической модели (ФГМ). Например, может быть плотностная ФГМ, скоростная, структурная, модель электропроводности и так далее.

Рисунок 3.2 – Компоненты обобщённой физико-геологической модели

Уже столь общее определение первого системного принципа ведёт к конструктивным результатам, содержание которых будет раскрыто далее, а суть состоит в том, что критерием отбора элементов из класса эквивалентности по наблюдаемой для каждой из содержательных ФГМ может служить принцип подобия различных элементов ФГМ. Это правило снижает эффект эквивалентности присутствующий при конструировании сложных физико-геологических моделей.

Второй принцип системного анализа комплекса геолого-геофизических данных состоит в том, что моделирование наблюдаемых компонент геофизических данных выбранными отображениями, реализуемыми, аналитически либо алгоритмически определёнными зависимостями, адекватны природным законам. Этот принцип утверждает, что всякая итоговая содержательная физико-геологическая модель должна соответствовать с требуемым уровнем приближения своему полю – наблюдаемой и найдена в результате процедуры инверсии для этого поля.

Третий принцип системного анализа состоит в том, что все содержательные ФГМ имеет общую историю формирования, определённую историей формирования исходного объекта. Этот

255

принцип означает, что должны существовать эволюционно динамические законы, и управляющие ими геодинамические параметры, которые контролируют развитие объекта от некоторого стартового состояния к современному, соответствующему всем имеющимся наблюдаемым.

Все эти принципы являются конструктивными в том понимании, что приводят к конкретным уравнениям и законам, входящих в постановку задачи системного анализа, в

совокупности своей, определяющей конструктивную группу алгоритмов синтеза обобщённой физико-геологической модели.

3.3 Первый принцип системного анализа

3.3.1 Идентификация моделей. В соответствии с первым принципом системного анализа,

изучаемый объект рассматривается как система содержательных физико-геологических моделей.

Каждая модель имеет свой идентификатор – имя модели В перечень содержательных элементов (СФГМ) определяющих обобщённую физико-

геологическую модель (ОФГМ) входят:

-группа геологических моделей из СФГМ Gi (Ti ),i 1 NG ;

-группа физических моделей из СФГМ i (Mi ),i 1 N .

Gi , i можно воспринимать как идентификаторы моделей, а Ti , Mi их параметризации.

NG , N – число вводимых геологических и физических моделей. Если i ,Gi , например, функции

пространственных координат, или их аппроксимации заданными множествами, то Mi ,Gi –

параметры, заданием элементов которых конкретизируется элемент из i ,Gi . Эти параметры

носят характер пространственно-распределённых и определяют распределение физического или геологического параметра в пространстве. Например, если M набор элементарных

призматических тел: цилиндры, уступы, призмы – служащих для описания плотностной модели среды, то M – параметры этих объектов, а элемент m M характеризует параметры конкретной

геометрии призматической конструкции. Другой пример: – класс скоростных

распределений, описываемых непрерывной функцией, локализованной в некоторой области V .

Элементами M служит распределение пространственных координат из области V

характеризует множество допустимых функций пространственных координат, аппроксимирующих скоростные неоднородности. В данном случае параметризация M бесконечномерна и переход к конечномерному случаю осуществляется стандартными средствами вычислительной математики – за счёт использования рядов, сеточных аппроксимаций или их обобщений методом конечных элементов. Особенностью группы физических моделей ( i (Mi ),i 1 N ) служит то,

256

что параметры Mi , служащие для конкретного описания их элементов входят в уравнения и

законы, определяющие наблюдаемые геофизические поля либо их атрибуты ui . Физическая модель геологической среды – это модель свойств m ,m M , из M непосредственно поддающиеся измерению физическим экспериментом и отражающихся в изучаемых физических

литологическая G1 (T1 ) , стратиграфическая G2 (T2 ) , тектоническая, структурно геологическая,

фациальная и так далее. Конкретный перечень и параметризация устанавливаются с учётом объективных данных ограничивающих доступную информацию об этих моделях. Особенностью группы геологических моделей служит отсутствие прямых отображений параметров Ti из её группы в наблюдаемые геофизические поля. Геологическая модель gG t , t T из G(T ) не

имеет непосредственного отображения в физических полях. Включается в предмет рассмотрений в связи с наличием опосредованных связей геологической модели с геофизическими полями через физико-геологические зависимости.

3.3.2 Связи в ФГМ.

Совокупность содержательных ФГМ (СФГМ) относится к единому объекту, что проявляется не только в общем принципе подобия, но и в наличии взаимосвязей между параметрами,

характеризующими элементы СФГМ. Связи между параметрами модели разделяются на внутренние – устанавливающие ограничения и связи между различными компонентами внутри одной и той же модели, и внешние – связи между параметризациями для различных моделей.

3.3.2.1 Внутренние связи включают в себя:

-ограничения типа неравенств на значения параметров , например M ;

-уравнения взаимозависимостей или меры подобия (например корреляции) между различными компонентами параметров R . Например, задание матрицы корреляций между

различными границами одной и той же структурной модели;

- ограничения диапазона допустимых значений: Im M σi . Здесь σ j , j 1,... либо

конкретное значение, либо интервал значений параметра v . Например, плотность геологических объектов в изучаемой области может принимать значения: 2.3; 2.56; 2.6–2.65; 2.8.

Легко понять, что это совсем иное, чем ограничения типа неравенств. Такие ограничения следует вводить в случаях, когда известны классы допустимых объектов, но неизвестно их место расположения. Эти ограничения записываем в форме

257

3.3.2.2 Внешние связи заданы между параметрами различных компонент ОФГМ.

Выделяют:

- функциональные зависимости;

- корреляционно-регрессионные зависимости;

- отношения между функциями принадлежности для нечётких множеств Все они формально выражаются в виде принятия системы зависимостей:

j σΨ , gG 0

; (3.3.1)

j 1,...N .

Особо следует обратить внимание на ту часть из них, которые, обеспечивая зависимости между геологическими и геофизическими параметрами, дают возможность реконструировать параметры геологических моделей gG по заданным физическим σΨ моделям.

В той части геолого-геофизических параметров, в которой такие зависимости существуют,

возможна постановка задачи геологической интерпретации геофизических данных – реконструкция геологической модели среды по наблюдаемым геофизическим полям. Всякая неопределённость такого прогноза означает принципиальную неопределённость, не прогнозируемость компонент геологической модели. В этой связи, установление обозначенных геолого-геофизических связей эквивалентно обоснованию возможности геологической интерпретации геофизических данных. Установление таких связей осуществляется, в том числе, с

привлечением аппарата обучения на контрольных, тестовых объектах.

3.3.3 Единство прообраза. Ещё одним существенным следствием первого системного принципа, служит сам факт существования единого прообраза для всех содержательных физико-

геологических моделей. Если существование отображений одних параметров в другие позволяет выразить одни через другие, за счёт чего существенно снизить неоднозначность задачи реконструкции моделей, то в их отсутствии такая последовательность действий неприемлема. Она может оказаться неприемлемой и в том случае, когда эти связи установлены, но с большими погрешностями, что фактически всегда имеет место, и последующем распространением этих погрешностей на результат реконструкции.

Вместо использования отображений одних параметров в другие первый принцип системного анализа позволяет воспользоваться критерием близости разноплановых содержательных ФГМ как различных образов одного и того же объекта. Это схематично изображено на рис. 3.3.

258

В значительном числе случаев, в качестве такого исходного интегрального уравнения может использоваться представление решения дифференциального уравнения в виде интеграла от функции Грина. G t, , v, [17]

t0 V

где u t, v – расчётное нестационарное физическое поле. Последнее уравнение существенно упрощается в случае инвариантности исходного уравнения относительно пространственных и временных сдвигов. В этом случае функция Грина зависит лишь от двух переменных: t, v и

уравнение (3.3.3) принимает вид:

Следует заметить, что это суть общее выражение линейного ограниченного оператора в Гильбертовом пространстве.

Задаче построений функций Грина для различных уравнений математической физики в геофизике посвящено большое число работ, и наибольшее развитие это направление получило в связи с задачами волновой теории в сейсморазведке (интеграл Кирхгофа), электродинамики [18, 19 и

др.].

определением значений m параметров из M . Подставляя эту аппроксимацию в (3.3.4) получаем

260