Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Кобрунов А_Мат методы модел в прикл геоф 2

.pdf
Скачиваний:
41
Добавлен:
02.03.2016
Размер:
10.74 Mб
Скачать

измерительной системы. Она не должна зависеть от вида возбуждающих сигналов f x или

параметрами изучаемой системы x , а также присутствующих в них аддитивных погрешностей

n x . Конструируемый оператор инверсии (процедура) должна быть применима к серии близких

систем, различающихся, например, в пределах погрешностей аппаратуры (оператора N x ).

Оператор R

должен быть приемлем для изучения родственных измерительных систем, быть

определен на некотором классе Q допустимых измеряемых сигналов –

y x Q . Результатом

его применения

служит многообразия W возможных оценок

для

u x

соответствующих

многообразию

G

допустимых

мультипликативных операций

N x N0

x N x G .

Кроме того, сама процедура R

должна искаться на некотором классе допустимых процедур,

например линейных, дающих однозначный результат, и устойчивых к погрешностям во входных

данных. Считаем, что многообразия Q и W есть подмножества нормированных, например

гильбертовых пространств Y и U соответственно: y x Q Y , u x W U . Операторы из

G образованы некоторым подмножеством линейных ограниченных операторов из U в Y . Класс таких операторов, составляющих класс операторов инверсии, обозначим (U ,Y ) , а множество

есть определенное, тем либо иным способом подмножество из линейных ограниченных

преобразований нормированного

пространства

Y

в

нормированное пространство U :

(Y ,U ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теперь можно определить требования к процедуре инверсии R ,

которая представляет

собой отображение из , дающую наилучший способ оценивания сигнала u x

по исходным

данным y x Q Y .

 

Эти

требования

состоят в

том, чтобы

среди

всех

возможных

альтернативных к R способов

R , выбранный

(т.е. R ) обеспечивал

наименьшую

погрешность при оценке любых допустимых данных из

y x Q Y

на

заданном классе

аппаратных функций N x N0

x N x G :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y x N x * R y x

 

 

 

Y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4.5.1)

 

 

 

 

 

 

 

 

y x

N x * R y x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

min

 

 

max

 

 

 

 

 

 

R

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y

 

 

 

 

 

N G,

x * u x n x Q,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y x ) N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u x W .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

301

Это требование означает такой выбор способа оценивания из класса допустимых ,

который бы обеспечивал минимум максимального из возможных уклонений между измеряемым сигналом y x и моделируемым откликом N x * R y x на оцениваемый сигнал. В эту

фразу следует вдуматься. Такой принцип выбора лежит в основе большинства конструируемых алгоритмов. В нем скрыты большие возможности в выборе вида пространства Y и, как следствие,

выбора вида критериев оптимальности при подборе оптимального оператора. Поскольку главной причиной рассмотрения множества Q допустимых измеряемых сигналов при анализе конкретного измерения служит наличие погрешностей n x , а причиной рассмотрения множества N x наличие погрешностей в аппаратной функции N0 x , сводящей ее к N x ,

можно условие выбора оптимального способа оценивания сигнала u x по исходным данным

y x представить в виде:

y x N x * R y x Y

min max

R R ,

N G,

n x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4.5.2)

 

 

 

 

 

 

 

R y x n x

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y x N

 

x N *

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Считая, что оператор N0 x задан, G N0 x G , где G – многообразие допустимых

N – погрешностей

в задании

оператора

N x и – класс допустимых аддитивных

погрешностей n x .

 

 

 

 

 

 

Суммируя введенные обозначения:

 

 

 

 

Q – многообразие допустимых исходных сигналов y x Q Y ;

 

W – многообразия возможных оценок для u x . u x W U ;

 

 

G – множество допустимых мультипликативных операций N x N0 x N x G

образующих подмножество в пространстве линейных ограниченных

операторов

(U Y )

отображающих U в Y ;

 

 

 

 

 

– класс допустимых способов

оценки сигнала

u x ,

представляющий собой

подмножество в

множестве

линейных

ограниченных

преобразований

(Y U )

нормированного пространства Y в нормированное пространство U

R – искомая оптимальная процедура оценивания сигнала u(x) по исходным данным y(x):

R (Y,U ) ;

302

– статистические свойства аддитивных ошибок n x . Например, определен как

множество нормальных случайных величин с нулевым средним и заданной дисперсией не

превосходящей 2 ;

G – класс допустимых погрешностей в мультипликативной операции. Например, это

подмножество в (U Y ) с единственным условием N x h .

Найти строго оптимальный оператор R удается в достаточно узком диапазоне ситуаций,

Для иллюстрации проблемы, которая здесь возникает, рассмотрим случай, когда

погрешности n x и

G равны

нулю, y x y0

x а множество представляет собой

множество замкнутых

операторов

(не обязательно

ограниченных) или более обще – класс

[U Y ] линейных операторов. Задача (4.5.2) трансформируется, таким образом, в задачу:

y x N x * R y x

 

 

min

 

 

 

 

y x N x * u x

 

 

 

 

 

(4.5.3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y

u x W

 

 

 

 

 

 

 

 

Y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В этом случае, если существует обратный к *N оператор *N 1 то он и служит искомой оптимальной процедурой оценивания R . Действительно:

N * N 1 y x N * N 1 *N u x y x . Так что минимум в (4.5.3) при таком выборе

процедуры инверсии R оказывается равным нулю. Искать иного оптимального элемента не надо, поскольку меньше нуля получить невязку в (4.5.3) попросту нельзя. Но это только в том случае, если *N 1 существует, ограничен и, как следствие определен на пространстве входных данных – множестве возможных исходных сигналов y x . Но это как раз и не выполняется по той простой причине, что ни один из операторов с аппаратной функцией, достаточно быстро убывающей (например таких, как приведены в примере аппаратных функций) не является ограниченным на банаховом пространстве Y , т.е. не принадлежат (Y ,U ) . В результате этого,

значение оператора R *N 1 на реальных данных y x , осложненных погрешностями n x ,

может быть неопределенно или быть весьма «экзотическим» сигналом – пилообразным со значениями близкими или равными бесконечности в некоторых или даже во всех точках. Таким образом, следует ввести ограничение на класс допустимых способов реконструкции сигнала u x

, представляющий собой подмножество в множестве линейных ограниченных преобразований инверсии (Y U ) нормированного пространства Y в нормированное пространство U .

303

4.5.2 Метод регуляризации

Это ограничение можно ввести, например таким образом, чтобы переопределить область значений операторов R из . Например, это можно сделать, потребовав, чтобы некоторый функционал принимал на образах множества Q при отображениях из значение, не превосходящее заданного – например . Это записывается следующим образом:

Ry x

(4.5.4)

Это условие одновременно определяет и многообразие W , участвовавшее в

формулировке (4.5.3):

 

u x

(4.5.5)

Функционал u x называется стабилизирующим функционалом.

По сути можно

считать, что задание стабилизирующего функционала это один из возможных (но не единственно возможный) способ определения множества W , среди которого выбирается оценка для сигнала u x . Оператор оценивания R может быть определен как результат решения задачи:

 

y x N x * R y x

 

Y

:

 

 

 

y x N x * u x

 

 

 

Y

min,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4.5.6)

u x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Условия (4.5.4) и (4.5.5) (и им эквивалентное: u x W ) отбраковывают «плохие» оценки

для u x по критерию, сконцентрированному в функционале . Например, таким функционалом может быть величина градиента оцениваемого сигнала, а условием отбраковки требование:

 

2

dx .

u x grad u x

V

Такое требование отбраковывает те сигналы, которые являются чрезмерно осциллирующими – характеризуются большими значениями модуля градиента. Может быть введены и другие способы отбраковки «претендентов» на оцениваемый сигнал u x . Например,

могут быть использованы не только ограничения на модуль градиента сигнала, но и модуль самого сигнала и его высших производных до порядка n включительно:

304

u x

 

 

u x

2

n

3

 

k u x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

i 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

Однако остается неясным, откуда в таком случае, брать величину и как учитывать факт

приближенности данных – наличие

аддитивной

n x

 

 

и мультипликативной N x

погрешностей. На самом деле это один и тот же вопрос, в чем легко убедиться, если воспользовавшись правилом Лагранжа (см. 1.2) и видоизменить задачу (4.5.6) и ее интерпретацию.

В соответствии с принципом Лагранжа (см. 1.2) задача (4.5.6) переписывается в

эквивалентной форме:

 

 

y x N x * u x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y

u x

min

(4.5.7)

 

 

 

 

 

 

 

 

Ее решение определяет оператор R :Y U : R y x u

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Но в этой же форме записывается и задача:

u x min

(4.5.8)

y x N x * u x Y ,

которая имеет более приближенную к реальным данным трактовку – среди всех возможных оценок для u x , обеспечивающих невязку с измеряемым сигналом y x не превосходящую данную величиной , необходимо наитии наиболее регулярный сигнал. Регулярность формулируется с точки зрения меры регулярности выраженной в функционале u x . Здесь должен быть найден компромисс между двумя тенденциями. Тенденцией повышения регулярности, связанной с минимизацией u x и тенденцией недопустимости невязок,

превосходящих пороговый уровень . В этом состоит метод регуляризации исходной задачи.

Можно рассматривать задачу реконструкции приближенной оценки для u x , как задачу

конструирования оператора R , доставляющего решение задачи (4.5.8) служащего обратным к

N x *, представляющим собой

сужение

N x *

со всего пространства

U , не

его

подмножестве W , определенном,

например,

условием

u x .

R y x

u

x .

Если

 

 

 

 

 

 

 

 

N x * есть линейный ограниченный оператор, каким является каждый из приведенных в примере сверточных операторов, или любой иной оператор типа свертки с достаточно быстро

305

убывающей аппаратной функцией, то в соответствии с теоремой о гомеоморфизме (см 1.1.4) его сужение на компакт имеет ограниченный обратный. Следовательно, если W , определенное

например

условием u x , компактно в

U , то в соответствии с этой теоремой

R N

x * 1

оказывается

ограниченным.

Отсюда следует рецепт выбора вида

 

 

 

 

 

 

стабилизирующего функционала

u x . Функционал u x должен быть выбран так,

чтобы множество W : u x U : u x было компактом в U . Определение множества

W с помощью функционала u x представляет собой один из конструктивных приемов

задания этого множества. Но оно может быть определено и иным способом – некоторым

перечислением входящих в него элементов. Если это определение таково, что W оказывается

компактом, то в соответствии с теоремой о гомеоморфизме решение задачи (4.5.3) устойчиво и

определяемый оператор

R y x Y U оказывается ограниченным. В этом состоит

принцип регуляризации, который допускает множество разнообразных по форме, но

эквивалентных по содержанию трактовок. Этот принцип состоит в том, что задача построения

обратного к N x * отображения, которое является неограниченным оператором, заменяется на

построение близкого к

нему, но ограниченного оператора. Конструктивно это достигается

изменением области определения N x * на некоторый компакт, которое, фактически ведет к замене N x * на N x *, где N x * в отличие от N x * имеет уже ограниченный обратный

R y x u x , Он и принимается за регуляризованное приближение к решению задачи оценки

сигнала u x . Функционалов, ограничивающих класс допустимых оцениваемых сигналов может быть много и в этом состоит определенный произвол в выборе стабилизирующего функционала.

Такой же произвол существует и в подборе оптимального параметра регуляризации опт ,

алгоритмы выбора которого могут быть совершенно различны. Приведем еще один, который получил название квазиоптимальный

306

( )

Рисунок 4.3 – Компромисс регулярности и точности

4.5.3 Принцип обобщенной невязки

Для того, чтобы оценить величину через уже введенные уровни помех аддитивной и

мультипликативной h N составляющей запишем следующую цепочку неравенств:

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y x N x *

 

u x

 

 

 

 

y

x N

 

x N * R y

x n x

 

 

 

 

 

 

 

Y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y0 x N0 x * R y x n x N *u x N * n x

 

Y

 

 

n x

 

Y

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

u x

 

 

 

Y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь принято во внимание то обстоятельство, что для идеально точных данных y0 x в

которых уровень аддитивных шумов равен нулю и идеально точного мультипликативного оператора

y0 x N0 x * R y x .

Кроме того произведением оценок для двух ошибок: N * n x Y пренебрегаем как имеющей больший порядок малости в сравнении с другими членами.

Таким образом, искомая величина оценки в (4.5.8) определена условием:

= n x Y N u x Y .

Если обозначить u x решение задачи (4.5.7) при том либо ином значении

коэффициента , то приведенный результат означает, что надо выбирать максимальное из значений , которое обеспечивает условие:

n x

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

u x

 

 

 

 

(4.5.9)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y

 

307

опт

Иными словами исходными данными служит максимально допустимая невязка между исходным сигналом y x и откликом на оценку u x сигнала u x . Эта невязка складывается

из двух членов как это приведено в (4.5.9). Рассчитывая ряд

значений u x

для

увеличивающихся значений останавливаемся тогда, когда величина

 

n x

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

u

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

впервые окажется равной значению . Такой способ выбора оптимального параметра называется методом обобщенной невязки. Сам параметр называется параметром регуляризации и опт – оптимальным параметром регуляризации.

4.5.4 Квазиоптимальный алгоритм определения параметра регуляризации

В алгоритме обобщенной невязки для того, чтобы выбрать параметр регуляризации,

требуется знать уровень погрешностей , h . Если эти погрешности неизвестны, то можно воспользоваться следующим приемом, основанном на рассмотрении “динамики” изменения оцениваемого сигнала u x в зависимости от параметра регуляризации в (4.5.7).

Если u x есть решение задачи (4.5.6-4.5.8) при произвольном , то зависимость

величины параметра регуляризации от погрешности можно считать такой, что отсутствию погрешностей соответствует нулевое значение параметра регуляризации: 0 . Тогда точное

решение есть u x

 

0 u x . Разложим u x

в окрестности u x

 

по степеням

 

 

 

 

u

x u x

u x

 

...

1

n

nu x

...

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!

 

 

 

 

Тогда, величина

 

 

u x

 

характеризует линейную часть отличия точного значения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

оцениваемого сигнала u x от приближенного

 

u x u x

 

 

 

u x

 

. Требуя, чтобы это

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

отличие было минимальным, приходим к правилу выбора α:

 

 

u x

 

min

(4.5.10)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Это правило называется квазиоптимальным способом выбора параметра регуляризации.

Приведенные способы выбора параметра регуляризации являются, если так можно выразиться, эталонными. В каждой конкретной задаче их придется модифицировать,

приспосабливать к условиям задачи. В некоторых случаях и параметр регуляризации и вид

308

стабилизирующего функционала могут быть найдены из данных самой задачи. Типичный тому пример – Винеровская фильтрация.

4.5.5 Винеровская фильтрация

Для дальнейших рассмотрений ограничимся

случаем, когда пространства U и

Y

представляют собой пространство квадратично интегрируемых по переменной x функций L2

и, в

частности:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u x

 

 

 

 

 

 

u x

2

 

 

1/2

 

 

 

 

 

L2

 

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

Будем рассматривать в качестве функционалов u x выражения:

 

 

u x

 

Lu x

 

2dx ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

где L – замкнутый оператор из L2 в себя. Например, это оператор произвольной степени

градиента, умножения на строго положительную весовую функцию, комбинации первого и второго. Далее считаем что рассматриваемые сигналы есть функции одной переменной, для определенности времени t x0 .

Рассмотрим модель измерительной системы в виде уравнения в свертках:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y t N t u d

(4.5.11)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Роль ядра

N t может играть какая-либо из аппаратных функций из приведенных в

примере. Для построения регуляризованного приближения

u t к реконструируемому

входному сигналу

u t воспользуемся

 

постановке

 

 

 

 

задачи,

соответствующей принципу

регуляризации:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N *u t y t

 

 

 

2

 

 

 

Lu t

 

 

 

 

2 min .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

Вид оператора L определим позже. В содержательных обозначениях эта задача запишется следующим образом:

309

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N t u d y t ds

 

Lu t

 

dt min

(4.5.12)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Воспользовавшись результатами из раздела 1.2 запишем уравнение Эйлера для (4.5.12),

служащее необходимым и достаточным условием экстремума:

N t * N t *u

t y t L*Lu

t 0

(4.5.13)

 

 

 

 

где L* – сопряженный к L оператор, свертка с N t есть операция сопряженная со сверткой с вещественными функциями N t .

Применим к (4.5.13) преобразование Фурье и, считая, что спектр функции L*Lu t равен

M w u w , где u w – спектр сигнала u t получим:

N* w N w u w N* w y w M w u w 0 .

Тогда:

 

 

u w

 

 

N* w y w

 

 

(4.5.14)

 

 

 

 

N w

 

2 M w

 

 

 

 

Здесь, как обычно,

 

N w

 

2 N* w N w , N w , y w ,u

w

– спектры функций

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N t , y t ,u t соответственно: N w N t e iwt dt , * – знак сопряжения (в данном случае

комплексного). Здесь, как и ранее наличие переменной w является индикатором того, что рассматриваемый объект – преобразование Фурье от объекта с тем же именем, но идентифицированным переменной временной t или пространственной переменной.

Lu t L t u d ; M w L* w L w .

Имеется много примеров и способов непосредственного использования выражения

(4.5.14) для реконструкции спектра приближенного регуляризованного решения, т.е. функции u w с последующем нахождением с помощью обратного преобразования собственно

приближения к решению – u t . Достаточно как то выбрать функцию M w м далее подобрать параметр регуляризации способом перебора и оперативного анализа свойств получаемых

310

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.