Кобрунов А_Мат методы модел в прикл геоф 2

Однако это может оказаться достаточно неудобным и потребовать некоторых изощренных методических приемов. Действительно, в случае, когда F I , X L2 V критерий (5.31) можно трактовать, как требование найти наиболее близкое к нулю в смысле средних квадратов решение.

Естественным служит ожидание некоторой равномерной близости к нулю результата во всех точках области V . Однако результатом неожиданно, оказывается гармоническая функция – функция имеющая максимальные по модулю значения на границе области и выполаживающаяся,

монотонно убывающая от максимума к другому краю области. Все так, как это было приведено выше, при вычислительных экспериментах, и заложена в свойствах элементов из экстремальных классов, следующих из их представления (5.33). Именно это распределение дает меньшие значения суммарного уклонения от нуля, чем равномерно «размазанное» по всей области V

решение. Возникает не соответствие результата ожиданиям и это затрудняет непосредственное,

прямое практическое использование подобных критериев. В этой связи желательно введение и иных типов критерия оптимальности, обеспечивающего отбор решений из множества эквивалентных, выражающих различную информацию об искомом решении.

5.4.2 Корреляционные критерии оптимальности

Корреляционные критерии оптимальности выражают либо факт зависимости изучаемой модели распределенного параметра v от некоторого другого параметра, который обозначим

v , либо взаимозависимость различных компонент модели для v . Типичным примером

первой ситуации служит использование принципа наилучшей связи между искомой моделью

351

Эта задача с точностью до обозначений совпадает с уже рассмотренной ранее:

v 2L2 V min .

Ее решение есть элемент экстремального класса (A, L2 , I ) , что приводит к условию

v ( A, L2 , I ) .

Это означает, что результат будет иметь вид:

v R v A* s ;0

s0 DA*.

Таким образом, результатом служит исходная модель для распределенного параметра

v , подвергнутая линейному преобразованию типа , где , константы, к которой

добавлен элемент из Im A* ( A, L2 , I ) ( A, L2 , I ) . Таким образом, с содержательной точки зрения этот вид критерия приводит к частному случаю решений интегральных квадратичных критериев, без возможности регулирования свойств решения за счет принципов оптимальности

(отсутствие оператора F ).

352

Рассмотрим другой случай – ситуацию, когда искомый объект многокомпонентен и его компоненты взаимосвязаны между собой. Это, например, случай уже рассмотренных границ,

разделяющих пласты заданной плотности (рис. 5.5) так, что для каждой точки и каждой границы указана мера зависимости глубины залегания этой границы от глубины залегания других границ в той же точке. Этот пример простой заменой терминов обобщается на случай компонент любой природы, имеет достаточно наглядный характер, поэтому на нем и остановимся. В отличие от рассмотренного ранее случая, когда критерий оптимальности представлял собой сумму

критериев – компонент, теперь рассмотрим случай взаимосвязей между этими компонентами.

Диагональные элементы суть дисперсии (оценки дисперсии) уклонения нулевого приближения от искомой границы – мера недостоверности знания нулевого приближения. Тогда совместная плотность вероятности для этих величин, можно охарактеризовать нормальным законом:

оказывается задача условной минимизации квадратичной формы:

353

Учитывая свойства ковариационной матрицы – ее положительность и самосопряженность,

легко прийти к выводу о существовании положительного квадратного корня Λ1/2 от матрицы

Λ ij , с помощью которой выражение (5.37) можно переписать в эквивалентной форме:

Λ1/2Δf x, y 2dxdy ,

S

где:

Δf x, y fi x, y fi* x, y ,i 0,1, 2,...N .

Вектор столбец

354

Содержательная запись для структурной задачи гравиметрии при условии «нулевого

рельефа» в трехмерном случае такова:

5.4.3 Равномерные критерии оптимальности

Интегральные критерии оптимальности и, в частности имеющие вид квадратичной формы:

F v L2 min , в целом отражают усредненные характеристики искомого решения. Другие

классы критериев возникают из требований, чтобы максимальная или минимальная величина изучаемого параметра была экстремальной. Рассмотрим следующий пример.

Пусть в горизонтальной полосе нижнего полупространства (система координат XYZ,

XYZ, x, y , 0 z1 z z2 E0 z1, z2 , E0 {x, y : x, y ) требуется восстановить распределение параметра v и известно, что для каждого z z1, z2 функция

C x, y, z с некоторым сдвигом по горизонтали подобна искомому распределению x, y, z .

Это соответствует требованию максимума функции взаимной корреляции между x, y, z и

355

C x, y, z . Как меры подобия x, y, z и C x, y, z . Функция взаимной корреляции для каждого z z1, z2 рассчитывается по правилу:

эквивалентности в этом случае служит требование максимизации функции взаимной корреляции между x, y, z и заданной функцией C x, y, z по всем z z1, z2 :

Всегда можно подобрать функцию R v так, что задача (5.45) окажется эквивалентной задаче:

Но выражение (5.46) – это ни что иное, как требование минимума нормы в равномерной метрике трансформации по горизонтальным координатам искомого распределения x, y, z с

Свертка с функцией R x, y, z по горизонтальным координатам (в данном случае эти координаты не выписаны как (x, y) и которые можно обозначать по разному, но при этом они принадлежат E0 ) обозначена как оператор R , действующий на x, y, z . Такого сорта критерии относятся к классу равномерных критериев оптимальности. Они естественны для банаховых пространств типа C V . Пространства с равномерной метрикой это нерефлексивные и не сильно выпуклые пространства. В этой связи решение задачи

R v C П min,

356

может оказаться неединственным, а процесс его нахождения из-за недифферинцируемости нормы в C E0 достаточно сложным. Но эти критерии имеют большое практическое значение.

Далее мы выделим некоторую ветвь решения задачи (5.20) и выразим ее через более конструктивное решение на экстремальных ласах ( A, L2 , F) .

25 Особенность в зависимости от вертикальной переменной и интегрировании по ней в пределах полосы.

357

Утверждение 1. Множество u решений задачи (5.23) при u(s0 ) Im K есть замкнутое

выпуклое множество.

Доказательство. Замкнутость u очевидна, поскольку минимизируемый функционал –

задачи (5.35), доставляющие значение d функционалу v C П . Тогда их выпуклая комбинация

1 (1 ) 2 , 0 1 есть также элемент из u . В силу неравенства:

являлись бы решением задачи (5.7). Таким образом, любая выпуклая комбинация элементов из

u есть снова элемент из u .

Существование, но возможная неединственность решения задачи (5.23), позволяет сделать вывод о том, что экстремальный класс (K,С, I ) есть полный, но не идеальный,

поскольку не есть класс единственности. Поставим задачу выделения в (K,С, I ) почти идеального подмножества (K, F,С) .

Рассмотрим на первый взгляд более общую, чем (5.51) задачу:

K (v) u(s0 );

Что полностью эквивалентно (5.51), отличаясь от нее только обозначениями. Таким образом, экстремальные классы (K,С, F) и (KF 1,С, I ) совпадают.

Утверждение 2. Если оператор K , представим в виде

358

z2

K v (x, y, z)K (x0 x, y0 y, z)dzdxdy u(x0 , y0 ),

E0 z1

K x, y, z L1 П C П вещественна и знакопостоянна,

v F 1 s .

Замечание 1. Условие знакопостоянства легко можно отбросить, заменив требованием,

2

чтобы G x, y K x, y, z dz не обращалась в ноль.

z1

Замечание 2. Строго говоря, класс (K,С, I ) шире, чем множество функций, не

зависящих от вертикальной координаты и имеющий, тем самым вид v s . Тем не менее,

именно это подмножество функций будем обозначать (K,С, I ) , отбрасывая все остальные ветви решений задачи (5.52) и пользуясь тем, что на этом множестве оператор K имеет только нулевое ядро.

Доказательство.

То, что оператор K имеет нулевое ядро на функциях из C П не зависящих от вертикальной координаты следует из того простого факта, что

Это обычное уравнение в свертках с интегрируемой, непрерывной и не равной тождественно нулю функцией.

Далее. В соответствии с основным результатом теории оптимизации – теоремой двойственности (см. 1.2.2.2), для того, чтобы элемент (v) был решением задачи (5.23),

необходимо и достаточно, чтобы в сопряженном к

359

Схема дальнейших рассуждений следующая. Мы намерены “угадать” вид множества решений задачи (5.51). Далее покажем, что для «угаданного» элемента могут быть выполнены условия (5.54), что и будет служить доказательством тому, что “угаданный” элемент действительно служит решением задачи (5.23). Наконец, мы намерены показать, что на выделенном классе из “угаданных” элементов уравнение K v u s0 однозначно и плотно разрешимо, что и будет завершать доказательство того, что выделенное множество есть почти идеальный экстремальный подкласс (K,С, I ) (далее называем его классом) класса (K,С, I ) .

ортогональность ядра оператора и множества значений его сопряженного (см. 1.1.4) условие

v f n v для v C(П) .

Пусть f n (v) – последовательность элементов из Im K* . Тогда:

360