|
|
|
d |
Q t, v Q t, v div v q t, v . |
(2.1.6) |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
Величина q t, v имеет смысл плотности источников или стоков компенсирующих не |
сохранение |
Q t, v dv . |
Величину Q t, v dv естественно назвать зарядом, а |
Q t, v |
V t |
|
|
|
V t |
|
плотностью заряда в точке v в момент времени t . Под термином заряд понимается некий заряд в обобщенном смысле, а не электрический заряд как частный случай. Еще одно замечание.
Произведение плотности заряда, равной Q t, v на вектор скорости его движения v вместе с элементом объема, называется плотность тока J t, v Q t, v v .
Уравнения (2.1.5, 2.1.6) это достаточно общий закон сохранения любой переносимой движущимся веществом величины.
2.1.4 Законы сохранения
Законы сохранения являются центральным звеном всей теоретической физики, которые в самом общем случае постулируют и являются выражениями свойств симметрии уравнений физического поля относительно тех либо иных преобразований. Знаменитой теоремой Э. Нетр установлено соответствие между симметриями и законами сохранения. Конкретно физическое проявление симметрий законов природы реализуются в виде законов сохранения физических величин – массы (заряда), энергии, количества движения. Эти законы не являются, вообще говоря,
независимыми. Преобразование одних форм энергии в другие, взаимопревращение массы и энергии и другие физические эффекты приводят к тому, что более полные, точные и строгие уравнения математической физики, учитывающие подобные явления, не инвариантны относительно некоторых простых групп преобразований (симметрии нарушаются), что и приводит к невыполнению простейших и соответствующих этим группам законов сохранения. Например,
закон сохранения энергии и закон сохранения импульса (количества движения) независимо возникают лишь тогда, когда соответствующее уравнение и его энергетические характеристики инвариантны относительно преобразований сдвига во времени и преобразований сдвига по пространственным координатам независимо друг от друга. Однако по мере достижения большей общности рассмотрений и получении более универсальных уравнений, как правило, происходит все большее удаление от конкретных, требующих решения инженерно-физических задач в рамках классической физики. Установление тех характеристик, которые сохраняют свою величину в индивидуальном объеме, является одной из основных проблем физики.
2.1.4.1 Закон сохранения массы
В случае отсутствия внутри рассматриваемой области притока или исчезновения массы формулируется следующим образом: изменение массы в объеме равно потоку плотности ее тока через поверхность, ограничивающую этот объем:
|
|
|
t, v |
div t, v v 0 . |
|
(2.1.7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь t, v это плотность массы в окрестности точки v в момент времени t . Этот закон |
сохранения называется также еще и уравнением непрерывности. |
|
|
Следующее соотношение |
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
t, v Q t, v dv |
t, v |
|
Q t, v dv |
(2.1.8) |
|
|
|
|
dt |
V t |
|
V t |
dt |
|
|
|
справедливо для любой функции Q t, v весьма полезно и следует из (2.1.4) примененного к
функции t, v Q t, v :
d |
|
|
d |
|
|
t, v Q t, v dv |
|
|
|
t, v Q t, v t, v Q t,v div v dv |
|
|
dt |
V t |
V t dt |
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
Q t, v |
|
|
t, v |
t, v |
|
Q t, v t, v Q t,v div v dv |
|
|
|
|
V t |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
и уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t, v |
t, v div v dv 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V t dt |
|
|
|
|
справедливого для любой области V t . |
Из последнего, в частности вытекает эквивалентная |
форма уравнения неразрывности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
t, v t, v div v 0 . |
(2.1.9) |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если плотность во времени не изменяется, что означает несжимаемость движущейся |
среды, то это означает |
|
d |
|
t, v 0 , откуда и следует условие несжимаемости |
div v 0 , |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
введенное ранее. Последнее равенство, как и его форму (2.1.7) называют также уравнением неразрывности.
|
Закон сохранения массы легко переформулируется на случай смесей. Если смесь состоит |
из |
N компонент, каждая из которых имеет |
плотность i |
t, v |
и скорость движения |
v |
,i 1, 2,...N , то будут выполнены N уравнений |
i x |
div |
|
x |
v |
0 . |
|
i |
i |
|
t |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
Приведенное уравнение неразрывности лежит в основе описания многих законов. В
частности оно служит исходным постулатом теории фильтрации. Рассмотрим принципы, лежащие в ее основе.
Пример 1. Первоначальные сведения из теории фильтрации.
Для течения несжимаемой жидкости через недеформируемую пористую среду можно, для скоростей течения v пользоваться уравнением непрерывности div v 0 . Именно это следует из закона сохранения массы. Этим же уравнением можно пользоваться и для стационарного течения сжимаемой жидкости. Условие стационарности означает равную скорость в разных точках и, как следствие равенство нулю производных от скоростей по пространственным координатам.
Основным постулатом в теории фильтрации служит принятие закона о скорости фильтрации в
зависимости от |
градиента давления grad P t, v и |
некоторой массовой силы |
f : grad p t, v f |
Φ |
|
v |
|
v / |
|
v |
|
. Введение этого постулата |
есть введение уравнений |
|
|
|
|
состояния, которые называются еще и вещественными уравнениями. Функция Φ v зависит от модуля скорости фильтрации и определяет силу сопротивления при движении в пористой среде.
Если эта функция линейна, например Φ |
|
v |
|
|
|
|
v |
|
, где |
– вязкость и k |
– коэффициент |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
проницаемости, то закон называется линейным законом Дарси а текущая вязкая жидкость –
Ньютоновской жидкостью. Нетрудно видеть, что закон связи скорости фильтрации и градиента
давления |
p v |
в этом, последнем случае, примет вид: |
v |
k |
grad p v f . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Фундаментальное свойство Ньютоновской жидкости состоит в независимости ее вязкости и как следствия силы сопротивления Φ v от градиента скорости движения. В противном случае жидкость неньютоновская. Подставляя полученное выражение для скорости в закон сохранения получим для ньютоновской жидкости
Это эллиптическое уравнение для распределения давлений в пространстве, которое для однородной среды ( , k const. ) трансформируется в уравнение Пуассона:
p v k div f .
В случае неньютоновских жидкостей, равно как и при не очень медленных движениях ньютоновских жидкостей, возникают отклонения от закона Дарси. Они учитываются нелинейностью функции Φ v (рис. 2.1) и влекут за собой весьма значимые последствия для
процесса фильтрации. Эти последствия визуально можно наблюдать, например, в виде поведения неньютоновской жидкости как упругого тела, если воздействия кратковременны и происходят с большой скоростью. Если встать в ванну, наполненную неньютоновской жидкостью с силой сопротивления Φ v зависящей от прилагаемой силы, то в нее можно погрузиться. Но по ней
можно прыгать и бегать, если Ваши движения достаточно быстры.
1 – Закон Дарси; 2 – закон фильтрации с предельным градиентом давления;
3 – закон фильтрации псевдопластической жидкости; 4 – двучленный закон фильтрации;
5 – закон фильтрации упруговязкой жидкости
|
Рисунок 2.1 – Типичные законы фильтрации |
Очевидны условия |
Φ 0 0; |
Φ |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Принятие закона |
Φ |
|
v |
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
v |
|
2 |
учитывает влияние дополнительных |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
инерционных потерь, обусловленных неоднородностью порового пространства. Принятие
Φ v v , 0 ведет к закону фильтрации с предельным градиентом давления. В этом случае движение жидкости в поровом пространстве начинается только после достижения некоторых начальных давлений. Наиболее интересным эффектом наличия пластического сопротивления k G / , где значение G это начальный или предельный градиент давления,
у фильтрующейся вязкой жидкости является образование застойных зон – областей, в которых жидкость не движется, поскольку градиент давления по модулю меньше предельного.
Определение формы и размеров застойных зон является основной в прикладном отношении задачей теории фильтрации вязко-пластичных жидкостей, в частности в задачах разработки месторождений вязкопластичных нефтей.
Застойные зоны в частности характеризуют долю нефти, теряемой при ее добычи за счет вытеснения нефти водой.
Все описанные выше возможности могут быть записаны в единообразной форме:
grad p t, v Φ v , k v / v .
Здесь функция f предполагается потенциальной и включена в давление p v . В силу
сопротивления при движении в пористой среде включен и коэффициент проницаемости, что вполне естественно. Чем выше проницаемость, темь меньше сопротивление. Будем считать, что функция сопротивления Φ v , k может быть обращена относительно градиента давления и
Ψ Φ 1 , так что v Ψ v . Тогда с учетом уравнения непрерывности получаем
div Ψ v grad p v ) 0. grad p v
Это эллиптическое уравнение, включающее в себя критические точки, в которых скорость фильтрации равна нулю. Это застойные области фильтрации, в которых нет движения вязко-
пластичной жидкости, в частности высоковязких и парафинистых нефтей.
2.1.4.2 Закон сохранения электрического заряда и уравнения электродинамики
Закон сохранения электрического заряда имеет в точность ту форму, которая содержится в уравнении (2.1.6):
|
Q t, v |
div J t, v q |
t, v . |
(2.1.10) |
|
t |
|
|
|
|
Здесь Q t, v плотность электрического заряда, |
J t, v |
– плотность тока, q t, v |
плотность объемного внутреннего притока зарядов за единицу времени в окрестности точки v в
момент времени t .
Пример 2. Уравнения электродинамики.
Закон сохранения заряда, совместно с тождествами из векторного анализа и теории поля,
однозначно приводит к уравнениям Максвелла и многочисленным его приложениям в области моделирования электромагнитных полей.
Как известно из теории поля для каждого заряда существует кулоново векторное поле,
дивергенция которого есть рассматриваемый заряд. Оно называется электрической индукцией и
обозначается D16.
div D Q t, v . Также верно и обратное. Каждому кулонову полю соответствует свой заряд, вычисляемый как дивергенция (расходимость) векторного поля. Аналогично, существует векторное поле G, ответственное за плотность внешних источников q t, v . Из соображений удобства возьмем его с отрицательным знаком:
q t, v div G .
Подставляя выражения для заряда и внешнего источника в (2.1.10) получим:
Последнее будет тождеством, если выражение под знаком дивергенции есть ротор некоторого векторного поля H . Назовем его напряженностью магнитного поля. Тогда для H
справедливо первое уравнение Максвелла:
t D J t, v G rot H .
Оно связывает вихри напряженности магнитного поля с изменением электрической индукции, токами J t, v и кулоновым полем G соответствующим плотности q t, v объемного внутреннего притока зарядов. Таким образом, первое уравнение Максвелла это просто переформулированный на языке напряженностей магнитного поля и индукций электрического поля закон сохранения электрического заряда. Но можно ввести и магнитный заряд m , для которого справедлив закон сохранения mt 0 .
Это означает, что магнитные заряды не имеют внешних источников, и их перенос не происходит. Магнитные заряды – это некоторые фиктивные заряды, вводимые для описания магнитной индукции B , дивергенция которой равна величине этих магнитных зарядов. По существу, наблюдая магнитную индукцию, мы можем приписать ей некоторые магнитные заряды по тому же правилу, что и в электростатике – дивергенция индукции равна 4 заряд. Опуская
16Здесь не выписываются постоянные множители типа 4 , которые присутствуют в подобного рода
заменах, поскольку это дело единиц измерения.
множитель 4 , как учитываемый выбором размерности величин и используя закон сохранения магнитного заряда, получаем:
B
Но последнее выражение превращается в тождество, если t есть ротор некоторого
векторного поля17 E , который называется напряженностью электрического поля и:18
B rot E .
t
Это второе уравнение Максвелла, являющееся переформулированным на языке магнитной индукции и напряженности электрического поля закон сохранения магнитного заряда.
Если в некоторый начальный момент времени магнитные заряды отсутствовали вовсе и div B = 0,
то это выполняется и во все другие моменты времени в силу закона сохранения магнитного заряда. Следовательно, второе уравнение Максвелла можно дополнить требованием: div B 0 , которое выражает лишь тот факт, что магнитная индукция есть чисто вихревое поле и не содержит дивергентных источников.
Осталось дополнить эти уравнения экспериментальными законами, связывающими между собой напряженность электрического поля и силу тока. Магнитную индукцию и напряженность магнитного поля. Электрическую индукцию и напряженность электрического поля. Эти экспериментальные законы и есть уравнения состояния или вещественные уравнения (уравнения состояния вещества). Они называются также материальными соотношениями или уравнениями материальной среды и формулируются в виде хорошо известных, но, тем не менее,
экспериментальных и потому приближенных, отражающих текущий уровень познания природы,
законов:
|
J t, v E , где – это проводимость среды (Закон Ома). Ток |
J t, v |
|
называется током проводимости; |
|
пропорциональность электрических полей и индукций: D E ;
пропорциональности магнитных полей и индукций: B Η .
17Для удобства выбираем в равенстве, которое справедливо с точностью до любого множителя, знак минус.
18Это, по существу, закон фарадея, который звучит так: производная по времени потока магнитной
индукции В через поверхность с границей равна циркуляции электрического поля вдоль контура
, взятой с обратный знаком.
Здесь
– диэлектрическая постоянная среды; – магнитная проницаемость.
Приближенность приведенных законов, проявляется, например, в том, что, во-первых,
электрические свойства среды могут меняться от величины и характера самих электрического и магнитного полей. Во-вторых, среда может быть анизотропной, и коэффициенты пропорциональности между индукциями и полем, между полем и током проводимости могут быть более сложными объектами, чем скаляры. Это могут быть тензоры с членами, зависящими
от величины поля.
Имея в виду закон Ома, можно поле G , связанное с плотностью внешних (сторонних)
источников q t, v выразить через некоторые сторонние токи JСТ t, v G. . Поскольку
источники q t, v , через которые выражались через поле G , являются элементами вторичными и главное значение имеют сторонние токи, в форме которых и существуют внешние источники, то проводимость среды можно учесть в зарядах, переписав первое уравнение Максвелла в виде:
t D J t, v JСТ t, v rot H
Именно в такой форме его и будем использовать. Перепишем окончательно уравнения электродинамики, служащие основой моделирования электромагнитных явлений:
D J + JCT rot H;
t
B rot E 0;
t
D Ε;
B Η;
JΕ.
2.1.4.3Закон сохранения импульса или второй закон Ньютона
Его классическая формулировка такова. Изменение импульса в объеме V равно полной силе, действующей на этот объем.
Вектор импульса в объеме V равен произведению массы на скорость или, в терминах плотности: t, v vdv , Второй закон Ньютона утверждает:
|
|
|
V |
|
d |
t, v vdv s t, v dv . Здесь s t, v некоторая «плотность» суммарных сил F t, v , |
|
dt |
|
V |
V |
|
|
структуру которой разберем ниже. Плотность силы – это сила, отнесенная к единице объема и, так же, как и сама сила, плотность является векторной величиной. Полная сила F t, v имеет две
компоненты. Это, во-первых, слагаемое G t, v связанное с некоторыми внешними источниками
228
сил, но действующими внутри объема V . Ее плотность g t, v . Во-вторых, это результирующая всех сил, действующих на поверхность V , ограничивающую объем V . Обозначим эту результирующую f t, v 19 и подсчитаем ее. Для определенности выберем в качестве области V
трехмерный куб с гранями, ортогональными координатным осям |
x1 ,x2 , x3 x, y, z . Обозначим |
i j |
t, v S |
j |
i -ую компоненту силы, действующею на площадку, |
ортогональную оси x j . Здесь |
|
|
|
|
|
S |
j |
– это |
площадь площадки, индексы i и j пробегают |
значения 1,2,3, i j t, v – |
|
|
|
|
|
напряженность соответствующей силы (сила, отнесенная к единице поверхности). Для каждого индекса i объект i j t, v представляет собой вектор τ j t, v (напряжений отнесенной к площадке с номером j ). Для каждого индекса j вектор τi t, v представляет собой три
компоненты напряжен6ий в одном и том же направлении – i , соответствующие трем разным
площадкам S |
j |
, j 1, 2,3 . Компонента f i (x,t) |
результирующей силы складывается из суммы |
|
|
|
составляющих сил в направлении |
i , |
действующих на все площадки от S j , именованные |
индексом j и представляет собой, |
таким образом, интеграл по поверхности, ограничивающей |
объем V : |
|
|
f i (x,t) τi t, v dS t, v i j S j . |
|
V |
j |
Последнее выражение – это поток вектора i-напряжений через поверхность,
ограничивающую объем V . Тогда закон сохранения импульса запишется:
|
d |
t, v vdv |
τi t, v dS g t, v dv . |
|
dt |
|
V |
V |
V |
|
|
Применяя к первому члену правой части формулу Гаусса–Остроградского и переходя от поверхностного к объемному интегралу, в покомпонентной записи получим:
d |
t, v vdv div τi t, v dv g t, v dv |
(2.1.11) |
dt |
|
V |
V |
V |
|
Это и есть закон сохранения импульса. Если воспользоваться уравнением (2.1.4) и законом сохранения массы (2.1.7) при условии несжимаемости среды ( div v 0 ) можно получить, в силу произвольности объема V , следующую его форму:
19 Отнесем ее значение, например к центру области V.
|
v |
|
t, v div τi t, v g t, v |
(2.1.12) |
|
t |
|
|
|
|
Это уравнение называется уравнением движения или уравнением Коши.
В том случае, если среда неподвижна уравнения (2.1.12) трансформируются в уравнения равновесия
div τi t, v g t, v 0 .
Закон сохранения импульса (2.1.12) может быть дополнен уравнениями состояния,
которые отражают априори принимаемые модели сплошной среды. Таких моделей в главном две. Первая – это принятие модели линейно упругого тела. Она состоит в том, что между компонентами тензора напряжений и тензора деформаций существует линейная связь, которая называется законами упругости – законами Гука. Принятие модели упругой среды и закона Гука как ее частного случая ведет к уравнениям распространения малых возмущений – волн в среде.
Это волновые движения и волновые уравнения в их большом поддающемся анализу многообразии. Они будут рассмотрены отдельно. Другая модель – это модель линейно вязкого тела, в котором связь тензора напряжений устанавливается с тензором скоростей деформации (а
не тензором деформации) с использованием параметров вязкости. Эта связь называется законом Навье-Стокса и ее использование в качестве уравнений состояния, доопределяющих закон сохранения импульса ведет к уравнениям Навье-Стокса, описывающих вязкое течение (а не распространение упругих колебаний). Эти уравнения сложно решаются и еще сложнее исследуются. Чаще всего в науках о Земле возможно лишь с их помощью провести моделирование с целью ответа на вопрос – могут ли вязкие течения породить те либо иные структуры, и какие силы этим процессом управляли.
Пример 3. Движение вязкой жидкости. Уравнение Навье-Стокса.
Дополним закон сохранения импульса уравнением состояния связывающего напряжения,
скорость деформации и коэффициенты вязкости.
|
Пусть тензор скоростей деформации Di j |
|
1 |
|
v |
i |
|
v j |
|
|
|
|
|
связан с тензором напряжений |
|
2 |
x j |
xi |
|
|
|
|
|
|
i j t, v соотношением: |
|
|
|
|
i j t, v p ij |
k grad v ij |
2 Di j . |
ij |
|
1 |
при i j |
|
|
при i j. |
|
|
|
0 |
|