Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Кобрунов А_Мат методы модел в прикл геоф 2

.pdf
Скачиваний:
40
Добавлен:
02.03.2016
Размер:
10.74 Mб
Скачать
Рисунок 1.32 – Зависимость между пористостью по керну и нефтенасыщенность по керну
211
Рисунок 1.31 – Зависимость между пористостью по ГИС и пористостью по керну

Приведем далее пример оценки достоверности на основе метода петрофизических композитций. Трёхмерная геолого-геофизическая модель залежи была построена в программном комплексе IRAP RMS согласно следующим этапам моделирования:

подготовка исходных данных;

структурное моделирование, позволяющее создать трёхмерный каркас;

создание трехмерного каркаса и осреднение скважинных данных на ячейки трехмерной геологической сетки;

литологическое моделирование, в процессе которого происходит создание трехмерного параметра литологии;

петрофизическое моделирование, в процессе которого происходит заполнение куба литологии петрофизическими параметрами;

оценка запасов углеводородов, которая производится на основе построенных трёхмерных кубов.

кернупо

Пористость Пористость по ГИС

материала, Z – данные о нефтенасыщенности материала. Пары значений из массивов X, Y и

одним и тем же образцам (рисунки 1.31–1.32).

На основе метода нечётких петрофизических были определены подсчётные параметры. Результатом первого этапа (фазификации) служит функция принадлежности для нечёткого отношения между парой переменных,

позволяющая оценить меру истинности любого прогнозируемого значения переменной по экспериментальным данным, на рисунках 1.33–1.34

Для оценки достоверности определения подсчётных параметров методом нечётких петрофизических композиций и установления цепочки данных использовались следующие данные: X – это значение пористости,

полученной на основе интерпретации данных геофизических исследований скважин, Y – это данные о пористости,

полученные на основе анализа кернового пород, полученные на основе анализа кернового

Y, Z увязаны между собой, поскольку относятся к

поНефтенасыщеннсть керну Пористость по керну

приведены эти результаты в виде поверхностей в трёхмерном пространстве. Композиция Мамдани позволяет установить функцию принадлежности для начальной и конечной нечетких переменных – X, Z (рисунок 1.35).

Рисунок 1.33 – Результат фазификации отношений между X и Y

Рисунок 1.34 – Результат фазификации отношений между Y и Z

Рисунок 1.35 – Результат фазификации отношений между X и Z

По диаграммам исходных значений пористости, рассчитанных по геофизическим измерениям вдоль скважины, были найдены интервалы изменения достоверности подсчётных параметров по каждой скважине (рисунки 1.36–1.37) и построены соответствующие кубы достоверностей (рис. 1.38).

212

 

Рисунок 1.36 – Результаты расчёта

Рисунок 1.37 – Результаты расчёта

достоверности для кривой пористости в

достоверности для кривой нефтенасыщенности

 

скважине №114

в скважине №114

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 1.38 – Трёхмерные куб распределения достоверности подсчётных параметров (а – значение пористости, б – значение нефтенасыщенности)

Для оценки достоверности подсчёта запасов углеводородов предлагается воспользоваться свойством объединения нечётких множеств. При этом функция принадлежности находится как max{μ(y), μ(z)}

В результате может быть получена трёхмерная геолого-геофизическая модель распределения геологических запасов в объеме пласта, а также куб достоверности этих запасов, который отражает надёжность и объективность информации (рисунок 1.38). Этот куб следует использовать для дифференцированной оценки геологических запасов по достоверности, например в таблицы. Пример приведен ниже в таблице 1.3.

213

Таблица 1.3 – Дифференциальная оценка подсчёта запасов Сотчемьюского

месторождения

Достоверность в %%

Доля ячеек

 

 

20,7

<0,2

 

 

14,0

0,2–0,4

 

 

11,8

0,4–0,6

 

 

9,0

0,6–0,8

 

 

44,5

>0.8

 

 

Этот метод позволяет выполнить пересчёт запасов углеводородов. Так на рассматриваемых примерах на ряде месторождениях Тимано-Печорской нефтегазоносной провинции (рис. 1.39). При подсчёте запасов традиционным - объёмным методом коэффициенты пористости и нефтенасыщенности принимались по каждой скважине как значения с максимальной достоверностью Применение значений этих же параметров с учетом их достоверности привело к уклонению результов рассчитанных запасов от традиционно полученных в процентном соотношении: от 13% до 31%. В частностидля Сотчемьюского месторождения: -13%;

для Восточно-Сотчемью-Талыюского месторождения: -21%; для Низевого месторождения: -31%.

Рисунок 1.39– Трёхмерные кубы распределения геологических

запасов нефти (а) и достоверности запасов (б).

214

ортогонально грани
dxdz .
и dz , и площадью

Глава 2. Физические основы

2.1 Фундаментальные законы классической механики

2.1.1 Введение

Для того, чтобы дать описание процессов движения объектов любой природы необходимо руководствоваться фундаментальными законами природы – законами сохранения. Эти законы устанавливают правила баланса количества для рассматриваемого объекта и являются первым шагом на пути построения его математической модели. Второй шаг это дополнение этого фундаментального закона эмпирическими закономерностями, позволяющими снизить до необходимого минимума число независимых переменных. Эти закономерности называются уравнениями состояния или материальными уравнениями.

2.1.2 Гидродинамическая модель пласта

Начнем с примера, относящегося к задачам гидрогеологии и демонстрирующим, как простые соображения о законе сохранения массы приводят к интересным уравнениям, служащим математическими моделями для целей добычи грунтовых вод.

Рассмотрим водоносный пласт [11], представляющий собой, например, пористый песчаник, залегающий на водонепроницаемом основании (иначе вода уйдет) и перекрытый толщей пород служащей покрышкой для гидродинамической системы. Вода находится в порах, а

процесс ее движения – это фильтрации воды сквозь поры. Следует заметить, что пористость рассматривается только открытая – т.е. та, которая обеспечивает каналы, по которым фильтрат движется. Закрытые поры – те, сквозь которые движение не передается, во внимание не принимаются. Также не принимаются во внимание и возможные эффекты превращения закрытых пор в открытые при некоторых перепадах давления.

Кроме того фильтруется однофазная жидкость – вода. В ней нет примесей (например, нефти),

которые имеют отличные от воды гидродинамические параметры и, которые могли бы отфильтровываться, усложняя картину движения. Основные величины, участвующие в формировании модели приведены на рис. 2.2. Пласт считается тонким относительно своих горизонтальных размеров, поэтому движением воды вдоль вертикальной координаты 0Z можно пренебречь. Используются прямоугольные декартовы координаты XYZ . Выделим элементарную призму, имеющую грани S1 и S2 соответственно со сторонами dx

Движение происходит, во-первых, в направлении оси 0X со скоростью vx

215

S2 и, во-вторых, в направлении оси 0Y со скоростью v y ортогонально грани S1 . В процессе

движения все компоненты оказываются зависящими от времени t . Меняется плотность, меняется уровень свободной поверхности воды, меняется и скорость. Все эти функции содержат в себе, в

дополнение к записанным пространственным переменным и время. Поскольку параметры движения не меняются по вертикали то можно считать основанием призмы – подошву водоносного пласта а ее верхней гранью – кровлю водоносного пласта. Тогда за элемент времени

dt

через элементарную

площадку войдет в направлении оси 0X жидкости

Q

x x v

H (v) h x dydt . Выйдет тоже, что и вошло плюс приращение

x

 

x

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

Q x

 

x v

 

H (v) h x dydt

 

 

 

 

x v

 

H (v) h x

dxdydt .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Итого вышло:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

Q

x x v

 

H (v) h x dydt

 

 

 

 

 

x v

 

H (v) h x

dxdydt .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для движения вдоль оси 0Y по аналогии получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

.

Q

 

x

 

 

 

x

 

v

 

 

H (v) h

 

x dxydt

 

y

 

 

x

 

v

H (v) h

 

x

dxdydt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Изменение количества жидкости в призме равно

Q x Q

x Q

x

 

x v

 

H (v) h x

 

 

x v

 

 

x

 

y

x

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

y

 

 

.

H (v) h

 

 

 

 

dxdydt

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Это изменение суть убыль. Его надо рассматривать со знаком минус. Далее, общее количество воды в выделенной призме равно ее объему умноженному на плотность и

умноженному на коэффициент открытой пористости:

k

p

x H (x) h x

и ее изменение во

 

 

 

 

 

 

 

 

 

kp x H (v) h x

 

 

 

 

 

времени суть Q x

 

 

dxdydt . Поскольку и плотность и подошва пласта

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

не меняются во времени: Q x kp v h x dxdydt .

t

Приравнивая два выражения для изменения массы в объеме призмы получаем

216

kp x h t, v

 

 

x v

 

H (v) h t, v

 

 

x v

 

H (v) h t, v

 

0

 

 

 

x

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

x

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

что можно переписать, используя оператор дивергенции

 

 

 

 

 

 

 

 

kp x h t, v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

y

 

 

 

 

 

div

x v

 

H (v) h t, v

 

x v

 

H (v) h t, v

.

(2.1.1)

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Полученное уравнение и сесть искомая математическая модель, связывающая плотность,

открытую пористость, уровень грунтовых вод и, наконец, скорость фильтрации. Однако это уравнение, служащее законом сохранения количества воды содержит слишком много независимых переменных, чтобы пытаться по нему что-либо определить. Оно должно быть дополнено уравнениями состояния, представляющими собой экспериментально установленные зависимости между различными переменным, входящими в закон сохранения. Можно даже сказать, что закон сохранения – это фундаментальный закон. Но вот уравнение состояния – дело нашего опыта и предпочтений. В данном примере в качестве уравнений состояния могут выступать, во-первых, закон Дарси, связывающий компоненты скорости фильтрации и производные от давления p v через коэффициент проницаемости kпр :

v

 

k

 

 

 

p t, v ;

x

пр x

 

 

 

 

v

 

k

 

 

 

p t, v .

y

пр y

 

 

 

 

 

Во-вторых, это выражение гидростатического давления в зависимости от высоты уровня грунтовых вод будет иметь вид:

p t, v x h t, v g ,

где g – гравитационная постоянная. Теперь получаем

 

 

 

 

 

u v

 

 

 

 

dx

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v v

 

 

 

 

dy

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w v

 

 

dz

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h t, v

 

 

 

 

 

h

t, v

 

 

 

 

 

 

h t, v

 

 

k

 

H (v) h t, v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H (v) h t, v

 

.

(2.1.2)

t

x

x

 

 

 

y

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

217

Здесь k kпр v,t . kp

Последнее уравнение содержит только одну независимую переменную – уровень грунтовых вод h v,t относительно которой (переменной) его и следует решать. Это уравнение называется уравнением Буссинеска. Таким образом, применение закона сохранения количества жидкости, дополненное уравнением Дарси и предположением о том, что испытываемые водоносным пластом давления исчерпываются гидростатическими, приводит к конструктивным результатам.

2.1.3 О координатных уравнениях

Из самого факта непрерывного движения выбранной величины в заданной системе

координат следуют некоторые уравнения и выводы самого общего свойства. Рассматривая движение некого объекта – элемента поля, сплошной среды или некоторого его параметра,

используем пространственно-временные координаты, о которых говорилось выше. Индексы для них будем писать вверху x {x0 , x1 , x2 , x3} t, v t, x, y, z или внизу

x {x0 , x1, x2 , x3} t, v t, x, y, z , что будет иметь значение лишь позже при рассмотрении ковариантных и контрвариантных векторов и операций с ними. Пока расположение индексов дело удобства письма. Иногда, для краткости письма перечень переменных, от которых зависит рассматриваемая величина, опускается. Но делается это только там, где это не ведет к недоразумениям. Есть двойственность в пространственно-временном описании изучаемого явления. Она вытекает из того, что собственно изучается. Предположим, что рассматривается некоторая величина Q t, x, y, z . Это можно понимать так: рассматривается величина, имя которой Q в момент времени t , находящейся в пространственной точке x, y, z . Функция

Q t, x, y, z описывает распределение этой величины в пространстве и времени. Эта точка зрения соответствует системе координат Эйлера. Есть другой способ. Он фиксирует значение величины Q t, x, y, z для координат t, x, y, z и далее рассматривает, как меняются

координаты этого выделенного значения (например, для выделенной точки) со временем. Такой способ введения системы координат называется системой координат Лагранжа. Координаты

x, y, z в таком способе оказываются функциями времени.

Скорость в данной точке x, y, z это вектор v v t, x, y, z v t, v vx , vy , vz ,

имеющий компоненты.

218

u vx v1 dxdt ; v v y v2 dydt ; w vz v3 dzdt .

Следующая формула, выражающая правила дифференцирования, связывает различные производные по времени:

 

dQ t, x, y, z

 

Q t, x, y, z

 

v

 

grad Q t, x, y, z .

(2.1.3)

 

 

 

dt

t

 

 

 

 

 

 

Q t, v , то

Если объем V движется и в нем имеется значение некоторой величины

Q t, v dv есть функция времени, выражающая количество того, что обозначено символом

V t

Q t, v . Следующее равенство является тождеством:

d

 

 

d

 

 

 

Q t, v dv

 

 

 

Q t, v Q t, v div v dv .

(2.1.4)

 

 

dt

V t

V t dt

 

 

Внесение дифференцирования по времени под знак интеграла приводит к появлению под интегралом дополнительного слагаемого. Это связано с тем, что сам объём зависит от времени,

трансформируясь с его изменением. Если этот объем неизменен, жидкость несжимаема, то div v 0 div v и второе слагаемое под интегралом отсутствует. Если Таким образом, если

величина

Q t, v dv сохраняется во времени то:

V t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

Q t, v dv 0

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

V t

и, следовательно:

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

Q t, v Q t, v div v dv 0 .

 

 

 

V t dt

 

 

 

В силу произвольности объема V t отсюда получаем:

219

 

 

 

 

 

 

d

Q t, v Q t, v div v 0.

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Учитывая (2.1.3):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q t, v

 

 

 

 

 

Q t, v

 

 

 

 

v

grad Q

Q t, v div v dv

 

 

 

div Q t, v v dv 0

t

t

V t

 

 

 

 

 

V t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В силу произвольности объема V из сохранения величины

Q t, v dv следует:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V t

Q div Q t, v v 0 .

t

Если дополнительно потребовать выполнение условия div v 0 то, как указывалось и следует из (2.1.4):

 

d

 

 

 

d

 

 

 

 

 

Q t, v dv

 

Q t, v dv .

 

dt

 

 

V t

V t dt

 

Условие div v 0 называется требованием

несжимаемости, поскольку для закона

сохранения, записанного в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

Q t, v Q t, v div v 0 ,

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

неизменность во времени величины Q t, v , в качестве которой можно рассматривать, например

плотность, означает Q t, v div v 0 , что эквивалентно

div v 0 .

Другим

названием

неизменности во времени

Q t, v может служить несжимаемость этой величины.

Отсюда и

приведенное условие называется условием несжимаемости.

 

 

 

Если же величина

Q t, v dv

не сохраняется то

d

Q t, v dv q t, v dv 0 и

dt

 

V t

 

V t

V t

 

закон (2.1.4) преобразуется в:

 

 

 

 

 

 

 

Q t, v

 

div Q t, v v q t, v .

 

(2.1.5)

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

Эквивалентная форма записи:

220

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.