Кобрунов А_Мат методы модел в прикл геоф 2

Оператор внешнего дифференцирования превращает k-форму в (k+1) – форму.

Следующий пример в трехмерном пространстве поясняет и полезность и смысл

введенного понятия. Напомним, что наряду с координатами x xi ,i 1 3 используется их эквивалентное обозначение x x, y, z . Это правило носит общий характер.

Ноль-форма – это обычная функция пространственных переменных. Пусть o – ноль-

форма, эквивалентное обозначение которой в виде функции есть f x . Внешний дифференциал

формы o оказывается связанным с градиентом этой функции, как это следует из (1.3.23),

соотношением:

В смысле этого соответствия можно говорить о том, что внешней производной от ноль-

формы соответствует оператор градиента, а внешнему дифференциалу – скалярное произведение

внешней производной (градиента) на вектор базисных элементов в пространстве l – форм.

Запишем теперь l-форму 1 в трехмерном пространстве

1 A x dx B x dy C x dz . Вычислим её внешний дифференциал по формуле (1.3.23). Это

дает 2-форму:

Легко заметить, что полученные компоненты внешнего дифференциала от l формы есть компоненты оператора rot от вектор-функции F x A x , B x ,C x , скалярно умноженные на базисные элементы в пространстве 2-форм. Таким образом, внешний дифференциал l-формы есть скалярное произведение его внешней производной, которая является ротором функции F x A x , B x ,C x , на вектор базисных элементов в пространстве 2-

форм. Обратим внимание также и на то, что d(d o ) =0, что соответствует известному равенству: rot grad f (x) 0 , утверждающему безвихревой характер потенциального поля.

Для 2-формы 2 q x dx ^ dy g x dy ^ dz h x dz ^ dx имеем:

151

где w x q x , g x , h x . Таким образом, внешняя производная от 2-формы есть дивергенция от её компонент, а внешний дифференциал – произведение производной на единственный базисный элемент в пространстве 3-форм.

Вновь обратим внимание на то, что и здесь d (d 1 ) =0, что соответствует известному равенству div rot F x 0 , утверждающему тот факт, что вихревое поле не имеет источников.

Правило d 2 =0 имеет общий характер. Действительно:

Но последнее выражение равно нулю, поскольку оно же должно быть равно:

что в силу антисимметрии возможно только для нуля.

В связи с тем, что внешний дифференциал от внешнего дифференциала формы всегда равен нулю, возникает вопрос – верно ли обратное утверждение? Всякая ли форма, внешний дифференциал которой равен нулю, сама является внешним дифференциалом некоторой иной формы более низкого порядка.

Форма называется замкнутой, если d 0 .

Форма называется точной, если она является внешним дифференциалом некоторой другой формы ' : d . Другим названием свойства формы быть точной служит

когомологичность нулю. Форма когомологичная нулю это тог же самое что и точная форма. Такое название подчеркивает двойственность с другим объектом гомологичном нулю циклом,

рассматриваемым далее.

Доказанное выше утверждение о том, что операция d 2 дает тождественный ноль,

означает, что всякая точная форма замкнута. Это утверждение называется леммой Пуанкаре и

представляет собой один из фундаментальных результатов топологии. В общем случае произвольных топологических пространств не всякая замкнутая форма точна. Это связано с возможным "экзотическим" строением топологических пространств. Следовательно,

152

поставленный выше вопрос имеет, вообще говоря, отрицательный ответ. Однако в евклидовых пространствах, имеющих простую топологическую природу и которые исчерпывают большую часть приложений, обратное утверждение оказывается верным: всякая замкнутая форма точна.

Две формы 1 и 2 называются когомологичными друг другу, если их разность 1 - 2

является формой когомологичной нулю.

Цепи, циклы, гомологии

С точки зрения интегрирования, внешние дифференциальные формы это то, что стоит под знаком интеграла. Двойственным к этому объекту является та поверхность, область или линия, по которой предстоит проинтегрировать дифференциальную форму. Этот объект называется цепью.

Цепь и дифференциальная форма сопряжены друг к другу в том понимании, что действуют друг на друга по правилу интегрирования дифференциальной формы по цепи, в результате которого

(интегрирования) получается скаляр. Линия называется 1-цепью, поверхность 2-цепыо и т.д.

Произвольную n-мерную цепь обозначим Сn. Понятно, что границей n-цепи является (n-1)-цепь.

Для объема это – замкнутая поверхность, для поверхности это – замкнутая линия, для линии это – две точки. Обозначим оператор взятия границы, представляющий собой отображение Сn в Сn-1.

Этот оператор действует на некоторую n-мерную цепь и ставит ей в соответствие ее границу – цепь порядка n-1. Цепи, не имеющие границы, называются циклами или замкнутыми цепями. Они сродни замкнутым дифференциальным формам, если операцию внешнего дифференцирования ассоциировать с операцией взятия границы. Цепи, не имеющие границы и являющиеся потому циклами это, например, поверхность сферы в трехмерном пространстве, замкнутая линия. Для циклов Zn имеем Zn 0 . Если n-мерный цикл Zn ограничивает (n+1) мерную поверхность C ,

т.е. Zn , то он называется гомологичным нулю в соответствующей области пространства.

Понятие гомологичного нулю цикла двойственно понятию когомологичной нулю (или точной) формы. А понятие цикла двойственно понятию замкнутой формы. Поскольку граница границы равна нулю, то 2 C C 0 . Это двойственное утверждение для леммы Пуанкаре для дифференциальных форм.

Для цикла Z цикл – Z – эта та же поверхность Z, но противоположной ориентацией. Сумма двух циклов понимается в том смысле, что при интегрировании сначала проходим по одной поверхности, а затем по другой. В этом смысле следует понимать выражение mZ, где m – целое число, как m-раз прохождения поверхности Z при интегрировании.

1.3.4 Обобщенная формула Стокса

Одним из важнейших результатов, который иллюстрирует полезность и мощь введенных понятий, является обобщенная формула Стокса.

Обобщенная формула Стокса устанавливает связь между n формой и (n+1)-цепью:

153

Она состоит в утверждении того, что интеграл по цепи от внешнего дифференциала формы равен интегралу по циклу, соответствующему цепи от самой формы. Значок для определения цикла перемещается из интеграла в значок d под интегралом. Это правило легко запомнить.

Приводимое ниже доказательство обобщенной формулы Стокса является схематичным иллюстративным. В нем не обсуждаются подробности, которые делал бы рассуждения полностью строгими, поскольку их обсуждение выводит за круг введенных и требующихся для дальнейшего понятий.

Доказательство.

Формулу (1.3.24) достаточно доказать для случая, когда область C представляет собой к-

мерный куб Ik, выделенный равенством: 0 xi 1, i=1,2,..,k . Куб с произвольными размерами граней получается масштабным преобразованием координат, в равной степени влияющих на правую и левую часть (1.3.24). Произвольный объем может быть получен объединением кубов.

Поверхности кубов, оказавшиеся внутри области и касающиеся один другого, оказываются при интегрировании по поверхностям противоположно ориентированными и интегрирования по ним взаимно сокращаются. После интегрирования по всем поверхностям кубов, из которых составлен объем С, не сокращенным взаимно останутся лишь те, которые образуют поверхность области –

C . Граница куба Ik состоит из 2 k кубов I k 1 . Для каждого i 1 i k можно выделить два (

мерных куба Iik,1 1 и Iik,0 1 соответствующие значению координаты xi =1 и xi 0

соответственно. Поскольку интегрирование по поверхностям может быть корректно определено только в том случае, когда непротиворечивым способом определены ориентации всех входящих в интегрирование поверхностей, следует определить ориентации Iik,1 1 и Iik,0 1 . Ориентацию I k

можно согласовать, с ориентацией введенных Ilk,1 1 и Ilk,0 1 , которые считаются заданными. Если i

четно, то Ilk,0 1 совпадает с I k , а Ilk,1 1 противоположно I k . Если наоборот i – нечетно, то Ilk,0 1

противоположно ориентации I k , а Ilk,1 1 с ней совпадает.

Заметим, что (k-1) форма в k мерной области может быть записана следующим образом:

k

(x) ( 1)i ai (x)dx1 ^ .. ^ dxi 1 ^ dxi 1 ^ dxk .

i 1

Тогда:

154

Ilk,0 1 . Тогда из указанного выше правила ориентации для I k и вытекает:

d

Доказательство завершено.

Рассмотрим частные случаи приведенной формулы Стокса (1.3.24). С этой целью подставим в (1.3.24) приведенные выше примеры дифференциалов внешних форм в трехмерном пространстве.

Пусть С – некоторая линия в трехмерном пространстве начальной точкой x1 и конечной x2 . Рассмотрим ноль-форму 0 x f x f(x) и воспользуемся (1.3.24):

Это хорошо известный результат из контурного интегрирования. Он означает, что векторное поле или векторнозначная функция пространственных координат, представимое в виде градиента некоторой скалярной функции имеет в качестве своего интеграла вдоль линии,

соединяющей две точки, результат, не зависящий от пути интегрирования, а зависящий лишь от значения скалярной функции в этих двух точках. Отсюда, в частности, следует, что интегрирование

155

такого векторного поля по замкнутому контуру дает тождественный ноль. Векторное поле,

представимое как градиент скалярной функции, как известно, называется потенциальным, а сама скалярная функция – потенциалом. Возникает обратный вопрос. Следует ли из равенства нулю интеграла от векторного поля по любому замкнутому контуру его потенциальность.

Положительный ответ на него будет дан позже теоремой де Рама.

Рассмотрим следующий частный случай (1.3.24). Пусть С поверхность в трехмерном пространстве. Рассмотрим 1-форму 1 Adx Bdy Cdz , определяющую векторнозначную

Записывая это равенство для векторного поля F x A x , B x ,C x , получим

формулу Стокса в более привычном виде:

Fl dl rotn FdS .

C C

Здесь Fl – компонента поля F x A x , B x ,C x в направлении элемента дуги кривой C , rotn F – компонента вектора rot F в направлении вектора нормали n к элементу dS

поверхности C.

Величина:

Fl dl

C

называется циркуляцией векторного поля по замкнутому контуру C .

Если С некоторая поверхность, то величина

Fn dS ,

C

где Fn x – компонента вектора F x в направлении нормали n элемент поверхности dS,

называется потоком векторного поля F x через поверхность С.

156

Таким образом, из обобщенной формулы Стокса следует и её обычная форма – поток ротора векторного поля через поверхность равен циркуляции векторного поля по контуру,

ограничивающему эту поверхность.

Пусть теперь С – объем. Тогда C – ограничивающая её поверхность. Для 2-формы

2 q x dx ^ dy g x dy ^ dz h x dz ^ dx

имеем:

2 q(x)dx ^ dy g(x)dy ^ dz h(x)dz ^ dx

трансформируется в хорошо известную формулу Гаусса-Остроградского:

Fn x dS div Fdxdydz .

Величина:

div Fdxdydz

C

называется расходимостью векторного поля в объеме С.

Таким образом, поток векторного поля через поверхность, ограничивающую заданный объем, равен расходимости векторного поля в этой области. Все это хорошо известные из векторного анализа результаты. Однако приводимые их формулировки справедливы в многообразиях произвольного числа измерений, в том числе и фазовых пространствах сложной природы, где традиционные рассуждения уже не работают.

Интуитивно ясно, что гомологичные нулю циклы и точные формы связаны между собой через интегрирование. Эта связь устанавливается одним из наиболее замечательных результатов теории дифференциальных форм – теоремой де Рама.

Теорема де Рама:

1. Для того, чтобы замкнутая форма в области U была точной, необходимо и достаточно,

чтобы ее интеграл по любому циклу, лежащему в области U, был равен нулю;

157

2. Если интеграл от любой замкнутой формы в области U по циклу Z равен нулю, то найдется такое целое число m, что цикл mZ гомологичен нулю.

Утверждение теоремы де Рама становится почти очевидным, если внимательно поразмышлять над обобщенной формулой Стокса:

d .

C C

Теорема де Рама дает утвердительный ответ на поставленный ранее вопрос о том, всякое ли векторное поле F x , интеграл от которого по произвольному замкнутому контуру С равен нулю, есть поле потенциальное. Действительно, из ее первого утверждения следует, что в таком случае

1-форма, соответствующая векторному полю F x , точна и есть внешний дифференциал ноль-

формы. А это означает представимость поля через градиент скалярной функции, т.е. его потенциальность. Отсюда также следует, что ротор потенциального поля тождественно равен нулю. Впрочем, это легко проверяется и прямыми вычислениями. Следовательно, из равенства нулю ротора векторного поля следует его представимость через градиент скалярной функции.

Аналогичен результат и для 2-форм. Из равенства нулю потока векторного поля F x

через любую замкнутую поверхность C , ограничивающую объем С, следует (теорема Гаусса-

Остроградского) равенство нулю дивергенции этого векторного поля. В силу теоремы де Рама,

отсюда вытекает точность 2-формы, соответствующей векторному полю F x и ее представимость как внешнего дифференциала некоторой 1-формы (которой соответствует некоторое векторное поле А). Последнее означает, что равенство нулю дивергенции векторного поля F x означает его представимость в виде ротора некоторого другого векторного поля (А),

которое принято называть векторным потенциалом.

В подобного рода примерах следует внимательно относиться к виду замкнутой области.

Не учет ее топологических характеристик может привести к ошибочным заключениям о ее гомологичности нулю. Покажем в качестве примера, что круг S, ограничивающий окружность с выколотой точкой в центре - начале координат, не гомологичный нулю цикл.

Рассмотрим 1-форму :

ydx xdy .

x2 y2

158

Эта форма всюду, за исключением точки x=0, y=0, замкнута: d 0 и, если бы окружность

S была бы границей круга с выколотой точкой начала координат (где рассматриваемая форма уже не замкнута), то:

d 0 .

S

Однако прямое вычисление показывает, что: 4 , и, следовательно,

S

рассматриваемая окружность не гомологична нулю.

1.4 Операторы теории поля

1.4.1 Лапласиан

При математическом моделировании совершенно различных, на первый взгляд процессов

и состояний объектов в Науках о Земле, возникают родственные – однотипные группы преобразований, входящих различными комбинациями в конструируемые уравнения. Это легко видеть уже на примере фундаментальных законов сохранения, приведенных в разделе 2.1.

Касаясь законов движения масс, тепла или сохранения электрических зарядов в пространственных комбинациях производных с удивительным постоянством появляются формы

могут зависеть еще от некоторых координат – например, времени, но операции дифференцирования относятся именно к пространственным координатам. Следует выяснить, что собственно означают подобные выражения и какую смысловую нагрузку они несут. И это не праздное любопытство. Такая информация может помочь как при составлении уравнений,

характеризующих изучаемое явление, так и что более важно, при решении уравнений – собственно моделировании. Например, последнее может быть достигнуто, если удастся заменить на этой основе трудоемкие процедуры вычисления интегралов на некоторые простые геометрические приемы оперирования с объектами в целом – например, сдвигами,

растяжениями или нахождениями центров тяжести. Это полезные приемы при моделировании.

координат он записывается в соответствии с правилами преобразования координат.

Воспользуемся следующей аналогией. Пусть происходит деформация тела и в окрестности точки

159

элементарную прямоугольную призму, которая до деформации имела стороны равные x, y, z

произведениями частных производных, имеющих смысл произведения относительных

удлинений, как величинами второго порядка малости получим, что после деформации наша

произведениями частных производных как величинами малыми получим, что при деформации с

векторного поля состоит в том, что это относительное изменение объема при деформациях характеризующихся компонентами равными компонентам векторного поля, от которого дивергенция рассчитывается. Иными словами это мера сжатия или растяжения объема. Ранее было выяснено, что из закона сохранения массы несжимаемость тела влечет равенство нулю дивергенции компонент скорости смещения точек тела, которую можно трактовать как скорость дилатации.

Физический смысл оператору дивергенции можно придать и исходя из уравнений теории поля. Первое из них состоит в том, что всякое векторное поле F v можно разложить в сумму

двух других полей так что F v E v G v , причем, div F v div E v и divG v 0 , а

rot F v rot G v и rot E v 0 . Тогда E v gradU v , где U v скалярная функция,

называемая потенциалом, а G v rot H v где H v называется векторным потенциалом.

Компоненты E v и G v называются соответственно потенциальной и вихревой составляющей

160