Кобрунов А_Мат методы модел в прикл геоф 2

Следствие. Операторы A* A и AA* имеют одни те же собственные числа равные квадрату

Im U Im A .

Аналогией реконструкции оператора с помощью полярного разложения может выступать

восстановление комплексного числа z по его модулю z с помощью операции вращения по

окружности (без изменения длинны) – частично изометрический оператор.

Близкий результат, но отнесенный к частному виду операторов Гильберта–Шмидта –

квадратных конечномерных матриц формулируется следующим образом.

Отсюда, в частности, следует, что унитарно эквивалентная матрица к любой квадратной матрице может быть представлена в виде диагональной матрицы D , в которой ненулевые члены только те, что стоят на диагонали и равны собственным числам исходной матрицы, и некоторой добавочной M , ненулевые члены которой расположены только выше (или только ниже)

диагонали. Матрицы M и U определены неоднозначно. Если A нормальная матрица, то можно так подобрать U , что матрица M окажется нулевой – состоящей только из нулей.

Теорема об обратном спектре. Если A X , X и Ker A 0 , то собственные числа операторов A и A 1 взаимообратны (если i A , то i 1 A 1 .

71

Следствие. Если A самосопряженный вполне непрерывный оператор, то его максимальное собственное число равно норме оператора max A . Минимальное собственное

Разложение единицы. Совокупность собственных элементов, образующих ортогональную систему сильно положительного самосопряженного вполне непрерывного оператора, можно рассматривать как новый ортогональный базис в пространстве X . Это следует из Теоремы о спектре самосопряженного вполне непрерывного оператора. Расположив собственные числа по мере их возрастания8, можно ввести подпространства H i , соответствующие собственным

Hi 1 Hi 1 / Hi это просто подпространство образованное собственными элементами для

собственного числа i 1 . Можно определить оператор E( i ) ортогонального проектирования

произвольного элемента f из X на H i . Так что E( i ) E( j ) i j – оператор

проектирования на подпространство образованное собственными элементами из диапазона собственных чисел от i до j – ( j 1)H H j / Hi . В частности, E( i ) E( i 1) P( i )

проектирование на подпространство собственных элементов с собственным числом i . Также понятно, что E( max ) – тождественный, единичный оператор, поскольку E( max ) есть проектирование на все X . Оператор E( i ) называется разложением единицы. Действие любого

оператора с дискретным спектром, а это, в частности положительные самосопряженные вполне

непрерывные операторы, можно представить теперь в виде Af i (E( i ) E( i 1 )) f или в

i

интегральной форме A f dE f .

0

В приведенных обозначениях эта запись, возможно, кажется более сложной, чем просто запись Af , но она, как никакая другая, вскрывает смысл проводимого оператором A действия.

8 Напомним, что максимальное собственное число равно абсолютной норме оператора, а минимальное – в

случае оператора с нулевым ядром, а для положительного оператора, в соответствие с теоремой об обратном спектре – его обратной величине. Для ситуаций с нетривиальным ядром, минимальное значение самосопряженного неотрицательного оператора равно нулю

72

Суммирование результатов проектирования на P( i ) элемента f . Также она вскрывает и

смысл введенного названия – разложения единицы.

1.1.5 Нелинейные операторы

По большей части реальные законы, которыми приходится оперировать в науках о Земле,

являются нелинейными. Но даже линейные операторы после того как область их определения сужается на некоторое множество не являющееся линейным пространством, перестают быть линейными, поскольку определение линейности включает в себя и соответствующее свойство области определения оператора.

Реально можно говорить только о некоторых линейных приближениях к изначально нелинейным операторам. Вопрос, таким образом, состоит в том как эти линейные приближения находить и какими важнейшими свойствами нелинейные операторы должны обладать, что работа с ними была конструктивной.

Приводимые далее результаты справедливы как в гильбертовых, так банаховых пространствах. Поскольку достижение максимальной общности результатов не входит в наши задачи – будем формулировать понятия в пространствах Гильберта, имея в виду что все то же самое можно сказать и о пространствах Банаха – норма в которых не определена через скалярной произведение. Это потребуется далее при решении задач о наилучшем приближении, в

ситуациях, при которых наилучшее приближение рассчитывается относительно нормы банахова пространства, не имеющего своего «гильбертова аналога».

73

Оператор A’(f) называется производной или дифференциалом Фреше A(f) на элементе f.

Разница между двумя этими понятиями – производной Гато и Фреше проявляется в

некоторых экзотических случаях особой нерегулярности отображений. Но практически важное значение имеет такое обстоятельство.

Определение производная Гато дает конструктивный способ ее нахождения. Если грубо говорить, достаточно взять два близких элемента, рассчитать разность значений оператора на них и эта разность есть приближенное значение производной на разности элементов в точке – например первом из них. То касается производной Фреше, то ее определение гарантирует выполнение очень важных свойств аппроксимации производной. Желательно пользоваться этими свойствами, оставляя за собой право считать по алгоритму нахождения производной Гато. Это конечно достаточно грубая и вольная трактовка разницы между производными Гато и Фреше,

некоторые данные, которые представимы как элемент u s Y . Например это гравитационное или температурное поле распределенное на поверхности земли. Известен закон, связывающий характеристики источников этого поля f v , например форму структурных поверхностей и наблюдаемую u s . Следует по данным u s найти f v . Если закон A f нелинейный, то

74

называется процедурой линеаризации. По ряду причин чисто физического характера, уравнение

A f (v) u s имеет решение, т.е. u s Im A f (v) . Например это следует из физического

существования источников, поле от которого наблюдается. Но имеет ли решение уравнение

линеаризации может просто не работать.

Приведенные определения дифференцируемости годятся не только для операторов, но и

функций и функционалов. Последний случай весьма поучителен.

Пусть определен дифференцируемый по Фреше на элементе f (нелинейный) функционал

f . В соответствии с определением его производная Фреше это линейный ограниченный

Риса об общем виде линейного непрерывного (ограниченного) функционала, он однозначно

обозначается grad f .

В случае банаховых пространств приведенный пример без введения некоторых дополнительных понятий, впрямую, не работает, прежде всего потому что общий вид функционала уже не скалярное произведение а некоторые иные интегралы, определяемые

функциями не из X а другого – двойственного к X пространства. Однако пока достаточно сказанного.

Из дифференцируемости по Фреше отображения. следует однозначность определения

производной, непрерывность отображения, дифференцируемость его по Гато и совпадение производных Фреше и Гато. Поэтому в дальнейшем мы будем опускать термин « по Фреше» там,

где это не вызовет недоразумений и использовать просто термины «производная,

дифференциал».

Следующая последовательность утверждений есть просто распространение на операторный случай соответствующих правил дифференциального исчисления. Они легко

75

[0, 0] :

f t q r t M ,

Касательное множество Ker A f

M { f X : f1, f2 M A f1 A f2 }

f

Рисунок 1.2 – Касательные множества

Теорема Люстерника. Если A f дифференцируем, регулярен на элементе f и его производная Фреше непрерывна в равномерном смысле в окрестности элемента f , то касательное к M множество совпадает с ядром

Ker A f h X : A f h 0 оператора A f .

76

Доказательство этого утверждения с очевидностью следует из сопоставления определений ядра оператора и касательного множества.

1.1.6 Линейные уравнения в Гильбертовом пространстве

Уравнения, в том числе и нелинейные, существуют для двух целей. Первая, самая главная состоит в том, чтобы над ними размышлять, пытаясь понять, что они собственно означают. Вторая

– второстепенная по смыслу но наиболее распространенная на практике – для того чтобы их решать. Вот этот вопрос о решениях относительно линейных уравнений сейчас и рассмотрим.

Пусть A X Y . Главным предметом рассмотрений служит уравнение

Если в приведенных определениях множество Q D A совпадает со всем X и, как

следствие U Im A , то уравнение (1.1.6) называется всюду разрешимым (в.р.), плотно разрешимым (п.р.), однозначно разрешимым (о.р.), корректно разрешимым (к.р.) без добавления уточняющего термина – на множестве. Из приведенных ранее результатов следует,

что корректная разрешимость на Im A означает, что A 1 Y , X т.е. является непрерывным оператором из Y в X .

77

Все введенные понятия и результаты относительно замкнутого оператора с областью

определения в пространстве Х можно распространять и на случай, когда KerA содержит нетривиальные элементы и образует линейное многообразие в X . Это соответствует ситуации

однозначного оператора, имеющего многозначный обратный. Делается это следующим образом.

Разобьем все пространство X на классы смежности [f], содержащие вместе со всяким

элементом f X и все элементы f+g, где g KerA . Легко видеть, что два класса

либо совпадают, либо не пересекаются. Множество всех таких классов обозначим Х\КerА. Оно образует нормированное пространство, если норму в нем определить следующим образом9:

X / KerA . Пространство этих классов называется фактор пространством пространства Х по множеству КerА. К так модифицированному оператору А, который называется факторизованным,

приемлемы все приведенные результаты об ограниченности обратного. При этом под обратным понимается соответствие элементу y класса f с нормой (1.1.7). Классы f смежности для ограниченный операторов есть замкнутые множества, в X поскольку являются сдвигами замкнутого множества KerA . Поэтому на f , в силу его замкнутости существует элемент fн

имеющий минимальную норму в X . Минимум в (1.1.7) достигается. Этот элемент называется нормальным решением уравнения (1.1.6) для соответствующего y Im A .

Так, например, если оператор А – замкнут, действует из Х в Y, ImA имеет в Y внутренние точки, то факторизованный оператор имеет ограниченный обратный (из Y в Х\КerА).

Следовательно, оператор, ставящий в соответствие элементу y Im A нормальное решение fн

, есть непрерывный и задача (1.1.6) нормально корректно разрешима.

Примером подобному случаю может служить операция проектирования точек трехмерного пространства на некоторое двумерное подпространство этого пространства. Ядром оператора служит линия, проходящая через ноль и ортогональная подпространству, на которое

78

те же самые что для другой. Нет никакой разницы. Однако им соответствуют различные нормальные решения. Вот здесь различие может быть очень существенным. Это важное для геофизики обстоятельство, поскольку там многие задачи допускают многозначное решение. Как следствие ядро соответствующего оператора содержит отличные от нуля элементы. В итоге свойства нормальных решений существенно предопределены видом используемой нормы.

Теорема о нормальных решениях. Пусть оператор A X Y замкнут. Тогда для каждого y Im A существует единственное нормальное решение fн , множество которых, при y пробегающем все Im A , образует линейное многообразие в X .

Это многообразие A, X называется классом нормальных решений.

Следующий результат очевиден.

Следствие. Уравнение (1.1.6) на A, X однозначно разрешимо. A A, X

Каждый из видов разрешимости (плотная, всюду, корректная) сохраняется при сужении области определения оператора A на A, X D A .

Приведенная ранее теорема о ядре позволяет установить связь между различными свойствами разрешимости для исходного оператора A и ему гильбертово сопряженного A* . Она утверждает связь между ядром исходного оператора и ортогональным дополнением к множеству

замкнуто, в то время как ортогональное дополнение есть замкнутое множество10, то следует осуществить операцию замыкания, в результате чего получим:

KerA* (Im A)

.

10 Последовательность ортогональных к заданному множеству элементов в качестве предела имеет опять

таки ортогональный к нему элемент

79

Теперь, пользуясь этими двумя результатами, легко найти связь между различными видами разрешимости замкнутых операторов с плотной областью определения. Приведем ее в виде таблицы 1.1.

Таблица 1.1

Тот факт, что уравнение (1.1.6) не является однозначно разрешимым, физически означает

недоопределенность задачи – нехватку данных для нахождения решения. Она, как показано выше, снимается введением понятия нормального решения и постановкой вопроса об его нахождении. Однако задача может быть и противоречивой – переопределенной. Это означает, что при заданном y Y решения просто не существует или, что то же самое y Im A . Таким образом, в Y существуют элементы не принадлежащие Im A . Но на множестве Im A можно найти ближайший к элемент, что сводится к нахождению ортогональной проекции y на Im A .

Достигается это рассмотренной ранее процедурой ортогонализации. В соответствии с теоремой о

несуществования решения уравнения (1.1.6). В этом состоит альтернатива Фредгольма. Или

уравнение (1.1.6) потно разрешимо, или сопряженный оператор имеет нетривиальное

(содержащее отличные от нуля элементы) ядро. Для переопределенной задачи исправит ситуацию можно, как указывалось выше процедурой ортогонализации. Если y не принадлежит

80