Кобрунов А_Мат методы модел в прикл геоф 2

пространства состоял из взаимно ортогональных элементов. Процедура построения такого ортогонального базиса из исходного называется ортогонализацией. Если же после ортогонализации и получения нового базиса hi , каждый из его элементов разделить на величину

ортонормированным базисом. По построению все элементы, входящие в ортонормированный базис гильбертова пространства являются взаимно ортогональными и имеющими единичную норму. Ниже более подробно рассматривается процедура ортогонализации. Заметим, что одно и то же гильбертово пространство может иметь и имеет множество различных ортонормированных базисов переход од одного из которых к другому осуществляется с помощью линейных преобразований с матрицей имеющей специальные свойства.

Тот факт, что пространство H представимо в виде системы слагающих его взаимно-

ортогональных подпространств Hi записывается так: H H1 H2 ..... Означает он то, что

любой элемент f из H может быть представлен в виде линейной комбинации элементов

hi Hi , которые по определению взаимно ортогональны.

Любая система линейно независимых элементов fi гильбертова пространства H может быть преобразована в систему взаимно ортогональных элементов hi с помощью процедуры

ортогонализации. Эта процедура основана на ортогональном проектировании произвольного элемента q гильбертова пространства H на подпространство H H .

Ортогональной проекцией элемента q гильбертова пространства H на подпространство

любому элементу из подпространства, на которое проектируется элемент q . Процесс нахождения ортогонального элемента обеспечивает решение сопутствующей задачи: нахождению такого элемента h H из линейного подпространства H H , что он является ближайшим в смысле нормы H для q :

51

Касаясь задачи (1.1.2) и ее решения (1.1.1) важно подчеркнуть, что H линейное

многообразие в H в противном случае (1.1.1) не служит решением (1.1.2).

Тот факт, что нахождение ортогональной проекции элемента на подпространство это то же самое что нахождение элемента на подпространстве, минимально в смысле нормы гильбертова пространства уклоняющегося от проектируемого столь важное обстоятельство, что следует

привести его доказательство.

Теорема 1. Решение задачи (1.1.2) эквивалентно ортогональному проектированию.

Пусть для решения задачи (1.1.2) условие (1.1.1) не выполняется. Тогда существует хотя бы

что противоречит (1.1.2).

Эти вопросы более тщательно и подробней будут рассмотрены в разделе, посвященном

проблемам оптимизации.

Здесь, как и во многих других случаях с гильбертовым пространством имеется полная аналогия с Евклидовым пространством. Принимаем за очевидный факт то, что ортогональная

проекция любого q H на гильбертово подпространство H существует. Единственность

проекции также очевидна, но докажем все же это в силу особой важности последнего

q h 0 H ;

q h 0 H .

Вычитая одно из другого получаем:

h h 0 H .

52

Приведем еще один результат, необходимый в следующем разделе.

Плотное подмножество. В функциональном пространстве H может существовать подмножество H , состоящее из таких элементов, что любая функция из Н, может быть получена как предел последовательности из H . Такое подмножество называется плотным в H .

Например, множество непрерывных функций плотно в множестве функций с конечным числом разрывов первого рода. Разрывная с разрывами первого рода функция может быть представлена как предел сходящейся последовательности из непрерывных функций. Замыкание плотного в Н множества H это присоединение к нему всех пределов всех последовательностей из H . Эта процедура приведет к получению замыкания H H , которое как минимум включает в себя Н но может быть и существенно шире.

Теорема о замкнутости ортогонального дополнения. Пусть H1 линейное подпространство в гильбертовом пространстве H и H1 плотное в нем подмножество. Тогда ортогональные дополнения к H1 и H1 в H совпадают и замкнуты.

Доказательство состоит в констатации очевидного утверждения, что всякая сходящаяся последовательность из ортогонального дополнения к плотному подпространству имеет предел также ортогональный исходному плотному подпространству. Иными словами предел ортогональных элементов есть снова ортогональный элемент. Свойство ортогональности сохраняется при переходе к пределу.

Построение ортонормированного базиса. Теперь основываясь на системе линейно независимых элементов fi гильбертова пространства H легко построить систему взаимно ортогональных элементов hi . Алгоритм таков. Выбираем первый элемент f1 и принимаем его за h1 . Далее выбирая второй f2 , который линейно независим от f1 , находим его ортогональную проекцию 1 на подпространство H1 , образованное всеми линейными комбинациями h1 . Далее рассматриваем h2 f2 1 . По определению проектирования h2 f2 1 ортогонально H1 . Два взаимно-ортогональных элемента h1 и h2 есть. Они образуют базис в гильбертовом подпространстве H2 ; H1 H2 Понятно, что и f1 и f2 могут быть представлены как линейная

комбинация элементов h1,h2 . Следовательно и f1, f2 и любая их линейная комбинация

принадлежит H2 . Выбираем далее следующий элемент f3 , который по условию линейно

независим от f1, f2 и, следовательно не принадлежит H2 . Строим 2 как ортогональную проекцию f3 на H2 и конструируем h3 f3 2 . Этот третий элемент ортогонален H2 и базис

h1,h2 , h3 образуют подпространство H3 H2 . Продолжая этот процесс так далее, пока не будут

53

исчерпаны все fi , по описанной схеме получаем цепочку вложенных пространств Hi , натянутых

от hi к ei hi / hi , то получаемый новый базис ei будет вдобавок еще и ортонормированным.

Подчеркнем, что переход от начальной системы линейно независимых элементов, образующих

H к ортонормированной системе ei осуществляется с помощью линейного преобразования. У

одного и того же гильбертова пространства может быть много различных ортонормированных базисов, поскольку у него может быть много различных линейно независимых элементов. Но все они связаны между собой линейными преобразованиями. Это означает, что один и тот же элемент может быть представлен в виде линейной комбинации различных, например двух

линейной алгебры, называются унитарными. Приведенные рассмотрения будут уточнены далее.

Спецификой гильбертова пространства является то, что в нем норма определена через скалярное произведение. Это влечет за собой много полезных свойств, которыми обладают эти пространства. В частности определить понятие ортогональности и осуществлять ортогональное проектирование элементов на некоторое свое линейное подмножество. Существует множество других линейных пространств, оснащенных нормой. Они называются нормированными. Но,

удовлетворяя свойствам нормы [а-в], они, все же, не определяются через скалярное произведение, в них отсутствует понятие ортогональности элементов, хотя есть набор других

54

очень важных свойств. Таково, например, пространство непрерывных функций на некотором

Метрическим пространством называется пара ( X , (x, y)) , состоящая из множества Х и

функции (x, y) , определенной на X X , называемой метрикой, удовлетворяющая условиям:

1) (x, y) определена для всех x, y X и принимает только неотрицательные значения из множества вещественных чисел R1 ;

2)(x, y) =0 тогда и только тогда, когда x y ;

3)(x, y) ( y, x) ;

4)(x, z) (x, y) ( y, z) .

55

Сепарабельным называется нормированное пространство, имеющее счетное всюду

плотное множество.

Всюду плотное множество M в пространстве X это такое множество, замыкание

которого совпадает со всем X .

В связи с понятием плотного множества употребимым является понятие внутренней

внутреннюю точку. Но вот множество, имеющее в качестве координат рациональные числа, такой точки не имеет и, следовательно, нигде не плотно. Особая полезность этого понятия состоит в том, что если линейное многообразие M содержит хотя бы одну внутреннюю точку из X то

M X .

Далее рассматриваются только сепарабельные пространства, поэтому свойство сепарабельности отдельно оговаривать не будем. Связано это с тем, что не сепарабельные пространства хотя и интересны с точки зрения математической теории (пространство обобщенных

находятся во взаимно-однозначном соответствии. Более того этот изоморфизм является изометрическим, что означает равенство норм соответствующих элементов. Это важнейшая группа вопросов определяющая конструктивную сторону гильбертовых пространств.

Приведенное условие ортогональности (1.1.1) является конструктивным в том отношении,

что позволяет строить конкретные алгоритмы проектирования. Рассмотрим одну очень важную в приложениях задачу.

Пример 1. Пусть в некоторой области V значений переменной v определена некоторая функция v , которую будем рассматривать как элемент гильбертова пространства H L2 V

56

приближение – проекцию на подпространство l N . Воспользуемся для этого правилом (1.1.1): для искомой проекции – системы постоянных значений i

Но это означает что для каждого i :

v dv 0,i

Vi

i 1 v dv.

Vi Vi

Таким образом, операция проектирования функции v на подпространство, состоящее из постоянных значений в выделенной системе ячеек, сводится к вычислению среднего по каждой из ячеек.

Пример 2. В условиях предшествующего примера положим, что в пределах подобластей

Vi искомая проекция принимает не постоянное значение, а есть линейная функция координат.

Для простоты положим, что область V это интервал числовой оси а подобласти Vi это его непересекающиеся подинтервалы. Тогда в пределах каждого из них i ai v bi ,i 1, 2,...N .

57

проектирования (1.1.2). Тогда, искомая проекция суть решение задачи нахождения коэффициентов ai ,bi из условия:

Vi

i 1, 2,...N.

Дифференцируя последнее выражение по искомым параметрам и приравнивая результат нулю получаем:

v v dv ai v dv bi v dv;

Vi Vi Vi

v dv ai dv bi dv,

Vi Vi Vi

i 1, 2,...N.

Последняя система уравнений легко решается относительно коэффициентов ai ,bi , в

результате чего получаются аналоги известных формул для коэффициентов линейной регрессии в методе наименьших квадратов, где суммирование по значениям выборки заменяется интегрированием по соответствующему интервалу.

Коэффициенты ортогонального разложения произвольной функции f из гильбертова

изоморфно l 2 . Это значить, что любой элемент f H взаимно однозначно представим своими коэффициентами разложения по системе ei , которые (коэффициента) суть элементы

пространства l 2 . Более того, этот изоморфизм изометричен, поскольку, в силу того же условия

Факт изометрического изоморфизма гильбертовых пространств H составляет одну из формулировок теоремы Планшереля.

58

1.1.3 Линейные функционалы в Гильбертовом пространстве

Если формулировать результат рассмотрений этого пункта кратко и не строго, то он состоит

в том, что всякий линейный непрерывный функционал от f на H есть скалярное произведение

f и однозначно определенного элемента q из H . Причем норма функционала и элемента q

совпадают. Этот результат называется теоремой Ф. Риса. Теперь опишем это обстоятельство

f1, f2 D : 1 f1 2 f2 1 f1 2 f2 .

Функционал f называется непрерывным, если существует такое вещественное число

называется нормой функционала f и обозначается . Легко убедиться, что множество линейных функционалов само по себе является линейным пространством – пространством функционалов, а так введенная норма удовлетворяет всем требованиям предъявляемым к норме на банаховом пространстве. Из приведенного определения нормы следует эквивалентное определение

Это очень полезное определение, которое может использоваться не только для гильбертовых, но и произвольных банаховых пространствах.

Следующий результат является центральным в вопросе о функционалах.

Теорема Ф. Риса об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве.

Всякий линейный функционал f в гильбертовом пространстве H однозначно характеризуется элементом q H и:

f q f , причем q H .

Элемент q называется образующим элементом для f .

То, что выражение q f определяет линейный ограниченный функционал, следует из

определения скалярного произведения, а условие q H из неравенства Коши-Буняковского:

59

эквивалентны. Линейные ограниченные функционалы позволяют ввести много полезных для решения задач моделирования понятий. Одним из них служит слабая сходимость.

Последовательность функций fi сходится к функции f , относительно системы функционалов j если j fi f для всех j . Полезность этого понятия состоит в том,

что функционалы – это чаще всего наблюдаемые экспериментально результаты. Если последовательность этих данных сходится, то это означает только то, что сходятся значения функционалов но никак не последовательность тех функций функционалы от которых наблюдаются. О сходимости функций из сходимости функционалов можно судить лишь тогда,