Кобрунов А_Мат методы модел в прикл геоф 2

2.Если для любого дважды контрвариантного тензора Bmn выражение Amnk Bmn Ck есть вектор, то Amnk дважды ковариантный и единожды контрвариантный тензор третьего

Благодаря процедурам симметризации и альтернации произвольный тензор по каждой

своей паре индексов может быть разложен на симметрическую и антисимметрическую части.

Легко убедиться в тождестве Aij A[ij ] A{ij} . Но это означает также и то, что произвольный

аффинор, соответствующий тензору можно представить как сумму преобразований – симметрического и антисимметрического аффинора.

которые обозначим u1 c23 ; u2 c31 ; u3 c12 . Такой объект называется бивектором. Его

закон преобразования при координатных преобразованиях порожден законом преобразования

y1 x2u3 x3u2 ;

y2 x1u3 x3u1 ;

y3 x1u2 x2u1

Но это ни что иное, как векторное умножение вектора u {u1 ,u2 ,u3} на r {x1 , x2 , x3 }:

Cr ur . Хорошо известно, что ur соответствует повороту вектора r {x1 , x2 , x3 } вокруг оси,

имеющей направление u {u1 ,u2 ,u3} на угол равный u .

Симметричный аффинор B , характеризующейся симметричной матрицей bij

осуществляет деформацию – сжатия растяжения по т рем пространственным осям. Оси деформации определяются, как это известно, решением задачи на собственные значения:

Br r , которая имеет три решения 1 ,r1 , 2 ,r2 , 3 ,r3 . Собственные числа могут

141

совпадать. В этом случае все сводится просто к умножению на собственное число совпадающих направлений. Смысл собственных чисел состоит в том, что это коэффициенты удлинения в направлении осей – собственных векторов. Следовательно, деформация вызванная симметричным аффинором это чистое сжатие растяжение о чем и сказано выше.

Суммируя вышесказанное произвольный малый аффинор A можно представить как

A E C B, где E – единичный тензор, B – его симметрическая часть, полученная симметризацией, а C – его кососимметрическая часть полученная альтернацией. Все движение

под действием A распадается на растяжения сжатия вдоль осей r1 ,r2 ,r3 с коэффициентами сжатия 1 1 ,1 2 ,1 3 и поворот пространства за бесконечно малое время при векторе угловой скорости u {u1 ,u2 ,u3}.

Среди наиболее важных тензоров, участвующих в построении моделей сплошных сред особо выделяются тензор напряжений, тензор деформаций, тензор скоростей деформаций,

девиаторы напряжений, деформаций и скоростей деформаций.

Девиаторы тензоров – это новые тензора, полученные из исходных вычитанием из их

диагональных членов среднего значения диагональных членов. Для тензора напряжений i j его

Девиатор деформаций, определяет деформации не связанные с изменением объема. Девиатор напряжений исключает из рассмотрения гидростатическое давление, а девиатор скоростей деформаций также исключает изменение объема, но выраженное в терминах скоростей.

Метрический тензор. Пусть имеется ковариантный вектор dr выраженный через свои

ковариантные векторы базиса ei и контрвариантные координаты dxi в этом базисе: dr dxi ei .

Квадрат длины этого вектора определится как скалярное произведение вектора самого на себя:

142

векторами могут быть введены контрвариантные базисные векторы ei , e j и соответствующий им

контрвариантный метрический тензор gij ei e j .

С помощью метрического тензора можно поднимать и опускать индексы у тензорных (и

векторных) объектов переходя к контрвариантным и ковариантным представлениям одного и того же объекта:

Ar grk Ak ; Ar g rk Ak ; gkr grn g nk .

1.3.2 Элементы теории тензорных полей

В приложениях к задачам моделирования явлений в науках о Земле большее значения имеют не сами тензоры, а их пространственное и пространственно-временное распределения.

Именно распределением тензора в пространстве описывается поле напряжений или деформаций вызванных существующими нагрузками. Пространственным распределением тензоров физических свойств описываются многие неоднородности Земной коры. Также и наблюдаемые физические поля зачастую на самом деле представляют собой след компонент тензора – например, тензора электромагнитного поля. Рассмотрение пространственно-распределенных тензоров – тензорных полей требует определение операции дифференцирования, которая увеличивает ранг тензорного объекта на единицу и вообще говоря, требует введения новых понятий. Эти новые понятия связаны с тем, что правило дифференцирования требует рассмотрения тензорного поля в двух соседних точках пространства. В случае, когда координаты криволинейные и преобразование от одной точке к другой описывается с помощью зависимости от координат, следует определить, когда вектор или тензор в соседней точке есть просто координатно-преобразованный тензор или вектор в исходной. Если это так, то производная вычисляется, по сути, от постоянного значения и должна быть приравнена нулю. Следовательно,

143

не равные нулю пространственные производные должны быть за вычетом тех объектов – которые есть тождественные и меняются от точки к точке только за счет координатных преобразований.

Рассмотрим этот вопрос. Пусть имеется произвольный вектор r xnen . Понятно, что

следовательно, надо определить производную от базисного вектора. Можно считать, что эта производная есть тензор второго ранга и представляется линейной комбинацией базисных векторов в данной точке. Это дает правило, согласно которому должна существовать некоторая трехиндексная величина nkj (вообще говоря, не тензор) и

Это всего лишь выражение закона о линейном характере связи между производной базисного вектора и самими базисными векторами. Величина nkj называется символом Кристоффеля. Их другое название – более отображающее смысл – объект связности. Они связывают между собой компоненты вектора в разных точках. Если координаты декартовы, то базисные векторы не зависят от пространственных координат и, следовательно nkj 0 . Далее из

выражение символов Кристоффеля через компоненты метрического тензора. Это выражение таково [4]

Для производных от контрвариантных базисных векторов справедливо:

Для получения этого равенства продифференцируем уравнение ортогональности базисных векторов:

en em m, n ,

144

где m, n – символ Кронекера. Получим:

Умножая последнее равенство на e j получаем (1.3.13).

Для определения операции дифференцирования следует научиться рассматривать вектор,

полученный преобразованием переноса исходного вектора воль любой траектории в другую точку. Это будет тот же самый вектор, что и исходный, но в другой точке. Он постоянен. Его производная должна быть равна нулю.

Пусть координаты произвольной точки P кривой параметризованы с помощью параметра

Далее умножаем полученное равенство на g xm и суммируя по m от 1 до 3 получим

x

получим, пользуясь (1.3.12):

145

Тогда параллельно перенесенное векторное поле, остающееся тождественным при переносе, удовлетворяет уравнению:

Это уравнение утверждает равенство нулю производной от постоянного вектора переносимого в криволинейных координатах с помощью. Аналогично для ковариантных компонент вектора имеем уравнение для вычисления, аналогичное (1.3.15):

Таким образом, можно считать, что левые части выражения (1.3.15) и (1.3.16) определяют

ковариантную производную от контрвариантного и ковариантного векторов. Полученный объект после ковариантного дифференцирования вектора является тензором, в котором переменная, по которой выполнено ковариантное дифференцирование, есть ковариантный индекс. Эта производная обозначается символом «;» в индексе нового тензора:

Приведенные определения обобщаются на тензора произвольного ранга таким образом,

что операция (1.3.17) или (1.3.18) – добавление выражений с объектом связности повторяется для каждого из контрвариантных или ковариантных индексов:

146

С помощью приведенных определений ковариантной производной с помощью объектов связности (а они выражены через компоненты метрического тензора соотношениями (1.3.12)),

можно вычислять и высшие ковариантные производные. В частности вторая ковариантная производная ковариантного вектора Ar :

Поскольку объекты связности симметричны, имеем:

является тензором, который составлен из метрического тензора и его производных до второго порядка включительно. Он называется тензором Римана-Кристофеля или тензор кривизны. Точка в индексах символизирует место занятое индексом, находящимся выше. Опуская этот тензор по индексу p с помощью метрического тензора и проводя ряд преобразований можно получить следующее его выражение через метрический тензор:

нулю обеспечивает Евклидовость пространства. В Евклидовом пространстве может быть введена декартова система координат, в которой метрический тензор постоянен. В этом случае тензор кривизны тождественно равен нулю. Справедливо и обратное. Если в пространстве введена

147

метрика с помощью метрического тензора и тензор кривизны, рассчитанный с ее помощью по формуле (1.3.19) тождественно равен нулю, то в этой области – пространство Евклидово.

Пространства с ненулевой кривизной важны в физических теориях, поскольку с их помощью могут быть описаны многие эффекты, включая эффекты неоднородности среды.

1.3.3 Дифференциальные формы

С кососимметричными тензорами связан другой исключительно важный объект, который называется дифференциальной формой, позволяющий естественно сформулировать аналог теоремы Гаусса–Остроградского, формулы Стокса и других фундаментальных утверждений теории поля, справедливых для пространства любого числа измерений.

Понятие дифференциальных форм является обобщением традиционных дифференциальных операторов векторного анализа, таких как: градиент, дивергенция, ротор. Это обобщение, с одной стороны, распространяет подобного рода понятия и связи между ними на пространства любого числа измерений, что, возможно, и не слишком важно с конструктивной точки зрения, а с другой, что особо важно, позволяет увидеть общее, связывающее их начало и с единых позиций описать разнообразные связи между ними. При этом сами понятия оказываются геометрическими, наглядными и потому удобными в использовании.

Введенные ранее понятия ковариантных и контрвариантных объектов, по сути, основано на дуализме между ними, состоящем в том, что они естественно связываются между собой,

образуя скаляр с помощью скалярного произведения. Идея дуализма разных объектов, связь между которыми устанавливается через способ образования из них скаляра, пронизывает все ветви математики. Так, дуализм между различными классами функций, установленный через скалярное произведение, приводит к понятию взаимно сопряженных пространств, а тот же дуализм, установленный с помощью скалярного произведения образов операторов, приводит к понятиям сопряженных операторов. Аналогично может быть установлен дуализм – понятие двойственности между некоторыми дифференциальными объектами и результатами их интегрирования по геометрическим структурам – линиям, поверхностям, объемам. Этот дуализм и лежит в основе определения дифференциальных форм с одной стороны и геометрических объектов, называемых «цепями».

При рассмотрении физического поля часто приходится рассматривать интегралы от него либо его производных по поверхностям, линиям или объемам. При этом внимательное рассмотрение контурных и поверхностных интегралов в N -мерном евклидовом пространстве от тех либо иных аналитических объектов приводит к выводу о существовании дуализме – соответствия в смысле некоторого сопряжения с использованием скалярного действия – вычисления интеграла, между поверхностями, по которым происходит интегрирование, и видом

148

подынтегрального выражения. Действительно, для контурного интеграла в трехмерном пространстве мы пишем:

I1 Fx dx Fy dy Fz dz Fdr F | dr .

C C

где С – некоторый контур (кривая линия).

Для поверхностного интеграла:

I2 Gx dydz Gy dzdx Gz dxdy Gds G | ds .

S S

где S – поверхность.

В каждом из этих выражений на равных правах участвуют две компоненты:

подынтегральное выражение и тот геометрический объект линия, поверхность, объем, по которому происходит интегрирование. При этом размерности геометрического и аналитического

(находящегося под знаком интеграла) объектов очевидным образом связаны между собой.

Аналогичные конструкции получаются для интегрирования выражений по k -мерным поверхностям в n -мерных пространствах ( k n ). Рассмотрение этого дуализма является

плодотворным и позволяет с единых позиций описать многие характерные соотношения теории поля как геометрические свойства соответствующих объектов.

Пусть RN – евклидово пространство N измерений и – дифференциалы

координат. Обозначим " " упорядоченную композицию дифференциалов, обладающую свойством антисимметрии dxi dx j dx j dxi .

Внешней дифференциальной формой степени k , или просто k -формой называется выражение вида:

14 Четная перестановка натурального ряда чисел получается применением четного количества раз перестановки каждый раз произвольной пары чисел – с номером i и номером j:(i,j). Соответственно, если заданная числовая последовательность может быть получена применением таких элементарных перестановок нечетное число раз, то перестановка называется нечетной.

149

dxi1 ^ dxi2 ^ .. ^ dxik . Нетрудно видеть, что размерность пространства k -форм и ( n k ) – форм в n-

мерном в пространстве совпадают. Например, базисами k -форм в пространстве трех измерений

служат:

0 :1;

1 : dx; dy; dz;

2 : dx ^ dy; dy ^ dz; dz ^ dx;3 : dx ^ dy ^ dz.

Число базисных элементов для случая k = 1 и k = 2 совпадают. Дифференциальная форма нулевой степени – это обычная функция в пространстве RN . В силу антисимметрии все формы

степени более, чем N , равны нулю.

Для внешних форм можно ввести понятие внешнего произведения и внешнего

дифференцирования.

150