5.3Числовые характеристики дискретной случайной величины
5.3.1Понятие числовой характеристики случайной величины
Определение. Числовыми характеристиками случайной величины называются специальные числа, характеризующие отдельные свойства закона распределения.
Наиболее употребительными числовыми характеристиками являются математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, мода. Их последовательно и рассмотрим.
5.3.2Математическое ожидание
Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений значений данной величины на вероятности этих значений.
Обозначения: mX , MX, M(X). Таким образом, по определению
X
MX = xkpk.
k
Если число возможных значений случайной величины X равно n, то сумма в формуле содержит n слагаемых. Если же это число возможных значений X бесконечно (счетно), то сумма есть числовой ряд, причем этот ряд будем предполагать абсолютно сходящимся. В противном случае говорят, что случайная величина X не имеет математического ожидания. Абсолютная сходимость ряда обеспечивает однозначное определение математического ожидания, так как порядок суммирования в данном случае безразличен.
Свойства математического ожидания
Свойство 1. Математическое ожидание постоянной, т.е. неслучайной величины C равно этой постоянной:
MC = C.
Свойство 2. Постоянный, т.е. неслучайный множитель можно вынести за знак математического ожидания:
M(CX) = CM(X).
Свойство 3. Математическое ожидание суммы n случайных величин равно сумме их математических ожиданий:
nn
XX
M Xk = MXk.
k=1 k=1
Свойство 4. Математическое ожидание произведения n взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
nn
YY
M |
Xk = MXk. |
k=1 |
k=1 |
При этом по определению случайные величины X1, . . . , Xn называются взаимно независимыми, если взаимно независимыми являются события X1 < x1, ..., Xn < xn для любых вещественных x1, . . . , xn.
31
Пример. Испытываются независимо 3 прибора на надежность. Вероятность выхода из строя каждого равна p = 0.8. Найти математическое ожидание числа X вышедших из строя приборов.
Имеем схему повторных испытаний Бернулли, поэтому случайная величина X распределена по закону, для которого вероятности pk = Pn,k являются биномиальными. Тогда получаем следующий ряд распределения:
P (X = 0) = P3,0 = 0, 23 = 0, 008; P (X = 1) = P3,1 = 3 · 0, 8 · 0, 22 = 0, 096;
P (X = 2) = P3,2 = 3 · 0, 82 · 0, 2 = 0, 384; P (X = 3) = P3,3 = 0, 83 = 0, 512.
Ряд распределения запишем в виде таблицы распределения:
X |
0 |
1 |
2 |
3 |
p |
0,008 |
0,096 |
0,384 |
0,512 |
Имея ряд распределения, вычисляем математическое ожидание:
MX = 0 · 0, 008 + 1 · 0, 096 + 2 · 0, 384 + 3 · 0, 512 = 2, 4.
5.3.3Дисперсия
В некоторых случаях для получения полной информации о случайной величине недостаточно ее среднего значения, а требуется знать, насколько случайная величина отклоняется от ее среднего значения.
Определение. Отклонением случайной величины X от ее математического ожидания M(X) называется разность между X и M(X):
˜ − M
X = X (X).
Эта случайная величина ˜ называется также центрированной случайной величиной.
X
Заметим, что
M ˜ M − M M M − M
(X) = X ( X) = (X) (X) = 0,
поэтому M ˜ не может служить мерой среднего отклонения.
(X)
Определение. Дисперсией случайной величины X называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания.
Обозначения дисперсии: DX , DX, D(X). Таким образом,
2 |
˜ 2 |
). |
DX = M[(X − M(X)) |
] = M(X |
Обратим внимание на то, что (X − M(X))2 - простейший пример функции случайной величины X. Для ее построения необходимо по правилу yi = xi − M(X) определить ее возможные значения, оставив соответствующие вероятности. Очевидно, математическое ожидание такой случайной величины
X
M ˜ 2 − 2
(X) = DX = (xk mX ) pk.
k
Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины X, что в сравнительных целях неудобно, поэтому вводится числовая характеристика отклонений с той же размерностью, что и X.
32
Определение. Средним квадратическим отклонением случайной величины X называется корень из ее дисперсии.
Его обозначения: σX , σX, σ(X).
p
σX = DX .
Дисперсия и среднее квадратическое отклонение являются мерами рассеяния, разброса случайной величины относительно математического ожидания.
Свойства дисперсии.
1. Дисперсия постоянной равна нулю:
DC = 0.
2.Постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его предварительно в квадрат:
D(CX) = C2D(X).
3. Формула для вычисления дисперсии
DX = M(X2) − m2X .
При этом M(X2) вычисляется по формуле
X
M(X2) = x2kpk.
k
4. Дисперсия суммы n попарно независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:
nn
XX
D Xk = DXk.
k=1 k=1
Пример. Продолжим пример из предыдущего раздела - найдем дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X - числа вышедших из строя приборов при испытании трех приборов.
Найдем сначала MX2:
MX2 = 02 · 0, 008 + 12 · 0, 096 + 22 · 0, 384 + 32 · 0, 512 = 0, 096 + 1, 536 + 4, 608 = 6, 24.
p
DX = M(X2) − m2X = 6, 24 − 2, 42 = 6, 24 − 5, 76 = 0, 48; σX = 0, 48 ≈ 0, 69.
5.3.4 Мода
Модой дискретной случайной величины называется ее значение, принимаемое с наибольшей вероятностью по сравнению с двумя соседними значениями. Обозначения моды: Mo, MoX. Графически мода отвечает вершине полигона распределения.
Существуют одномодальные (унимодальные) и многомодальные (полимодальные) распределения.
33