Ее графиком является восходящая ступенчатая линия, называемая кумулятой (линия накопленных относительных частот).

Так как относительная частота события приближается к вероятности события при увеличении n, то выборочная функция распределения F (x) приближенно представляет функцию распределения F (x) генеральной совокупности или, как говорят, является ее

оценкой:

F (x) ≈ F (x).

Точный математический смысл приближения F (x) к F (x) заключен в следующей теореме.

Теорема. Для любого фиксированного x выборочная функция распределения F (x) при n → ∞ стремится по вероятности к генеральной функции распределения F (x):

F (x) P F (x).

→

n→∞

9.4 Выборочные числовые характеристики

С помощью выборки образуются ее числовые характеристики. Это числовые характеристики случайной величины X с равномерным законом распределения, который означает, что каждый элемент выборки xk(k = 1, . . . , n) принимается с вероятностью 1/n, ибо предполагается, что выборка образована с помощью простого случайного выбора.

Числовые характеристики случайной величины X называются выборочными числовыми характеристиками. Случайная величина X аппроксимирует изучаемую случайную величину X в силу того, что F (x) по вероятности стремится к FX (x) при n → ∞. При этом следует ожидать, что и выборочные числовые характеристики будут аппроксимировать соответствующие генеральные характеристики т.е. являться их оценками. Такой метод образования оценок генеральных числовых характеристик называется методом аналогии (или подстановки). Вместо числовых характеристик X рассматриваются аналогичные числовые характеристики X . Это означает также, что во все формулы для генеральных числовых характеристик вместо X подставляется случайная величина X , ее аппроксимирующая.

Определение. Выборочной оценкой генеральной числовой характеристики называется ее приближенное значение, найденное по выборке.

9.4.1 Основные оценки

1. Выборочное среднее

является оценкой генерального математического ожидания m = MX. 2. Выборочный начальный момент порядка l

n

al = n1 Xxli

i=1

65