является оценкой генерального начального момента порядка l : αl = M[Xl]. 3. Выборочный центральный момент порядка l

n

ml = n1 X(xi − x¯)l

i=1

является оценкой генерального центрального момента порядка l : µl = M[(X − m)l]. 4. Выборочная дисперсия

9.5 Группированный статистический ряд. Гистограмма

9.5.1Группированный статистический ряд

Если выборка получена из непрерывной генеральной совокупности и объем ее большой, то вариационный и статистический ряды, как и сама выборка, будут трудно обозримыми множествами. Действительно, в этом случае при достаточно точном измерении практически не будет равных элементов выборки, ибо вероятность равенства значений непрерывной случайной величины равна нулю. Тогда прибегают к другому способу группирования элементов выборки.

Промежуток [xmin, xmax] делится на некоторое количество k равных по длине про-

стот называется группированным (интервальным) статистическим рядом. Возникает вопрос - как выбрать число k промежутков?

При слишком большом k картина распределения будет искажена случайными колебаниями частот. Отдельные промежутки даже могут оказаться пустыми. При слишком малом k будут сглажены и затушеваны характерные особенности распределения.

Для выбора k можно использовать специальные формулы, но обычно число интервалов разбиения берется не менее 5 и не более 15.

Длина промежутков 1, 2 . . . , k определяется по формуле

h = R = xmax − xmin .

k k

Вместо группы элементов, попавших в интервал i, рассматривается один их представитель. В качестве такого представителя обычно берут среднюю точку xi промежутка i. Группированный статистический ряд можно оформить в виде таблицы.

66

9.5.2Оценивание генеральных числовых характеристик с помощью интервального статистического ряда

С помощью группированного статистического ряда можно приближенно вычислить выборочные моменты. Так как группа элементов выборки, входящих в промежуток i, заменяется средней точкой xi промежутка, то следует считать, что элемент xi встречается в выборке ni раз, т.е. имеет частоту ni. Получаем следующие формулы:

k

x¯ ≈ n1 Xnixi ,

i=1

k

al ≈ n1 Xni(xi )l.

i=1

Такое усреднение по промежуткам несколько искажает выборочные числовые характеристики, но при большом объеме выборки это искажение несущественно.

9.5.3Гистограмма

Группированный статистический ряд наглядно можно изобразить в виде гистограммы. Определение. Гистограммой относительных частот выборки называется фигура, об-

разованная прямоугольниками с основаниями i и высотами ni/(nh)(i = 1, . . . , k).

Рис. 9.2: Гистограмма относительных частот

Величины nj/n называются относительными, а nj/(nh) - приведенными частотами

группированного статистического ряда.

С помощью гистограммы оценивается кривая плотности вероятности, так как ступенчатая ломаная, ограничивающая гистограмму сверху, близка к графику плотности вероятности.

Действительно, площадь прямоугольника с основанием i равна hni/(nh) = ni/n, т.е. относительной частоте попадания элементов выборки в промежуток i. При большом n относительная частота близка к вероятности попадания значения случайной величины X

67

Таким образом, этот участок криволинейной трапеции, ограниченной графиком плотности вероятности, аппроксимируется прямоугольником гистограммы с основанием i. Поэтому и вся рассматриваемая криволинейная трапеция аппроксимируется гистограммой.

Сравнивая ступенчатую ломаную, ограничивающую гистограмму сверху, с известными графиками теоретических плотностей (нормальной, показательной и других), можно выдвинуть гипотезу о законе распределения генеральной совокупности.

Другим наглядным изображением группированного статистического ряда является полигон приведенных частот - это ломаная с вершинами в точках (xi , ni/(nh)). С помощью полигона также оценивается кривая плотности вероятности.

68