2. ∂2FXY (x, y) ∂x∂y
свойств интеграла с переменным верхним пределом.
+∞ |
+∞ |
Z |
Z |
3.fXY (x, y)dy = fX (x); fXY (x, y)dx = fY (y). Эти формулы носят название «фор-
−∞ |
−∞ |
мулы согласованности для плотностей».
+∞ +∞
ZZ
4.fXY (x, y)dxdy = 1.
−∞ −∞
6.4Примеры двумерных непрерывных распределений
6.4.1Равномерное распределение
Двумерное равномерное распределение в области D определяется плотностью
fXY (x, y) = |
0, (x, y) 6 D. |
|
|
1/SD, (x, y) |
D; |
Здесь SD - площадь области D.
Равномерное распределение применяется в так называемом методе статистических испытаний (Монте-Карло) для приближенного вычисления интегралов и других математических величин.
6.4.2Нормальное распределение
Двумерное нормальное распределение определяется плотностью
|
|
|
|
f |
|
x, y |
|
= |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
XY ( |
) |
2πσ1σ2p1 − ρ2 × |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
||||||||
|
exp |
|
|
(x − m1) |
|
|
|
2ρ |
(x − m1)(y − m2) |
+ |
(y − m2) |
|
. |
|||||
× |
n − |
2(1 − ρ2)h |
|
|
− |
|
σ22 |
|
||||||||||
|
σ12 |
|
|
|
|
σ1σ2 |
|
io |
||||||||||
Она содержит 5 параметров m1, m2, σ1, σ2, ρ. Точка (m1, m2) называется центром нормального распределения. Параметр ρ называется коэффициентом корреляции.
Двумерное нормальное распределение применяется для описания:
1)абсциссы и ординаты точки попадания (X, Y ) при стрельбе;
2)двух параметров детали при массовом производстве;
3)двух результатов измерения.
Если применить формулы согласования, то после взятия интегралов получим
fX (x) = |
|
1 |
|
exp |
h − |
(x − m1)2 |
; |
||
|
|
|
|
||||||
σ1 |
√2π |
2σ12 |
|||||||
|
|
|
i |
||||||
fY (y) = |
|
1 |
|
exp |
h − |
(y − m2)2 |
, |
||
|
|
|
|
||||||
σ2 |
√2π |
||||||||
|
|
2σ22 |
i |
||||||
49